Материал: Теоретическая механика
146
Подставляем числовые данные в (5) |
|
|
||
&& |
= |
(4200 + 200t)0,6 × 0,4 - (400 × 9,81× 0,2 + 2000)× 0,62 |
= |
|
ϕ2 |
8 × 0,42 + 29,5× |
0,62 |
||
|
|
|
||
= 4,034t + 0,4597 (сек-2).
Интегрируем это уравнение дважды:
ϕ2 = 2,017t |
2 |
+ 0,4597t + C1 |
; |
& |
|
|
|
ϕ2 = 0,672t3 + 0,230t2 + C1t + C2 .
Для определения постоянных интегрирования используем начальные условия задачи:
при t=0 ϕ2=0 , |
|
ϕ2 (0) = ω2 (0) = ω1(0) × |
R1 |
= 2 × |
60 |
= 3 |
|
|
& |
R2 |
|
40 |
|
сек-1. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
, |
ϕ2 (0)= C2 , |
|
|
|
|
ϕ2 (0) = C1 |
|
|
|
|
||
& |
|
|
|
|
|
|
т. е. |
|
|
|
|
|
|
C = 3 сек-1 |
; |
C = 0 . |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
Уравнение угловой скорости звена 2 имеет вид
ϕ2 = 2,017t |
2 |
+ 0,4597t + 3 |
-1 |
). |
|
(сек |
|||
& |
|
|
|
|
Искомое уравнение вращательного движения звена 2 имеет вид:
ϕ2 = 0,672t3 + 0,230t2 + 3t (рад).
Окружное усилие S можно определить из уравнения (4):
|
|
Inp |
ϕ2 + G3r2 + MC |
|
S = S2 |
= |
2 |
&& |
. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
147
При t1=1 сек
S = |
29,5(4,034 ×1 + 0,4597)+ |
400 ×9,81× 0,2 + 2000 |
= 7295 Н. |
0,4 |
|
||
|
|
|
Рис. 3.5
Для определения натяжения нити T составим дифференциальное уравнение вращения звена 2 (рис. 3.5) в следующем виде:
|
I2ϕ2 = S2 R2 − Tr2 − MC , |
|
|||||
|
&& |
|
|
|
|
|
|
из которого |
T = S2 R2 |
− MC − I2ϕ2 . |
|
||||
|
|
||||||
|
|
|
&& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
При t1=1 сек |
7295 × 0,4 - 2000 -13,5(4,0334 ×1 + 0,4597) |
|
|||||
T = |
= 4285 Н . |
||||||
|
|
0,2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
148
ЗАДАНИЕ Д-4
Плоскопараллельное движение твердого тела
Барабан радиуса R весом P имеет проточку (как у катушки) радиуса r=0,5R (рис.4.1, табл. Д-4). К концам намотанных на барабан нитей приложены постоянные силы F1 и F2 , направления которых определяются углом β. Кроме сил на барабане действует пара с моментом M. При движении, начинающимся из состояния покоя, барабан катится без скольжения по шероховатой наклонной плоскости с углом наклона α так, как показано на рисунках.
Пренебрегая сопротивлением качению, определить закон движения центра масс барабана, т.е. xC=f(t) , и наименьшее значение коэффициента трения fmin о плоскость, при котором возможно качение без скольжения. Барабан рассматривать как сплошной однородный цилиндр радиуса R.
Указания. При решении задачи Д-4 следует использовать дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твердого тела. При составлении уравнений следует, во избежании ошибок в знаках, направить координатную ось x в ту сторону, куда предполагается направление движения центра масс барабана (точка С), и считать положительными моменты, направленные в сторону вращения барабана. Если фактически направление движения центра С является другим, то в результате получится aC<0 и найденная величина будет верной. Силу трения, когда не ясно, куда она направлена, можно направлять в любую сторону.
Определяя наименьшее значение коэффициента трения, при котором возможно качение без скольжения, следует учесть, что сила трения не
может быть больше предельной, т.е. что FTP ≤ fN , откуда f ³ FNTP
довательно fmin = FNTP . Очень существенно, что во все эти выражения
входят модули сил (мы не пишем N , так как в данной задаче не может
быть N<0). Если при расчетах получится FTP<0, то это означает лишь, что фактически сила FTP направлена в другую сторону.
Пример выполнения задания Д-4
Барабан (сплошной однородный цилиндр) радиусом R и весом P
|
|
|
|
149 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
C |
||
|
|
C |
|
|
|
||
|
β |
|
|
β β |
|
||
|
β |
|
|
|
|||
|
|
α |
F2 |
F1 |
α |
|
|
|
F1 |
|
|
|
F2 |
||
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
F1 |
|
F2 |
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β β |
|
F2 |
|
C |
F1 |
|
|
|
C |
|
β |
|||
|
|
M |
|
||||
|
|
|
β |
||||
|
|
|
|
|
|||
|
α |
|
|
|
α |
|
|
5 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
M |
|
β β |
|
|
|
|
||
|
F2 |
F2 |
|
|
|
||
|
F1 |
C |
C |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
β β |
|
F1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
α |
|
|
|
|
α |
|
7 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
F1 |
|
F2 |
|
|
|
M |
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
β |
M |
F1 |
β |
β |
|
|
|
|
C |
C |
F2 |
|||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
|
α |
|
|
|
|
α |
|
9 |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
F2 |
F1 |
C |
|
F1 |
β |
β |
M |
|
|
|
|
|
C |
|||
|
β β |
|
F2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
α |
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.1
150
|
|
|
|
|
|
Таблица Д-4 |
|
№ |
№ |
α, ° |
β, ° |
F1 |
F2 |
|
M |
варианта |
рисунка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
30 |
60 |
0 |
0,4P |
|
0 |
2 |
2 |
30 |
30 |
0,2P |
0 |
|
0 |
3 |
3 |
0 |
30 |
0 |
0,2P |
|
0,1PR |
4 |
4 |
30 |
- |
0 |
0 |
|
0,4PR |
5 |
5 |
30 |
90 |
0,1P |
0 |
|
0,2PR |
6 |
6 |
0 |
60 |
0,3P |
0,1P |
|
0 |
7 |
7 |
30 |
0 |
0 |
0,3P |
|
0,2PR |
8 |
8 |
0 |
60 |
0,2P |
0 |
|
0,3PR |
9 |
9 |
30 |
90 |
0 |
0,2P |
|
0,4PR |
10 |
10 |
30 |
60 |
0,1P |
0 |
|
0,3PR |
11 |
1 |
30 |
60 |
0,4P |
0 |
|
0 |
12 |
2 |
0 |
30 |
0 |
0,2P |
|
0,3PR |
13 |
3 |
30 |
30 |
0,2P |
0,3P |
|
0 |
14 |
4 |
0 |
60 |
0,1P |
0 |
|
0,1PR |
15 |
5 |
30 |
30 |
0 |
0,2P |
|
0,4PR |
16 |
6 |
0 |
90 |
0,1P |
0 |
|
0,3PR |
17 |
7 |
30 |
60 |
0,2P |
0 |
|
0,4PR |
18 |
8 |
30 |
30 |
0 |
0,1P |
|
0,3PR |
19 |
9 |
0 |
90 |
0,4P |
0 |
|
0,1PR |
20 |
10 |
30 |
60 |
0 |
0,3P |
|
0,4PR |
21 |
1 |
30 |
60 |
0,1P |
0,2P |
|
0 |
22 |
2 |
0 |
30 |
0 |
0,3P |
|
0,5PR |
23 |
3 |
30 |
90 |
0,1P |
0 |
|
0,2PR |
24 |
4 |
30 |
60 |
0 |
0,4P |
|
0,1PR |
25 |
5 |
30 |
30 |
0,2P |
0 |
|
0,2PR |
26 |
6 |
0 |
60 |
0,1P |
0,2P |
|
0 |
27 |
7 |
30 |
90 |
0,3P |
0 |
|
0,1PR |
28 |
8 |
30 |
60 |
0 |
0,1P |
|
0,4PR |
29 |
9 |
0 |
30 |
0,2P |
0 |
|
0,1PR |
30 |
10 |
30 |
90 |
0 |
0,4P |
|
0,2PR |