Материал: Справочник магнитного диска. Катрахова А.А., Купцов В.С

а) Функция имеет максимум в точке x₀ ,если для , где , имеет место

б) Функция имеет минимум в точке x₀ ,если для из -окрестности имеет место

Если при переходе через критическую точку x₀ производная не меняет знак, то экстремум нет в этой точке:

или

Второе правило. Если в критической точке x₀ первая производная , а вторая производная , то точка x₀ будет точкой экстремума, причем:

а) если , то x₀ - точка максимума;

б) если , то x₀- точка минимума.

Замечание. В более общем случае, когда первая из не равных нулю в точке x₀ производных функции имеет порядок k: Если , то если k -четное, то точка x₀ является точкой максимума при и точкой минимума при ; если же k -нечетное, то точка x₀ является точкой экстремума.

Пример. Построить графики функций с помощью производной первого порядка.

Решение. 1) , т.е. .

2)Функция общего вида, т. к.

3)Находим точки пересечения графика функции к осям координат.а) с осью oy , x=0 : .

точка , т.е. y(0) -0,5.

б) с осью ox , y=0: ,

, или , откуда , x₁=-4 или x₂=-5/8.

Итак имеем точки В₁(-4,0); В₂(-5/8;0).

4)Находим интервалы знакопостоянства функции.

y>0 ,если ; решаем это неравенство:

.

Знак y:

Откуда

Значит, функция y>0 при и y<0 при .

5)Находим критические точки, интервала возрастания и убывания функции, экстремум функции.

;

а) , если , т.е. x=-3.

б) не существует при x=-4.

Получим x=-3 , x=-4 - критические точки 1-го рода.

Знак :

Имеем ; .

График данной функции представлен на рис.10.а).

Так как при x=-4 , , то минимум имеет

характер точки заострения.

Рис. 10.а

Рис. 10.б

Замечание. На основании проведенного неполного (лишь по первой производной) исследования, можно было представить график рассматриваемой функции и таким, как на рис. 10.б). Уточнение характера графика функции по второй производной позволит точнее изобразить участки убывания и возрастания функции, установить, что график не имеет точек перегиба и всюду обращен выпуклостью вверх. Об этом речь далее, где будут построены графики при полном исследовании свойств функции.

24. Асимптоты

Если кривая какой-либо своей частью неограниченно удаляется от начала координат, то эта бесконечная ветвь кривой может иметь асимптоту. Асимптотой кривой называется прямая, к которой кривая неограниченно приближается или с одной стороны или все время пересекая ее. При неограниченном удалении точки (x,y) кривой от точки О(0,0). Асимптоты бывают вертикальные, горизонтальные и наклонные.

1. Если существует число а такое, что , то прямая x=a является вертикальной асимптотой. Вертикальные асимптоты находят как точки разрыва 2-го рода функции.

2.Если существует конечный предел функции

или , то прямая y=b является горизонтальной (правой или левой) асимптотой.

3.Если существуют конечные пределы

, или , , то прямая y=k₁x+b₁ есть правая наклонная асимптота кривой, а прямая y=k₂x+b₂ есть левая наклонная асимптоты.

Заметим, что частным случаем наклонной асимптоты при k_1,2 =0 и является горизонтальная асимптота. График функции не может иметь более одной правой и более одной левой асимптоты (наклонной или горизонтальной).

25. Направление выпуклости кривой. Точки перегиба

Говорят, что график дифференцируемой функции обращен выпуклостью вверх (вогнутостью вниз) на интервале , если соответствующая дуга кривой расположена ниже касательной, проведенной в любой точке M(x,f(x)) этой дуги. Говорят, что кривая графика функции обращена выпуклостью вниз (вогнутостью вверх) на интервале , чем соответствующая дуга кривой расположена выше касательной, проведенной в любой точке M(x,f(x)) этой дуги .

Достаточное условие направления выпуклости кривой :

а) если внутри интервала , то дуга кривой выпукла вверх (обозначают ) на этом интервале.

б) если при x , то дуга кривой

выпукла вниз (обозначают )на этом интервале.

Таким образом, для нахождения интервалов выпуклости вверх (вниз) дуги кривой, надо найти и решить неравенство: ( ).

Точкой перегиба непрерывной кривой называется точка M₀(x₀,f(x₀)) , при переходе через которую кривая меняет направление выпуклости (рис.7,в).

Для абсциссы x₀ точки перегиба графика вторая производная равна нулю или не существует.

Точки, которых или не существует, и при этом сама функция в точке x=x₀ определена, называются критическими точками 2-го рода.

Правило: Если вторая производная функции при переходе через критическую точку 2-го рода меняет знак, то точка M₀(x₀,f(x₀)) , есть точка перегиба кривой графика функции. Это есть достаточное условие существования точки перегиба кривой.

26. Общая схема полного исследованфункции и построение графика функции

При построении графика функции исследование свойств функции можно проводить по следующей схеме:

1. Нахождение области определения функции; нахождение точек разрыва функции и установление их характера.

2. Установление наличия периодичности и симметрии относительно оси OY или относительно начала координат по четности или нечетности функции.

3. Нахождение точек пересечения кривой с координатными осями: с осью OY, вычисляя f(0), и с осью OX, решая уравнение f(x)=0 и вычислив тем самым, нули функции.

4. Определение интервалов знакопостоянства функции.

5. Определение асимптот графика функции и «поведение функции в бесконечности».

6. Определение интервалов возрастания и убывания функции, точек экстремума(максимума и минимума). Вычисление значения экстремумов.

7. Нахождение точек перегиба, устанавливая интервалы направления выпуклости (вверх и вниз) кривой.

Если исследуемая функция четная или нечетная, достаточно исследовать и построить ее график для положительных значений аргумента из области определения. Затем воспользоваться симметрией.

Полезно получаемые данные сразу наносить на чертеж. Заметим, что порядок исследования можно менять, выбирая по целесообразности, исходя из конкретных особенностей функции.

Пример. Провести полное исследование функций и построить их графики.

Решение . 1) Функция имеет смысл, если ; следовательно, .Точка x=0- точка разрыва второго рода. 2) Функция не является четной и нечетной, так как

при .