Материал: Статистическая теория систем. практикум. Володько А.В., Останков А.В

Получив нормальные числа, можно по ним сформировать релеевские и квазирелеевские числа (см. выше).

Все современные математические пакеты для ПК имеют встроенные датчики нормальных чисел.

Пример статистического моделирования РТС на ПК

Хорошей иллюстрацией сказанному выше является пример моделирования корреляционного обнаружителя полностью известного сигнала. Известно [5] , что при действии на его вход белого нормального шума со спектральной плотностью N0 напряжение на выходе коррелятора Z1(T) является нормальной случайной величиной с дисперсией σ2=N0E/2 , где Е – энергия сигнала. При наличии полезного сигнала на входе математическое ожидание величины Z(T) равно Е (т.е. отношение с/ш на выходе равно q2=E2/σ2=2 E/N0) , а при отсутствии равно нулю. Если для простоты принять σ=1, то E=q , а относительный порог в решающем устройстве будет численно равен z0 .

Для нахождения статистическим путем вероятности ложной тревоги Pл надо сформировать N выборок нормальных чисел с нулевым средним и σ = 1 и сравнить их с порогом z0 . Очевидно, что Pл ≈ NЛ / N, где Nл – число превышений порога.

На практике часто надо обеспечить значение Pл<10-10. Провести эксперимент при таком условии оказывается весьма затруднительно. Поэтому при известных статистических характеристиках помехи целесообразно находить значение Pл аналитическим путем.

В рассматриваемом случае

erf(x) – функция ошибок, содержащаяся в перечне встроенных функций во всех современных математических пакетах для ПК.

Рассчитав значение z0 по заданному значению Pл , можно статистическим путем определить вероятность правильного обнаружения сигнала Pо . Для этого с порогом z0 надо сравнить N нормально распределенных чисел с математическим ожиданием q. Если число превышений порога - N0, то Pо ≈ N0 / N.

Листинг программы для нахождения значений Pл и Po , выполненный в среде Mathcad 12, при N=105 приведен в приложении.

Домашнее задание и указания по его выполнению

1. Изобразить функциональную схему оптимального корреляционного обнаружителя сигнала с неизвестной начальной фазой. Рассчитать значение относительного порога в приемнике для значений вероятности ложной тревоги

55

Рл=10-2, 10-3, 10-4. Рассчитать и построить семейство характеристик обнаружения Р0=Р0(q) (где q2=2E/N0, где Е- энергия сигнала, N0- спектральная плотность шума) при действии на входе приемника белого нормального шума для q=0,1,…,8. Расчет значений Р0 производить с точностью до четырех знаков после запятой.

2. Изобразить функциональные схемы оптимальных корреляционного и фильтрового устройств когерентного и некогерентного приема двоичных сигналов. Записать выражения для определения уровня полезных сигналов и дисперсий шума на выходе корреляторов (согласованных фильтров) приемников и выражение для вероятностей ошибочного приема равномощных противоположных и ортогональных сигналов. Построить кривые потенциально помехоустойчивости Рош=Рош(h) (h2=E/N0) для случая когерентного приема сигналов при h=0; 0,2…4.

3. Изобразить функциональные схемы устройств оптимального приема двоичных сигналов с относительной фазовой манипуляцией (ОФМ) по методам сравнения полярностей и сравнения фаз. Объяснить принципы их работы. Изобразить на одном рисунке временные диаграммы радиосигналов при фазовой манипуляции (ФМ) и при ОФМ для последовательности передаваемых информационных символов длительности Т 011001. Рассчитать и построить кривые потенциальной помехоустойчивости Pк=Pк (h) и Pнк=Pнк (h) для указанных методов приема при h=0; 0,2…4.

4. В соответствии с методом статистического моделирования разработать программы для исследования помехоустойчивости оптимальных приемников, виды которых указаны в лабораторном задании. Определить объем выборочных значений N , необходимый для проведения экспериментов на ПК.

Для выполнения п.п. 1, 2 следует изучить разделы «Обнаружение сигна-

лов» и «Различение сигналов» [15, с. 38-47; с. 60-71] , а п. 3 – [16, с. 293-296; 301-306]. Расчет значений Q- функции Маркума [15] можно производить на ПК.

Эта функция входит в перечень встроенных функций во всех современных математических пакетах для ПК.

При выполнении следует иметь в виду следующее.

Максимальная помехоустойчивость при передаче двоичной информации достигается при противоположных сигналах, получаемых путем фазовой манипуляции несущей частоты на 0, π. Спектр таких сигналов, как известно, не содержит составляющей с несущей частотой, поэтому по принимаемому сигналу нельзя определить начальную фазу последней, необходимой для создания копии передаваемого сигнала в корреляционном приемнике (импульсов синхронизации в фильтровой схеме) и реализации когерентного приема. Поэтому для

56

обеспечения фазовой синхронизации приемника принимают дополнительные меры (например, по каналу связи передают специальный пилот-сигнал). Однако это приводит обычно к значительному усложнению системы.

Указанный недостаток был устранен радикальным образом, когда вместо классической ФМ Петровичем Н.Т. была предложена ОФМ [17]. При ОФМ передаваемая информация заложена не в самом значении фазы данного элемента сигнала, соответствующего символу сообщения, как при ФМ, а в разности фаз данного элемента и предыдущего. При двоичной ОФМ эта разность может принимать, например, значения 0 и π . Для передачи символа «1» посылается элемент сигнала, фаза которого совпадает с фазой предыдущего элемента, а для передачи символа «0» - элемент, фаза которого противоположна фазе предыдущего элемента. Первый элемент (в начале сеанса связи) при ОФМ информации не несет, а служит опорным для второго уже информационного элемента.

