6
Кинематика точки
Векторный способ задания движения точки. Траектория точки. Скорость точки как производная радиуса-вектора по времени. Годограф скорости. Ускорение точки как производная вектора скорости по времени.
Координатный способ задания движения точки (в декартовых координатах). Определение траектории точки. Определение скорости и ускорения точки по их проекциям на координатные оси.
Естественный способ задания движения точки. Естественный трехгранник. Определение скорости и ускорения точки по их проекциям на оси естественного трехгранника; касательное и нормальное ускорения точки.
Кинематика твердого тела
Поступательное движение твердого тела. Теорема о траекториях, скоростях и ускорениях точек твердого тела при поступательном движении.
Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Уравнение вращательного движения тела. Угловая скорость и угловое ускорение тела. Скорость и ускорение точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Векторы угловой скорости и углового ускорения тела. Выражение скорости точки вращающегося тела и ее касательного и нормального ускорений в виде векторных произведений.
Плоское движение твердого тела и движение плоской фигуры в ее плоскости. Уравнение движения плоской фигуры. Разложение движения плоской фигуры на поступательное вместе с полюсом и вращательное вокруг полюса. Независимость угловой скорости и углового ускорения фигуры от выбора полюса. Определение скорости любой точки фигуры как геометрической суммы скорости полюса и скорости этой точки при вращении фигуры вокруг полюса. Теорема о проекциях скоростей двух точек фигуры. Мгновенный центр скоростей. Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей. Определение ускорения любой точки фигуры как геометрической суммы ускорения полюса и ускорения этой точки при вращении фигуры вокруг полюса. Понятие о мгновенном центре ускорений.
Движение твердого тела с одной неподвижной точкой. Углы Эйлера. Уравнения сферического движения. Теорема Даламбера-Эйлера. Понятие мгновенной оси вращения. Определение скоростей и ускорений точек тела при сферическом вращении. Общий случай движения свободного твердого тела.
7
Сложное движение точки и твердого тела
Абсолютное и относительное движение точки; и переносное движение точки. Теорема о сложении скоростей. Теорема Кориолиса о сложении ускорений. Модуль и направление кориолисова ускорения. Случай поступательного переносного движения.
Сложное движение твердого тела. Сложение поступательных движений. Сложение мгновенных вращений твердого тела вокруг пересекающихся и параллельных осей. Пара мгновенных вращений. Кинематический винт. Мгновенная винтовая ось.
РАЗДЕЛ «ДИНАМИКА»
Введение в динамику
Предмет динамики. Основные понятия и определения: масса, материальная точка, сила. Законы механики Галилея-Ньютона. Инерциальная система отсчета. Задачи динамики.
Динамика точки
Дифференциальные уравнения движения свободной и несвободной материальной точки в декартовых координатах. Естественные уравнения движения свободной и несвободной материальной точек. Две основные задачи динамики для материальной точки. Решение первой задачи динамики.
Вторая задача динамики. Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки в простейших случаях. Постоянные интегрирования и их определение по начальным условиям. Свободные колебания материальной точки без сопротивления и с сопротивлением пропорциональном скорости. Вынужденные колебания.
Несвободное движение материальной точки. Дифференциальные уравнения движения точки по заданной гладкой неподвижной кривой. Определение закона движения и реакции связи. Дифференциальные уравнения относительного движения. Переносная и кориолисова силы инерции.
Введение в динамику механической системы
Механическая система. Масса системы. Центр масс системы и его координаты. Классификация сил, действующих на механическую систему:
8
силы внутренние и внешние, задаваемые силы и реакции связей. Свойства внутренних сил.
Моменты инерции системы и твердого тела относительно плоскости, оси и полюса. Радиус инерции. Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей. Примеры вычисления моментов инерции тел в простейших случаях.
Общие теоремы динамики
Теорема о движении центра масс
Дифференциальные уравнения движения механической системы. Теорема о движении центра масс механической системы. Закон сохранения движения масс.
Теорема об изменении количества движения
Количество движения материальной точки. Импульс силы и его проекции на координатные оси. Теорема об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной и конечной формах. Количество движения механической системы и его выражение через массу системы и скорость ее центра масс. Теорема об изменении количества движения механической системы в дифференциальной и конечной формах. Закон сохранения количества движения механической системы.
