Материал: Теоретическая механика

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

151

начинает катиться без скольжения из состояния покоя по наклонной плоскости с углом α. На барабан действует сила и пара сил с моментом M

(рис.4.2).

Дано: P , F = 0,8 P , M = 1,1 PR , α = 30° , β = 30° .

Определить: 1) xC=f(t) - закон движения центра масс барабана; 2) fmin - наименьший коэффициент трения, при котором возможно качение без скольжения.

Решение

Барабан совершает плоскопараллельное движение под действием сил: P , F , N и FTP и момента М. Так как направление силы трения FTP нам заранее неизвестно, выбираем его произвольно. Выбираем оси Ox, Oy и составляем дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения

= F cos β + Psinα + FTP

;

(1)

mxC = åFkx

mxC

= N − Pcosα − F sin β

;

(2)

myC = åFky

myC

ICzϕ&& = åMCz (Fk ) ,

mR2

ε = FR − FTP R − M .

(3)

За положительное

направление

для

моментов принято

направление

угловой скорости ω, т.е. в ту сторону,

куда будет вращаться барабан при

движении центра от оси Оy.

В систему уравнений (1),

(2),

B α

FTP

(3) входят пять неизвестных ( xC ,

yC ,

ε, FTP, N) . Но так как

yC=const=R ,

Рис. 4.2

то

&y&C = 0 , следовательно осталось

четыре неизвестных ( &x&C , ε, FTP , N ). Для решения задачи необходимо воспользоваться соотношением из кинематики. Так как точка В является мгновенным центром скоростей, то

	152
VC = xC = ωR ,	aC = xC = ωR = εR .	(4)
&	&& &

1) Определение xC = f (t).
&&
Чтобы определить xC = f (t), исключим ε из уравнения (3), подставив в
&&
него (4)
	1	&&	M	.	(5)
		&&
2		mxC = F − FTP −	R
2			R

Далее из (1) и (5) исключим неизвестную силу FTP , для этого сложим отдельно левые и правые части уравнений

		3	&&		M	,
			&&
		2	mxC = F(1+ cos β )+ Psinα −		R
		2			R
3	m&x&		= 0,8P(1 + cos30o )+ Psin 30o	−1,1P ,
	m&x&		= 0,8P(1 + cos30o )+ Psin 30o	−1,1P ,
2		C
2
		3	&&
			&&
		2	mxC = 0,89P .
		2

Отсюда, так как P=mg получим для определения xC=f(t) следующее дифференциальное уравнение

xC = 0,6g .	(6)
&&

Интегрируя уравнение (6), получим

&	0,6gt + C1 ,	xC = 0,3gt	2	+ C1t + C2 .	(7)
xC =	0,6gt + C1 ,	xC = 0,3gt		+ C1t + C2 .	(7)
На основании начальных условий xC (0)= 0 , xC(0)=0					и уравнений
		&
(7) имеем C1=0 ,	C2=0 .
Таким образом получим закон движения центра масс
		xC = 0,3gt2 .			(8)

2) Определение fmin .

153

Для определения f исходим из того, что при качении без скольжения сила трения должна удовлетворять неравенству

FTP		≤ fN .	(9)

В (9) входят модули сил. Величину N находим из (2), учитывая, что &y&C = 0 . Получим

N = Pcosα + F sin β = Pcos30o							+ 0,8Psin30o =1,27P .		(10)
Значение FTP	можно найти из (5) , подставив в него xC из (6).
								&&
Получим
	0,3mg = F − F			−	M	,	т. к.	mg = P , то
	0,3mg = F − F			−		,	т. к.	mg = P , то
			TP		R
					R
	F = F −	M	− 0,3P = 0,8P − 1,1P − 0,3P = −0,6P .						(11)
	F = F −		− 0,3P = 0,8P − 1,1P − 0,3P = −0,6P .						(11)
	TP	R
		R
Знак указывает, что сила FTP имеет направление, противоположное
указанному на рисунке.
Подставляя значения FTP				и N из равенств (10) и (11) в неравенст-
во (9), получим	0,6P £1,27Pf		,	откуда			f ³ 0,47 .
Следовательно наименьшим коэффициентом								трения, при котором
возможно качение барабана без скольжения, будет								fmin = 0,47 .

154

ЗАДАНИЕ Д-5

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя. Учитывается трение скольжения тела А и сопротивление качению тела D, катящегося без скольжения. Другими силами сопротивления и массами нерастяжимых нитей пренебрегаем. Требуется определить скорость и ускорение тела А в тот момент, когда оно пройдет путь SA=S.