Прием сигналов ОФМ можно осуществить как когерентным, так и некогерентным методом.

Простейшей схемой при когерентном методе является схема сравнения полярностей (рис. 2.16).

± cos ω0t

Рис. 2.16

Опорное напряжение cos 0t cos 0t (с равной вероятностью) может быть создано по принимаемому сигналу с помощью одной из схем: Пистелькорса, Костаса, Сифорова.

Нетрудно убедится, что в случае перескока фазы опорного сигнала на противоположную (вероятность этого события обычно мала), будет ошибочно принят лишь один информационный символ. В случае, если помеха изменит полярность напряжения на выходе интегратора, ошибочно принимается не только символ, соответствующий этому элементу, но и последующий, т.е. про-

где Рфм – вероятность ошибки при ФМ (при противоположных сигналах).

При некогерентном методе приема ОФМ сигналов опорное напряжение вообще не требуется. Простейшей схемой оптимального приема в этом случае является схема сравнения фаз (рис. 2.17) [6].

57

Рис. 2.17

На схеме рис. 2.17 блок СФ представляет собой фильтр, согласованный с одним элементом сигнала длительности Т ; АД – амплитудный детектор. Часть схемы, обведенная пунктиром создает напряжение, являющееся функцией разности фаз соседних элементов сигнала φ . Если детекторы квадратичные, то - пропорциональное cos φ.

Вероятность ошибки при некогерентном приеме Pнк незначительно отличается от случая когерентного приема при ФМ и равна

Для выполнения необходимо изучить метод статистического моделирования РТС и методы формирования случайных чисел на ПК, приведенные в приложении и в [18] , а также математический пакет Mathcad 12.

При исследовании обнаружителя с двумя квадратурными каналами следует иметь ввиду следующее.

При действии на его вход белого нормального шума и полезного сигнала с неизвестной начальной фазой β напряжения на выходах каналов Z1(T) и Z2(T) являются нормальными, взаимно независимыми случайными величинами с одинаковыми дисперсиями σ2= N0E/2 и математическими ожиданиями E·cos β и E·sin β [15]. Корень квадратный из суммы квадратов этих величин (т.е. напряжение Z на входе порогового устройства) при любом значении β , в том числе и при β=0, подчиняется квазирелеевскому закону. Причем при β=0 напряжение полезного сигнала на выходе одного из каналов численно равно E и отношение с/ш q2=E2/σ2 =2E/N0. Если полезный сигнал на входе обнаружителя отсутствует (E=0) , то напряжение на его выходе подчиняется релеевскому закону

[15].

При статистическом моделировании удобно приять σ=1 . Тогда E=q , а относительный порог в решающем устройстве (пороговом устройстве) Z0 /σ будет численно равен Z0.

Сформировав N выборок квазирелеевских случайных чисел можно определить вероятность правильного обнаружения сигнала Ро для заданных значений Рл . Значение N взять здесь (и др. п.п. задания) 105 .

В схеме сравнения фаз (рис. 2.17) амплитуда напряжения полезного сигнала и дисперсия шума на выходе СФ , соответственно равны Um и σ 2. При передаче по каналу связи символа «1» (начальные фазы двух смежных элементов

58

сигнала одинаковы) на выходе сумматора они равны 2Um и 2σ2 , а на выходе вычитающего устройства – 0 и 2σ2 . При этом распределение напряжения на выходе линейно детектора АД верхнего канала U1 при t=T подчиняется квазирелеевскому закону, а нижнего U2 – релеевскому закону. Формирование таким образом распределенных чисел можно осуществлять, как и прежде, используя нормальные числа

U1 x1 x2 2Um 2 y1 y2 2 12 ,

где x1 и y1 – нормальные числа с нулевыми средними и дисперсиями σ2 , соответствующие первому из сравниваемых по фазе элементов сигнала; x2 и y2 – соответствующие второму элементу.

Следует иметь ввиду, что кривые помехоустойчивости для СПИ изобра-

жается в координатах (Р;h), где h2 0,5q2 EN0 . Если принять σ =1 , то при этом h Um 2 , а Um 2 h .

Вероятность ошибочного приема символов «1» и «0» при ОФМ одинаковы, поэтому эксперимент удобно производить для случая передачи сообщения, состоящего из последовательности одних символов «1».

Лабораторное задание и методические указания по его выполнению

Включить ПК и активизировать математический пакет Mathcad 12. Провести эксперименты по статистическому моделированию:

1.Оптимального приемника обнаружения с двумя квадратурными каналами при значениях q , Pл и порога Z0 , указанных в п.1 домашнего задания. Полученные значения P0 свести в таблицу и построить графически кривые характеристик обнаружения.

2.Когерентных корреляционных приемников противоположных и ортогональных сигналов. Значения отношения с/ш h взять из п.2 домашнего задания. Данные моделирования включить в таблицу и по ним построить кривые потенциальной помехоустойчивости.

3.Некогерентного приемника ОФМ сигналов (прием по методу сравнения фаз) для тех же значений h , что и в п. 2 при линейных детекторах в каналах схемы. Полученные данные свести в таблицу и построить кривые помехоустойчивости. Используя данные п. 2 , на том же графике отобразить кривую помехоустойчивости для случая приема ОФМ сигналов по методу сравнения полярностей.

Содержание отчета

Отчет о проделанной работе должен содержать:

1.Результаты выполнения домашнего задания.

2.Данные статистического моделирования и их сопоставление с расчетными данными, необходимые рисунки, таблицы и графики.

59