Материал: Вариационные методы
2.Подынтегральная функция не зависит от x
Вэтом случае, по формуле (2.11)
∂F |
|
∂ |
|
∂F |
y′ − |
∂ |
|
∂F |
y′′ = 0 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y ∂y |
∂y′ |
|
∂y′ |
∂y′ |
|
||||
Умножив это уравнение на y′ получим:
∂F ∂y
∂F ∂x
y′ −
+∂F ∂y
∂ |
|
∂F |
|
(y′)2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
∂y |
∂y′ |
|
||
y′ + ∂F y′′ − ∂y′
|
∂ |
|
∂F |
y′′ y′ = 0 |
− |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
∂y′ |
∂y′ |
|
|
∂F y′′ − |
∂ |
|
∂F |
|
(y′)2 |
|
|
|
|||||
|
|
|||||
∂y′ |
|
|
|
|
|
|
∂y |
∂y′ |
|
||||
|
∂ |
|
∂F |
y′′ y′ = 0 |
− |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
∂y′ |
∂y′ |
|
|
d |
∂F |
|
F − y′ |
∂F |
= С |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
F − y′ |
= 0 |
|
|
∂y′ |
|
(2.12) |
dx |
∂y′ |
|
|
|
|
||
Пример 2.3 Подынтегральная функция не зависит от x. Задача о брахистохроне
Время движения по кривой под действием силы тяжести имеет вид:
T(y)= x∫2 
1+ (y′)2 dx x1 
2gy
Подынтегральное выражение не зависит от x. Поэтому уравнение Эйлера имеет вид (2.13).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ (y′)2 |
|
|
|
|
y′ y′ |
~ |
|||||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
= c |
|
|
2gy |
|
1+ (y′)2 |
|||||||
|
|
|
|
|
2gy |
|
|
||||
Пример 2.3 Продолжение
Проводя преобразования, получим нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка:
y (1+ (y′)2 )= c
Решением которого, с учетом нулевых начальных условия, является параметрически заданная кривая - брахистохрона: 3
x = c (t − sint)
= −
y c (1 cost)
2
)
1
0
0 |
5 |
10 |
3.Подынтегральная функция не зависит от y’
Вэтом случае уравнение Эйлера обращается в алгебраическое уравнение, задающее одну кривую.
Вэтом случае в решении нет произвольных постоянных и оно может не удовлетворять граничным условиям. Поэтому, если граничные условия выполняются, то получена экстремаль, если нет, то нет и решений у данной вариационной задачи.
b
Пример. Рассмотрим функционал J(y)= ∫(x − y)2 dx
a
Для него уравнение Эйлера сводится к конечному уравнению, его решение – прямая y = x (вдоль нее интеграл равен нулю). Если граничные условия лежат на этой прямой, то уравнение Эйлера имеет решение. Если нет, то решения в классе непрерывных функций не существует.
Лабораторная работа № 2
Простейшая задача вариационного исчисления. Частные случаи решения уравнения Эйлера.
1.Для своего варианта функционалов a), b), c) найти экстремали и построить их.
2.Вычислить значения функционалов на этих экстремалях.
3.Проверить, доставляет ли решение 2а) минимум функционалу.
4.Оформить отчет.