Теорема об изменении момента количества движения
Момент количества движения материальной точки относительно центра и оси. Теорема об изменении момента количества движения материальной точки. Сохранение момента количества движения материальной точки в случае центральной силы. Понятие о секторной скорости. Закон площадей.
Главный момент количества движения или кинетический момент механической системы относительно центра и оси. Кинетический момент вращающегося твердого тела относительно оси вращения. Теорема об изменении кинетического момента механической системы. Закон сохранения кинетического момента механической системы. Теорема об изменении кинетического момента механической системы в относительном движении по отношению к центру масс.
Теорема об изменении кинетической энергии
Кинетическая энергия материальной точки. Элементарная работа си-
9
лы. Работа силы на конечном перемещении. Мощность. Аналитическое выражение элементарной работы силы. Работа силы тяжести, силы упругости и силы тяготения. Равенство нулю суммы работ внутренних сил в твердом теле. Работа и мощность сил, приложенных к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси.
Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки в дифференциальной и конечной формах. Кинетическая энергия механической системы. Вычисление кинетической энергии твердого тела в различных случаях его движения. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы.
Динамика твердого тела
Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Физический маятник. (Опытное определение моментов инерции тел). Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела.
Принцип Даламбера
Сила инерции материальной точки. Принцип Даламбера для материальной точки и механической системы. Определение динамических реакций при несвободном движении материальной точки и системы. Приведение сил инерции точек твердого тела к центру: главный вектор и главный момент сил инерции. Определение динамических реакций подшипников при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси. Случай, когда ось вращения является главной центральной осью инерции тела. (Понятие о статической и динамической балансировках).
Элементы аналитической механики
Связи и их уравнения. Классификация связей: голономные и неголономные, стационарные и нестационарные, неосвобождающие и освобождающие связи. Возможные и виртуальные перемещения системы. Число степеней свободы системы. Идеальные связи.
Принцип возможных перемещений. Применение принципа возможных перемещений и определение реакций связей в простейших механизмах. Общее уравнение динамики.
Уравнения Лагранжа
Обобщенные координаты и обобщенные скорости. Выражение элементарной работы в обобщенных координатах. Обобщенные силы и их
10
вычисление. Дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах или уравнения Лагранжа второго рода.
Теория удара
Явление удара. Ударная сила и ударный импульс. Действие ударной силы на материальную точку. Теорема об изменении количества движения механической системы при ударе. Прямой центральный удар тела о неподвижную поверхность; упругий и неупругий удары. Коэффициент восстановления при ударе и его опытное определение. Прямой центральный удар двух тел. Теорема Карно.
ПОРЯДОК ИЗУЧЕНИЯ КУРСА
СТАТИКА
Изучение теории
Тема 1. Введение. Теоретическая механика и ее место среди естественных и технических наук. Роль теоретической механики в формировании материалистического мировоззрения. Объективный характер законов механики. Основные исторические этапы развития механики.
Тема 2. Основные понятия статики. Основные понятия и аксиомы статики. Связи и реакции связей. Система сходящихся сил [1, §1-7].
Тема 3. Теория пар сил. Момент силы относительно центра и относительно оси. Пара сил. Момент пары сил. Теорема об эквивалентности пар. Сложение пар сил, произвольно расположенных в пространстве. Условие равновесия пар сил [1, §8-10].
Тема 4. Произвольная система сил.
1.Приведение силы к данному центру, присоединенная пара сил. (Метод Пуансо). Теорема о приведении произвольной системы сил к данному центру. Главный вектор и главный момент системы сил. Вычисление главного вектора и главного момента системы сил.
2.Случаи приведения системы сил к паре, к равнодействующей, к динаме. Теорема о моменте равнодействующей.
3.Аналитические условия равновесия системы сил, произвольно расположенных в пространстве. Случаи параллельных и сходящихся сил. Плоская система сил [1, §11-21]
Тема 5. Сила трения качения и скольжения [1, §23-27].
Тема 6. Центр параллельных сил и центр тяжести [1, §31-35].