Материал: УМК Коровкин-Кулик

Теорема Эйлера. Главные вектора объемных и поверхностных сил и вектора количеств движения масс жидкости, входящих и выхо- дящих сквозь сечения трубы в единицу времени, направленные внутрь выделенного объема, образуют замкнутый многоугольник.

Обращаем особое внимание на необходимость при применении тео- ремы Эйлера направлять вектор количества движения массы, проходящей в единицу времени, через нижнее (по течению) сечение, всегда внутрь вы- деленного объема жидкости в трубе (рис. 3.19).

Из формулы Эйлера можно найти и действие жидкости на трубу. Для этого достаточно по закону равенства действия и противодействия заме- нить главный вектор поверхностных сил, приложенных к жидкости, на равный ему и прямо противоположный по направлению вектор.

3.15.2. Давление жидкости на неподвижный сосуд

151

нию с площадью свободной поверхности в сосуде, то исходя из формулы Торричелли можно записать:

V2 = 2gh , V1 = 0 ,

Чтобы оценить реакцию выходящей струи, заметим, что проекции давления жидкости на площадку S2 нижнего конца при закрытом кране были бы равны

Заменяя в выражении (3.163) М на ρV2S2 = ρS2 2gh и сравнивая с

(3.164), получим

то есть реакция выходящей струи по величине в два раза превосходит статическое давление на сечение и направлена в сторону, противополож- ную этому давлению:

Искусственно создавая большое давление на поверхность S1, можно получить очень значительные скорости в выходном отверстии и, таким об- разом, – значительные реакции вылетающей струи.

3.15.3. Давление струи на пластинку

Теорема количеств движения позволяет определять давление струи, падающей на пластинку, если только размеры пластинки значительно пре- восходят диаметр струи.

Если струя падает перпендикулярно на пластинку (рис. 3.21), то, предполагая, что скорость оттекания (а, следовательно, и площадь сечения струи) мало изменяется, сможем, не учитывая веса, определить силу дав- ления на пластинку

R = MV1 ,

152

так как вектора количеств движения растекающейся по поверхности пла- стинки жидкости равны и прямо противоположны. Заменяя расход М его значением ρSV1 , получим известную формулу Даниила Бернулли:

то, предполагая, что размеры пластинки велики по сравнению с диаметром струи, получим вектора MV1 , −M 2V2 , −M 2 'V2 и давление R ' пластинки на жидкость, которые образуют замкнутый четырехугольник. Давление жид- кости на пластинку или пластинки на жидкость будем считать нормальным к пластинке, так как трением жидкости о пластинку можно пренебречь. Выше (см. п. 3.15.2) в силу симметрии мы считали, что секундные количе- ства движения жидкости, оттекающей по пластинке в обе стороны, одина- ковы. Теперь мы не можем сделать этого предположения, как видно из диаграммы на рис. 3.22.

Обозначим массу жидкости, протекающую через сечение струи в верх- ней части пластинки А, – М2 , а через сечение струи в нижней части В – М2′.

Проектируя вектора, образующие замкнутый четырехугольник, на направление нормали к пластинке, будем иметь

R1 = MV1 sin α = ρSV12 sin α.

153

Здесь опять S обозначает площадь сечения струи у выхода из трубы.

При α = π получим формулу (3.166). Проектируя тот же четырехугольник

2

на направление пластинки, получим

MV1 cos α + M 2 'V2 '− M 2V2 = 0

Кроме того, из условия одинаковости расхода массы жидкости вдоль

струи

М2 + М2′ = М.

Из этих двух уравнений можно вычислить массы жидкости, расте- кающиеся в единицу времени в обе стороны пластинки. Обыкновенно счи- тают, что скорости растекания струи одинаковы со скоростью струи при выходе из трубы, то есть V2 = V2′ = V1, так что различие значений М2 и М2' происходит за счет разных сечений струи в точках А и В. При таком пред- положении будем иметь:

Подобно тому, как мы вычислили давление струи на плоскую пла- стинку, точно так же можно найти и давление на криволинейную пластин- ку. Например, если струя ударяется о ло- патку в форме дуги круга (рис. 3.23), то

давление

то есть в два раза большее давление, чем при натекании на перпендику- лярную плоскую пластинку.

154

3.15.4. Уравнение Бернулли

Выделим в жидкости отдельную струйку (рис. 3.24) и обрежем ее дву- мя перпендикулярными к линии тока сечениями А и В.

За момент времени dt масса жидкости АВ перейдет в новое положе- ние A′B′ , причем количество жидкости, заключенное в каждом из заштри- хованных элементов, будет равно mdt, где m – масса жидкости, проходя- щая через поперечное сечение струйки за единицу времени.

Изменение кинетической энергии выделенной массы жид- кости будет равно работе сил веса и гидродинамического давления (работой сил внутреннего трения пренебрегаем, считая жидкость идеальной).

В момент времени t выде- ленная масса жидкости, занимая объем АВ, имеет кинетическую

энергию Т1, которую можно представить состоящей из двух слагаемых: кинетической энергии Т1′ жидкости в объеме AA′ и кинетической энергии Т1′′ жидкости, занимающей остальную часть A′B объема струйки.

Пусть V1 – скорость в сечении А, тогда

T1′ = mdt V12

2

и, следовательно,

T1 = mdt V12 + T1′′ . 2

Аналогично в момент времени (t + dt) получим

T2 = mdt V22 + T2′′ , 2

где Т2′′ – кинетическая энергия жидкости в объеме A′B в момент (t + dt); V2 – скорость в сечении В.

Считая движение жидкости установившемся, то есть принимая, что скорость, меняясь от сечения к сечению, остается в данном месте постоян- ной (не изменяется во времени), имеем

155