Материал: Справочник магнитного диска. Катрахова А.А., Купцов В.С

20. Логарифмическая производная

Логарифмической производной функции называется производная от логарифма этой функции, т.е.

Применение предварительного логарифмирования по основанию e функции иногда упрощает процесс нахождения ее производной. Сначала надо прологарифмировать данную функцию: , затем взять производные от обеих частей равенства: и найти из полученного уравнения.

Например, Пусть требуется найти производную от степенно-показательной функции , где и - функции аргумента x . Логарифмируя обе части исходного равенства, получим (по свойству логарифма: ).

Дифференцируя последнее равенство по х, имеем

Умножая обе части равенства на y и заменяя затем y через

u^v, окончательно получаем , или после очевидных преобразований:

Пример . Найти . если .

Решение. Логарифмируя, получим: .

Дифференцируем обе части получим равенства по х: , или

Отсюда

или .

Замечание. Во многих случаях оказывается выгодным, прежде чем дифференцировать заданную функцию, взять ее логарифм, определить затем производную от этого логарифма и по производной от логарифма отыскать производную от заданной функции. Это так называемый прием логарифмического дифференцирования.

К этому приему удобно прибегать при дифференцировании: а) Произведения нескольких функций; б) дроби, числитель и знаменатель которой содержат произведения; в) выражений, содержащих корни из дробей. К нему прибегают всегда при дифференцировании функции вида , т.е. когда и основание степени, и показатель степени есть функции от x .

21. Дифференцирование функций, заданных параметрически

Пусть функция y аргумента x задана при помощи параметрических уравнений

,

где t параметр, причем каждому значению соответствует только по одному значению x и y . В механике эти уравнения называются уравнениями движения точки, т.е. линия которую описывает на плоскости движущаяся точка.

Например, функция, заданная параметрически

.

Представляет собой на плоскости прямую, ибо исключив параметр t из этих уравнений, получим y=x/2 . Однако, практически исключение параметра t из уравнений часто задача трудная, порой просто неразрешимая. Если функций и - дифференцируемые и , то производная функции, заданной параметрически, вычисляется по формуле . Или в других обозначениях

. Вторую производную от y по x находим, дифференцируя последнее соотношение

Пример . Найти производную от функции, заданной параметрически.

Решение. Находим и и полученные выражения подставляем в формулу:

,

.

Получаем Ответ: 1/t.

Пример. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке, соответствующей значению параметра t=0, если

Решение. Последовательно находим: x₀=2e⁰=2; y₀=e^-0=1,

, , , , , ,M₀(2,1).

Способ 1. Как известно, если кривая задана в явном виде y=f(x), то уравнения касательной и нормали в точке M₀(x₀,y₀). имеют соответственно вид: , . где y₀=f(x₀), (y₀) ^/=(f(x₀)) ^/. Поэтому, напишем уравнения касательной и нормали к исходной кривой в точке касания M₀(2,1) при t=0 соответственно: y=1-0,5(x-2) , или y=-0,5x+2, или x+2y-4=0 - уравнения касательной; y=1+(1/0,5)(x-2) или 2x-y-3=0 - уравнения нормали.

22. Производные высших порядков. Формула Лейбница

Производной второго порядка функции y=f(x) называется производная от ее производной или .

Механический смысл второй производной: если истолковывается как скорость некоторого процесса, то характеризует ускорение того же самого процесса.

Аналогично определяются производные третьего, четвертого и других порядков:

= , = ,…

Вообще, производной n-го порядка, или n-ой производной от функции называется производная от ее (n-1)-го порядка.

= . На практике, находя несколько последовательных производных, иногда удается найти закон, т.е. закономерность их образования, и, считая, что эта закономерность выполняется для производной любого порядка, составить общую формулу для n-ой производной (заметим, что нулевая производная означает саму функцию).

23. Возрастание и убывание функции. Локальный экстремум функции

Функция называется возрастающей

на некотором интервале (рис.7), если для любых значений и из этого интервала из неравенства следует неравенство . Если же из неравенства следует нестрогое неравенство , то функция называется неубывающей на этом интервале.

Рис. 7

Функция называется убывающей (рис.8) на некотором интервале, если для любых х₁ и х₂ из этого интервала и неравенства следует неравенство . Если же из неравенства следует нестрогое неравенство , то функция называется невозрастающей на этом интервале.

Рис. 8

Все выше названные функции называются монотонными.

Достаточное условие возрастания (убывания) функции:

Если функция непрерывна на отрезке [a,b] и ее производная ( ) при , то функция возрастает (убывает) на этом отрезке [a,b].

Говорят, что функция имеет в точке х₁ максимум (рис.3), если значение функции в этой точке больше всех других ее значений во всех точках х, достаточно близких к точке х₁ и отличных от нее, т.е. если для всякой точки из некоторой окрестности точки х₁.

Говорят, что функция имеет в точке х₂

минимум (рис.9), если значение функции в этой точке меньше всех других ее значений во всех точках х, достаточно близких к точке х₁ и отличных от нее, т.е. если для всякой точки из некоторой окрестности точки x₂.

Рис. 9

Максимум или минимум функции называется экстремумом функции. Точки в которых достигается экстремум, называются точками экстремума (максимума или минимума).

Необходимое условие существования экстремума:

или не существует для , т.е.

функция может иметь экстремум только в тех точках области определения, где выполняются эти условия. Такие точки называются критическими точками 1-гго рода, т.е. точки, только подозрительные на экстремум.

Достаточные условия существования и отсутствия экстремума непрерывной функции :

Первое правило. Если производная меняет знак при переходе через критическую точку x₀ , то точка x₀ является точкой экстремума, причем: