Материал: Вариационные методы
Вывод условия трансверсальности
Таким образом, на правой границе необходимое условие экстремума имеет вид
(Fy'δy) |
|
x=x2 |
+F |
|
x=x2 |
δx2 =0 |
(3.9) |
||
|
|
||||||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Величина δy |
|
x=x2 |
может быть вычислена |
|
|||||
|
|
||||||||
|
|
|
|||||||
δy |
|
=δy2 − y'(x2 )δx2 |
(3.10) |
|
|||||
|
|
||||||||
|
|
x=x2 |
|
|
|
|
|
tgα=y′ (x2) |
|
Учитывая δy2=ϕ′(x2)δx2 |
|||||||||
|
|||||||||
запишем недостающее |
|
||||||||
условие экстремума на |
|
||||||||
правой границе: |
|
y(x)+δ y(x) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(F+(ϕ'−y')F |
|
) |
|
=0 |
(3.11) |
y(x) |
|||
|
|
||||||||
y' |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
x=x2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
y=ϕ(x) |
|
α |
δ y2 |
|
|
|
|
δ y|x=x2 |
|
|
δ x2 |
x2+δ x2 |
x2 |
|
Условие (3.11) называется условием трансверсальности
Пример 3.3 Условия трансверсальности
Пусть требуется найти решение вариационной задачи с подвижным правым концом :
J(y)= x∫2(x2 + y2 + y′2 )dx; y(−1)=1; |
2 |
||||
|
−1 |
|
|
y2 =5−2x2 . |
|
Запишем граничные условия: |
|
||||
|
+ (y(x2 )) |
+ (y′(x2 )) |
y(−1)= 1 |
2 y′(x2 )= 0 |
|
x2 |
|
+ (− 4x2 − y′(x2 )) |
|||
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
y(x2 )= 5 − 2 x2 |
|
||
Подставим решение уравнения Эйлера в граничные условия:
|
|
c1 e−1 +c2 e1 =1 |
|
|
x22 +(c1 ex2 +c2 e−x2 )2 +(c1 ex2 −c2 e−x2 )2 +2(−4x22 −c1 ex2 +c2 e−x2 |
) (c1 ex2 −c2 e−x2 )=0 |
|||
|
c |
ex2 +c e−x2 =5−2 x2 |
|
|
|
1 |
2 |
2 |
|
|
|
|||
Пример 3.3 Условия трансверсальности
Находим постоянные, из граничных условий:
Окончательно получаем решение:
y(x)= 0.010346ex + 0.366479e− x; x [−1; 1.561055]
Пример 3.3 Условия трансверсальности
Построим график экстремали для этой задачи, график функции по которой перемещается правая граница экстремали и, для сравнения, экстремаль задачи 2.1.
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
y( 0.010346,0.366479,x) |
|
|
|
|
|
|
|
||
5 |
. |
2 |
1.5 |
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
||
y( 0.699,0.273,x) |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0.5 |
0 |
0.5 |
1 |
1.5 |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
2 |
Самарский государственный аэрокосмический университет
Лекция 4. Функционалы, зависящие от
старших производных. Уравнение Эйлера-Пуассона. Вариационная производная
О. Л. Старинова
Кафедра Космического машиностроения |
2015 г. |