Материал: Вариационные методы
Пример 3.2 Продолжение.
Графики экстремалей показаны на рисунке. Красная сплошная линия соответствует решению этой задачи, синяя пунктирная - решению задачи 2.1.
Вычислим и сравним значение функционала на этих экстремалях с помощью MathCad.
Пример 3.2 Продолжение.
Проведем сравнение решений, найденных в примерах 2.1 и 3.2 по функционалу.
Для задачи с фиксированными граничными условиями было получено значение функционала 4.7515, а для задачи со свободным правым концом 1.6307. Уменьшение функционала объясняется снятием одного ограничения.
Лабораторная работа № 5
Экстремаль функционала с естественными граничными условиями.
1.Для своего варианта функционала найти экстремаль и построить график. Сравнить график с результатом, полученным в задании а) лабораторной работы 2.
2.Вычислить значение функционала на этой экстремали. Сравнить результат со значением функционала в задании а) лабораторной работы 2.
3.Сделать выводы, оформить отчет.
Задача вариационного исчисления с подвижными концами.
Условия трансверсальности
Рассмотрим задачу вариационного исчисления для функционала (3.3). Пусть на левом конце задано граничное условие: y(x1)=y1; а на правом конце x2 график функции проходит через точку M2(x2,y2), лежащую на заданной линии y=φ(x).
Недостающее граничное условие на правом конце выведем из необходимого условия экстремума δJ = 0 .
Вывод условия трансверсальности
Вариация функционала вызывается, кроме вариации функции, вариацией правой точки x2.
С учетом этого, найдем вариацию функционала
|
x2 +δx2 |
|
δJ(y0 )= ∫ |
(F(x,y0 +δy0 ,y'0 +δy'0 )−F(x,y0 ,y'0 ))dx= |
|
|
x1 |
|
x2 |
|
x2 +δx2 |
= ∫ |
(F(x,y0 +δy0 ,y'0 +δy'0 )−F(x,y0 ,y'0 ))dx+ ∫F(x,y0 +δy0 ,y'0 +δy'0 )dx. |
|
x1 |
|
x2 |
Второй интеграл вычисляется на малом промежутке, воспользуемся теоремой о среднем:
δJ(y0 )= (Fy'δy) |
|
x |
2 |
x2 |
|
dF |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
y' |
|
|
||||
|
x1 |
+ ∫ |
Fy − |
|
|
δydx + (Fδx) |
|
x |
(3.8) |
||
|
dx |
||||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
x |
|
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|