Материал: Справочник магнитного диска. Катрахова А.А., Купцов В.С

Теорема. Если ранг r матрицы А меньше числа n неизвестных, то ЛОС уравнений имеет ненулевое решение. Число n-мерных векторов , определяющих ФСР , находятся по формуле k=n-r, где r=Rang A. Таким образом, если рассматривается линейное пространство Rⁿ ,элементами которого являются n-мерные векторы , то множество всех решений ЛОС является подпространством пространства Rⁿ . Размерность этого подпространства равна k.

Пример. Найти общее решение данной системы и проанализировать его структуру (указать базис пространства решений ЛОС, указать размерность пространства ).

Дано:

Решение. В данной ЛОС имеем m=3- число уравнений, n=5- число неизвестных.

Запишем матрицу коэффициентов при неизвестных

и определим её ранг с помощью элементарных преобразований:

Т.к. число линейно независимых столбцов преобразований матрицы равно r=3, то RangA=r=3. RangA=3<n=5. Следовательно, ЛОС имеет ненулевые решения.

ФСР состоит двух (k=n-r=2)линейно независимых решений. Неизвестные x₁,x₂,x₃ соответствуют базисным столбцам и являются базисными переменными; неизвестные x₄,x₅ – свободными переменными. Запишем преобразованную систему уравнений, перенеся свободные переменные x₄,x₅ в правую часть системы уравнений:

Для первого набора свободных переменных x₄=1, x₅=0 и второго набора свободных переменных x₄=0, x₅=1 имеем решения:

Решения и образуют ФСР. Общее решение системы в векторной форме:

X=c₁ +c₂ = ,

где c₁, c₂ – произвольные постоянные.

Если положить с₁=3 , c₂=6 , где любые числа , то общее решение данной ЛОС в координатной форме можно записать так: , , , , , _.

Таким образом, исходная система имеет бесконечное множество решений; размерность пространства решений .

Ответ: ).

4. Линейные преобразования и действия Над ними

Говорят, в линейном векторном пространстве R задано преобразование А, если каждому элементу (вектору) по некоторому закону (или правилу) ставится в соответствие вектор . Преобразование А называют линейным , если для любых векторов и любого действительного числа выполняется равенства и .

Для простоты возьмём линейное пространство R³ (n=3) .

Пусть в этом пространстве R³ имеются два базиса:

(старый) и (новый), связанные равенствами

(**)

где матрица перехода от старого базиса к новому, столбцы, которой являются координатами в формулах перехода (**).

Если вектор задан в базисе , то его координаты в новом базисе можно найти по формуле , где матрица линейного преобразования

является обратной для матрицы A; т.к. detA ,то - невырожденная матрица. Заметим, что в конечномерном пространстве R линейное преобразование (оператор) называется невырожденным , если определитель матрицы этого линейного преобразования отличен от нуля. Матрицу линейного оператора (преобразования ) при переходе от одного ортонормированного базиса к другому находится по формуле , где A-матрица перехода от старого базиса к новому , B матрица оператора в старом базисе

Пример. Найти координаты вектора в базисе

( ), если он задан в базисе ( ).

Дано: , , ,

Решение. Имеем по условию разложение вектора старом базисе . Требуется разложить вектор в новом базисе , т.е. надо найти новые координаты вектора _. Учитывая условие задачи, запишем + + или в координатной форме

Векторное уравнение равносильно трем скалярным уравнениям :

Это линейная неоднородная система(ЛНС), у которой

det A=-1. Решаем ЛНС уравнений по правилу Крамера:

, ,

Находим:

,

.

Получим =5, =6, =7. Таким образом, =(5,6,7).

5. Собственные значения и собственные векторы матрицы

Пусть Rⁿ - заданное n-мерное линейное пространство .

Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора (преобразования) ,заданного матрицей А , если найдется такое число , что выполняется равенство _.Само число называют собственным (или характеристическим) числом оператора А, соответствующим собственному вектору . Собственные (значения) матрицы А являются корнями характеристического уравнения det (A- E)=0, являющегося алгебраическим уравнением n-ой степени.

Если

, ,

то характеристическое уравнение в координатной форме имеет вид:

=0 (***)

Для нахождения ненулевого собственного вектора

= , отвечающему собственному числу ,

m=1,2,…n надо решить линейную однородную систему (ЛОС) уравнений:

Эта ЛОС уравнений имеет бесконечно много решений. Поэтому, собственному значению соответствует семейство собственных векторов. Выбирают любой из них.

Если характеристическое уравнение (***) имеет n различных корней, то соответствующие им собственные векторы … - линейно независимые и образуют базис. Если среди корней характеристического уравнения (*) имеются кратные, т.е. равные корни, например, - корень кратности к, то хорошо найти к линейно независимых собственных векторов … , отвечающих собственному значению, кратности к; их число m=n-r , где n-порядок матрицы (A- E), r=Rang (A- E); .