Материал: УМК Коровкин-Кулик

Эта величина называется начальным отклонением колеблющейся ма- териальной точки. Скорость последней в произвольный момент времени t

Vx = xɺ = aωcos(ωt + ϕ0 ) .

При t = 0 Vx0 = aωcos ϕ0 .

Это выражение для начальной скорости. Максимальные значения скорости

Vx.max = ±aω

достигаются при cos(ωt + ϕ0 ) = ±1, или sin(ωt + ϕ0 ) = 0 ,

что соответствует условию х = 0, то есть моментам прохождения колеб- лющейся точкой положения равновесия.

Закон гармонических колебаний (3.138) можно преобразовать сле-

Согласно формуле (3.142), амплитуда зависит от начальных пара-

метров колебания ( x0 и Vx0 ). Отметим, что в формулы для круговой часто-

ты и периода колебаний начальные параметры не входят. Начальная фаза находится из выражения

материальной точки

Рассмотрим движение точечной массы т вдоль оси Ох под действи- ем восстанавливающей силы, пропорциональной отклонению от начала отсчета, и силы сопротивления R, пропорциональной скорости (направ- ленной против скорости, как показано на рис. 3.13.)

141

2m

мерность [n] = c–1 ). Такое движение называется затухающими колебаниями. Начальное отклонение колеблющейся точки x0 = α sin ϕ0 .

Скорость точки в произвольный момент времени t находим путем дифференцирования по времени выражения (3.145).

Vx = −ane−nt sin(ω1t + ϕ0 ) + aω1e−nt cos(ω1t + ϕ0 ) .

Начальная скорость

Vx0 = aω1 cos ϕ0 − na sin ϕ0 .

Учитывая полученные выражения, находим

Уравнение затухающих колебаний (3.145) можно преобразовать так:

142

Из рассмотрения формулы (3.147) следует, что колеблющаяся точка проходит через положение равновесия ( x обращается в нуль) через равные промежутки времени, соответствующие полупериоду функции sin(ω1t + ϕ0 ) .

Промежуток времени

условно называется периодом затухающих колебаний, хотя строго говоря, функция в правой части уравнения (3.145) не является периодической:

x(t) ¹ x(t + T1)

для всех значений x , кроме x = 0 .

Можно показать, что наибольшие отклонения от положения равнове- сия в одну и ту же сторону (неравные по абсолютной величине) также про- исходят через одинаковые промежутки времени, равные T1 . Для этого нужно учесть, что в указанные моменты времени Vx0 = 0.

Быстрота уменьшения наибольших отклонений от положения равно- весия характеризуется так называемым декрементом затухания, представ- ляющим собой отношение двух последующих наибольших отклонений в одну и ту же сторону от положения равновесия, достигаемых через проме- жуток времени, равный T1 :

Натуральный логарифм D называется логарифмическим декремен-

том затухания

ln D = nT1 .

Вышеприведенные рассуждения относились к частному случаю движения материальной точки под действием восстанавливающей силы, пропорциональной отклонению от положения равновесия, и силы сопро- тивления, пропорциональной скорости, при условии, что ω2 – n2 > 0. Воз- можны случаи, когда сила сопротивления зависит от скорости нелинейно. Возможно, что при линейной зависимости силы сопротивления от скоро- сти ω ≤ n. В последнем случае материальная точка будет совершать так на- зываемое апериодическое движение. В зависимости от начальных парамет- ров графики апериодического движения имеют одну из форм, показанных на рис. 3.14.

143

отсутствии специальных мер являются затухающими. Для создания неза- тухающих колебаний следует осуществлять непрерывный подвод энергии, расходуемой на преодоление сил сопротивления.

3.14.3. Вынужденные колебания материальной точки

Рассмотрим движение точечной массы m вдоль оси Ox под действи-

ем восстанавливающей силы F , пропорциональной отклонению от начала

отсчета, силы сопротивления R , пропорциональной скорости, и дополни-

тельной силы, изменяющейся в функции времени, называемой силой Fн .

Условимся, что возмущающая сила направлена вдоль оси Ox и изменяется по гармоническому закону, то есть выражается формулой

Fn = Qsin ωBt ,

Q = p , получим линейное дифференциальное уравнение с правой частью m

144

Общее решение уравнения (3.151) имеет вид x = x1 + x2 ,

где х1 – общее решение уравнения (3.151), взятого без правой части; х2 – одно из частных решений уравнения (3.151).

Величина х1 может быть определена по формуле

где ω1, а, и ϕ0 определяются по формуле

(3.146).

Для нахождения х2 допустим, что x2 = bsin(ωВt + ψ0 ) , (3.153)

где b и ψ0 – постоянные, подлежащие определению.

Определим b и ψ0 , подставляя зна- чения х2 и его производных в уравнение

(3.151):

График движения согласно закону (3.155) может быть получен сум- мированием ординат графиков движения, соответствующих уравнениям

(3.152) и (3.153), взятых порознь (рис. 3.15).

Из рассмотрения графиков на рис. 3.15 следует, что движение мате- риальной точки представляет собой сумму колебаний двух видов:

1)затухающих колебаний согласно уравнению (3.152);

2)гармонических незатухающих колебаний с круговой частотой ωВ согласно уравнению (3.153).

145