Материал: Вариационные методы
Задача вариационного исчисления со свободными концами. Естественные граничные условия
Задачей со свободными концами называется задача об отыскании экстремума интегрального функционала
x2 |
|
J(y)= ∫F(x, y, y')dx → extr |
(3.3) |
x1
среди всех кривых концы которых лежат на двух заданных вертикалях x=x1, x=x2 , т.е.
δy(x1)≠ 0, |
|
|
(3.4) |
δy(x2 )≠ 0 |
|
Задача вариационного исчисления в постановке (3.3, 3.4) называется задачей со свободными концами, а граничные условия в форме (3.4)
– естественными граничными условиями.
Задача вариационного исчисления со свободными концами. Естественные граничные условия
Согласно необходимому условию экстремума, формуле для первой вариации функционала
δJ(y0 )= (Fy'δy) |
|
x |
x2 |
|
dFy' |
|
|
|
|
||||||
|
2 |
+ ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Fy − |
|
δydx |
(3.5) |
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x1 |
x1 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|||||
и граничным условиям (3.4) , экстремум функционала с естественными граничными условиями достигается при выполнении:
∂F |
|
= 0, |
∂F |
= 0 |
(3.6) |
|
∂y′ |
|
∂y′ |
||||
x=x1 |
|
x=x2 |
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Fy |
− |
dFy' |
= 0 |
|
|
(3.7) |
dx |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3.2 Естественные граничные условия
Найти экстремаль функционала
J(y)= ∫1 (x2 + y2 + y'2 )dx; y(−1)= 1
−1
рассмотренного ранее в примере 2.1, при том же самом граничном условии на левом конце, и при незаданном граничном условии на правом конце. Сравнить решение с решением задачи 2.1.
Решение задачи 2.1 без учета граничных условий имеет вид (см. пример 2.1):
y(x)= C1ex + C2e−x
На левом коне промежутка интегрирования граничное условие такое же как в 2.1, а на правом находится в соответствии с (3.6).
Пример 3.2 Продолжение
∂F |
= 0, |
2y |
′( ) |
= 0 |
∂y′ |
1 |
|||
x=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
С учетом известного общего решения вариационной задачи
y |
′( |
x |
) |
= C1e |
x |
− C2e |
− x |
′( ) |
1 |
− C2e |
−1 |
|
|
|
|
, y 1 |
= C1e |
|
Найдем произвольные постоянные, обеспечивающие выполнение граничных условий:
|
= C1e |
−1 |
|
1 |
1 |
|
+C2e |
||
|
|
1 |
|
−1 |
|
|
−C2e |
||
0 |
= C1e |
|
||
Произвольные постоянные, как и в примере 2.1 определяем с помощью MathCad:
Пример 3.2 Продолжение
С учетом найденных постоянных, частное решение уравнения Эйлера имеет вид:
y(x)=0.04889ex +0.36126e− x