В задаче обозначено:

mA , mB , mD , mE - массы тел A, B, D, E;

RB , rB , RD , rD , RE , rE - радиусы больших и малых окружностей тел B,

D, E;

ρB , ρD , ρE - радиусы инерции тел В, D, Е относительно горизонтальных осей, проходящих через их центры тяжести;

α - угол наклона плоскости к горизонту;

f - коэффициент трения скольжения тела А; k - коэффициент трения качения тела D.

Блоки и катки, для которых радиусы инерции в таблице не указаны, считать сплошными однородными цилиндрами. Наклонные участки нитей

параллельны соответствующим наклонным плоскостям. Считать величину m равной 10 кг, g=10 м/с2.

Указания:

1. Выбрать направления SA и VA и определить скорости и перемещения всех тел системы в зависимости от VA и SA .

2.Вычислить кинетическую энергию системы.

3.Вычислить сумму работ всех внешних сил, действующих на сис-

тему. Если сумма работ отрицательна, сменить направления SA и VA и вернуться к пункту 1. Если опять сумма работ получится отрицательной, то система под действием сил тяжести не приходит в движение из состояния покоя и VA=0, aA=0. Следует отметить, что при смене направлений SA и VA в силовой схеме необходимо изменить только направления сил сопротивления.

4. Записать теорему об изменении кинетической энергии системы.

						155
1						2		E
			A					E
			A					B
					SA			B
					SA
		B	α			D		A
			α

		D					α	SA
							α
		E
3		E				4
B		E						B
B							A	B
						SA	A
						SA
					D		α
							α	D
			α					D
SA		A	α
SA		A						E
								E
5						6		E
B			E					E
			E			D
						D		B
A								B
A					D
					D		α
SA							α	A
SA								A
			α					SA
7						8
	A							E
SA	A							B
SA						D		B
						D		A
	α	B			D			A
	α
						α
					E	α		SA
								SA

9		E				10
		E				B		A
						B		A
					B			SA
					B
D								α
					A			α
α					A	D
α				SA		D
				SA		E
						E

Рис. 5.1

Источник: https://studfile.net/preview/16461093/

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ
---Готовые билеты---
?Теоретические основы анализа и мониторинга качества

						155
1						2		E
			A					E
			A					B
					SA			B
					SA
		B	α			D		A
			α

		D					α	SA
							α
		E
3		E				4
B		E						B
B							A	B
						SA	A
						SA
					D		α
							α	D
			α					D
SA		A	α
SA		A						E
								E
5						6		E
B			E					E
			E			D
						D		B
A								B
A					D
					D		α
SA							α	A
SA								A
			α					SA
7						8
	A							E
SA	A							B
SA						D		B
						D		A
	α	B			D			A
	α
						α
					E	α		SA
								SA

9		E				10
		E				B		A
						B		A
					B			SA
					B
D								α
					A			α
α					A	D
α				SA		D
				SA		E
						E

						155
1						2		E
			A					E
			A					B
					SA			B
					SA
		B	α			D		A
			α

		D					α	SA
							α
		E
3		E				4
B		E						B
B							A	B
						SA	A
						SA
					D		α
							α	D
			α					D
SA		A	α
SA		A						E
								E
5						6		E
B			E					E
			E			D
						D		B
A								B
A					D
					D		α
SA							α	A
SA								A
			α					SA
7						8
	A							E
SA	A							B
SA						D		B
						D		A
	α	B			D			A
	α
						α
					E	α		SA
								SA

9		E				10
		E				B		A
						B		A
					B			SA
					B
D								α
					A			α
α					A	D
α				SA		D
				SA		E
						E

						155
1						2		E
			A					E
			A					B
					SA			B
					SA
		B	α			D		A
			α

		D					α	SA
							α
		E
3		E				4
B		E						B
B							A	B
						SA	A
						SA
					D		α
							α	D
			α					D
SA		A	α
SA		A						E
								E
5						6		E
B			E					E
			E			D
						D		B
A								B
A					D
					D		α
SA							α	A
SA								A
			α					SA
7						8
	A							E
SA	A							B
SA						D		B
						D		A
	α	B			D			A
	α
						α
					E	α		SA
								SA

9		E				10
		E				B		A
						B		A
					B			SA
					B
D								α
					A			α
α					A	D
α				SA		D
				SA		E
						E