Материал: Справочник магнитного диска. Катрахова А.А., Купцов В.С

Рис. 6

Отношение называется средней скоростью изменения функции y=f(x) на отрезке .

Производной функции y=f(x) в точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда приращение аргумента стремится к нулю: = , если этот предел существует.

Геометрический смысл производной: =tg - угловой коэффициент касательной МТ к графику функции y=f(x) в точке х (рис. 6).

Физический смысл производной - мгновенная скорость, т.е. скорость изменения функции в данный момент х₀. Таким образом, быстрота протекания физических, химических и других процессов выражается с помощью производной.

Функция, имеющая конечную производную, называется дифференцируемой. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Основные правила дифференцирования.

Если , - функции, имеющие производные, c- постоянная величина, то:

1) (c=const); 2) ; 3) ;

4) ; 5) ;

6) ; 7) .

18. Производная сложной функции.

Таблица производных

Если и - дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна произведению производной данной функции y по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента u по независимой переменной х: , или ,

или . Это правило распространяется на из любого конечного числа дифференцируемых функций.

Таблица производных основных элементарных функций.

Пусть , где . Тогда:

1) ( n - любое число); 2) ;

3) (a>0, ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ;

8) ; 9) ;

10) 11) ,( );

12) , ( ); 13) ;

14) 15) ;

16) ; 17) ; 18) .

Замечание. Гиперболические функции определены так:

1) - гиперболический синус

2) -гиперболический косинус

3) -гиперболический тангенс

4) -гиперболический котангенс

Для гиперболический функций имеют место формулы, аналогичные формулам для тригонометрических функций. Основные формулы:

; ; ; , ; и т.д.

Пример . Найти , если =sin³(x/4).

Решение. Это сложная функция промежуточным первым аргументом u= sin(x/4) и t=x/4 . Данную функцию можно представить в виде: y=u³ , где u=sin(t); t=x/4 .

Дифференцируя, получаем:

= = = = .

Уравнение касательной и нормали к плоской кривой

Пусть - уравнение плоской кривой, - точка, лежащая на этой кривой, так что .

Уравнение касательной к данной кривой , проходящей через точку касания кривой, имеет вид:

,

где есть угловой коэффициент касательной к данной кривой, проходящей через точку . Иначе говоря, где , - угол между касательной к кривой , проведенный через точку , и промежуточным направлением оси абсцисс .

Нормалью к кривой в точке называется перпендикуляр к касательной, проведенный через точку касания. Уравнение нормали к кривой в точке имеет вид: .

Пример. Составить уравнение касательной и нормали к кривой y=x³+2x в точке с абсциссой x₀=1.

Решение. Найдем производную данной функции и ее значение при x₀=1, y ^/=3x²+2, y ^/(x₀)=y ^/(1)=3+2=5. Угловой коэффициент касательной . Вычислим значение функции при x₀=1: .Следовательно, - точка касания и уравнение касательной будет y=3+5(x-1), или 5x-y-2=0; а уравнение нормали

y=3-(1/5)(x-1), или x+5y-16=0 , где угловой коэффициент нормали k₂=-1/k₁, так как условием перпендикулярности двух прямых y=k₁x+b₁ и y=k₂ x+b₂ является соотношение:k₁ k ₂ =-1 . Ответ: 5x-y-2=0, x+5y-16=0 .

19. Дифференциал функции. Применение дифференциала

Дифференциалом (первого порядка) функции называется главная часть ее приращения, линейная относительно приращения независимой переменной x. Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал независимой переменной . Отсюда .

Если приращение аргумента мало по абсолютной величине, то дифференциал функции и приращение функции приближенно равны между собой , ибо по определению или , где при . Иными словами, разность между приращением и дифференциалом функции есть бесконечно малая высшего порядка. Поэтому при , , т.е. приращение функции и ее дифференциал – эквивалентные бесконечно малые. Следовательно, , откуда имеем . Последняя формула часто используется в приближенных вычислениях, т.к. позволяет по известному значению функции и ее производной в точке x найти приближенно значение функции в точке .

Например, вычислить приближенно arctg1,02, заменяя приращение функции дифференциалом.

Решение. Формула применительно к данной функции f(x)=arctg x перепишем в виде:

, где .

У нас ; x=1 ; . Подставляя эти значения в формулу, получим

Следовательно

Пример. Найти дифференциал dy.

y=

Решение. Имеем

Находим

Следовательно, Ответ: