Материал: Теория литейных процессов
Коэффициенты А \ и А3 в формуле (10.85) обратились в нуль, так как критерий Bi входит в знаменатель.
Частная формула (10.90) легко может быть преобразована к виду, при котором толщина £ затвердевшей корки непосредственно выражается через время и другие физические величины:
£= |
<т-тй7г |
(10.91) |
|
ç |
+0 + Г |
-)Н г |
|
Если ~ 0 (начальная корка отсутствует) и г2 = 0, то из этого выражения |
|||
получим |
|
|
|
| |
= |
|
(10.92) |
где R = /2Ч” + ’К м/ч|/2. |
|
|
(10.93) |
^ l ( n + l ) + l |
|
|
|
Таким образом, известная эмпирическая формула (£ = /?Vr), найденная Ламе и Клайпероном или Стефаном на основе результатов замерзания воды или промерзания влажного грунта, справедлива для случая затвердевания отливки в условиях бесконечно большой интенсивности процесса. При этом должны отсутствовать две предыдущие стадии теплообмена (г2 = 0 и = 0).
Если отливка не является плоской, величины <£> и г2 не равны нулю и интенсивность теплообмена не бесконечно велика, то формула (10.92) уже не может применяться для расчетов.
Воспользовавшись формулой (10.85), определим безразмерную линейную скорость затвердевания металла. После дифференцирования выражения (10.85) будем иметь
и = dS |
1 |
(10.94) |
dFo |
‘2A2S |
|
Отсюда определим линейную скорость затвердевания в метрах, деленных на секунду:
d Ç _ я, _ |
Я,/7 |
(10.95) |
|
|
*2А,( (i+^TÎ>
Эту частную формулу можно получить также из выражения (10.89), если в нем Bi) = оо. При этом коэффициенты А | и Аз обращаются в нуль.
Для частного случая Bi » 1 легко выразить линейную скорость затвердевания в функции времени. Из формулы (10.91) и (10.95) находим
d i |
ахп |
dr |
2п{п + \)а~](г -г 2)+^2 |
|
L(A7+ 1)+1 |
и = ^ = |
а,п |
(10.97) |
dr |
L +— }R 4T |
|
|
п+1 |
|
где R находится из выражения (10.93).
Две последние формулы можно также получить путем непосредственного дифференцирования выражений (10.96) и (10.97) по г.
Малая интенсивность теплообмена ( B i « 1)
Чтобы получить из общего выражения (10.85) частную формулу, справедливую для малой интенсивности теплообмена, разложим натуральный
логарифм формулы (10.85) в ряд. Для этого логарифм представим в виде |
|
||||
|
ÔBL |
|
ôg/, |
1 - f |
|
1п- |
ô2Bix= In |
|
n |
(10.98) |
|
|
1+ |
ô,Bi. |
|
||
1 + |
|
|
|
|
|
Тогда в соответствии с формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
-3 |
и4 |
(10.99) |
ln(l + w)= z/ - — + - ------- + ..., |
|||||
V |
' |
2 |
3 |
4 |
|
которая используется для разложения логарифма в ряд, получим
~|3
1 + - |
Ш |
<50 |
|
т - щ |
|
>Л <5 )1 , [ « { ■ - 1 ) 1 |
I 1 |
||||
1п - |
|||||
|
2 1+5iBl' |
1--- |
( 10.100) |
||
1+ ô,BL |
l + W |
3 |
/7 |
||
|
п |
п |
|
||
Воспользуемся первым слагаемым этого ряда. Кроме того, будем считать, |
|||||
, |
|
ô^BL |
|
|
|
что при Bi « 1 величина ——L, входящая в знаменатель первого слагаемого,
п
пренебрежимо мала по сравнению с единицей (что действительно так, ибо множители $2 и Bi\ много меньше единицы, а показатель п несколько больше единицы). В результате можно приближенно принять, что
8BL |
SBi( |
|
|
|
|
1+^ - |
к ) |
, |
ВВЦ |
02 |
|
1п-------- а - |
( 10. 101) |
||||
SM |
S2Bi{ |
n I |
<5 |
||
1+ |
1+ |
|
|
|
|
Подставив значение логарифма в общую формулу (10.85), после |
|||||
некоторых преобразований получим |
|
|
|
|
|
F o -F o , = - { ô - ô ,) . |
|
( 10.102) |
|||
|
- |
Bi |
|
|
|
При выводе формулы (10.102) в правой части оказалось два слагаемых |
|||||
Fo-Fo-, = Z.+ 1 |
|
|
|
|
(10.103) |
/7+ 1 |
|
|
|
|
|
Из них |
первое, включающее величину (5 - |
<%), имеет |
в знаменателе |
||||
критерий |
Bi, |
а второе, |
включающее разность (82 - |
&2) не |
содержит его. |
||
Поскольку |
Bi |
« |
1, |
то первое значительно |
по |
абсолютной величине |
|
превосходит второе слагаемое, им возможно пренебречь по сравнению с первым. Так как при B i « 1 направляющая точка Н (см. рис. 10.7-10.9) стремится в бесконечность, перепад температуры в сечении затвердевшей корки отливки обращается в нуль, и поэтому температурная кривая при любом показателе п практически не отличается от горизонтальной прямой. По этой причине в формуле (10.102) не содержится показателя п.
Из выражения (10.102) следует, что толщина затвердевшей корки (при В /« 1 ) пропорциональна времени в первой степени (линейная зависимость).
Критерий линейной скорости затвердевания для относительно малой интенсивности теплообмена определяется путем дифференцирования
выражения (10.102): |
|
|
|
|
_ dS |
_ Bix |
|
(10.104) |
|
dFo |
L |
|
||
|
|
|||
Линейная скорость затвердевания |
|
|
|
|
dÇ |
Bix tf]|('кр-'с) |
(10.105) |
||
dr X x |
L |
Y\P\ |
||
|
||||
Как видим, при Bi\ « 1 линейная скорость затвердевания плоской отливки является величиной постоянной (не зависящей ни от толщины затвердевшей корки, ни от времени). Скорость оказывается прямо пропорциональной интенсивности теплообмена (критерию Bi или коэффициенту теплоотдачи а{).
Средняя интенсивность теплообмена (/?/= 1)
Из общего решения уравнения (10.85) можно получить упрощенную формулу применительно к средней интенсивности теплообмена. Для этого надо воспользоваться не одним, а двумя первыми слагаемыми разложения
логарифма в ряд. По-прежнему, будем считать, что величина - —
п
пренебрежимо мала по сравнению с единицей. Тогда логарифм можно будет представить в виде
+ SBL1 |
|
(10.106) |
In |
|
|
1+ S2Bi] |
|
|
Подстановка выражения (10.106) в формулу (10.85) дает |
||
Fo- FO2= — (<5 |
)+ ----- !---- (5 - S2У +— (b +— )(<52 - 5,2)- |
|
2 Bi |
2/ 2«(/7+ 1)V |
27 2n{ n + \JK |
или в виде с помощью критериев подобия:
|
х/Х, |
|
'кр-'с |
:1 — |
(ЮЛ 14) |
1 + - |
|
|
|
SBL |
|
Определив из выражения (10.85) толщину затвердевшей корки, нетрудно найти связь между температурой t, координатой * и временем г.
Обобщенная зависимость, связывающая параметры /, х и г, может быть получена при решении уравнений (10.85), (10.113). При этом необходимо исключать 8. Однако решить общее уравнение (10.85) относительно 8 затруднительно.
Соответствующую зависимость между t, х и г легко найти лишь для
определенных частных условий теплообмена (Bi » t , Æ/ « 1, Bi « |
1). |
|||||
При Bi » 1 формула (10.113) приобретает вид |
|
|
|
|||
|
|
|
V' |
|
|
(10.115) |
|
/ - 4 |
, - 0 - h |
- l + V |
|
|
|
|
|
V |
ь ) |
|
|
|
Из выражения (10.115) и формулы (10.91) находим |
|
|
||||
'= - ( '* -О - 1— |
|
, |
+'кр |
(10.116) |
||
|
|
2и{я+])а!_(г_ } |
|
|
||
|
|
Vi(n+l) +l |
- |
|
|
|
или в критериях подобия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
.t |
|
|
|
|
t ~ î c |
|
X . |
|
|
(ЮЛ 17) |
|
= 1- |
1— j--------------------- ------- |
|
|
|||
'кр _/с |
^ |
( /7 +1)+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Формулы (10.113), (10.116) и (10.117) справедливы для х < £(в пределах толщины затвердевшей корки).
Для относительно малой интенсивности теплообмена (Æ/'i«l) температура в любой точке в течение всей третьей стадии процесса (затвердевания металла) сохраняет постоянное значение, равное гкр (t = tKp).
Формула (10.113) определяет температуру t в виде функции от толщины Ç [/=X<£)L а формула (10.85)-толщину корки Çв функции от времени г[^ = /г)].
По правилу дифференцирования сложной функции найдем
dt_^dt_dÇ_
(10.118)
дт 8Ç с/т
Производная от температуры по толщине затвердевшей корки определяется из выражения (10.113):