Материал: Вариационные методы
Самарский государственный аэрокосмический университет
Лекция 3. Уравнение Эйлера. Функционалы, зависящие от несколькох функций.
Вариационные задачи с подвижными концами
О. Л. Старинова
Кафедра Космического машиностроения |
2015 г. |
Функционалы, зависящие от нескольких функций.
Интегральный функционал может зависеть и от нескольких функций. Рассмотрим случай, когда он зависит от двух функций y(x) и z(x), а также их первых производных.
b |
)dx |
|
′ ′ |
(3.1) |
|
J(y, z) = ∫F(x, y, z, y , z |
|
a
В этом случае необходимыми условиями экстремума будут условия
∂F |
|
d |
∂F |
|
|||
|
|
− |
|
|
|
= 0 |
|
|
|
||||||
∂y |
|
|
|
|
|
||
|
|
dx |
∂y′ |
(3.2) |
|||
|
∂F |
|
d |
∂F |
|||
|
− |
= 0 |
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
||||||
|
∂z |
|
dx ∂z′ |
|
|||
|
|
|
|||||
Доказательство для этого общего случая не отличается от изложенного выше доказательства формулы Эйлера.
Пример 3.1 Решение вариационной задачи для функционала, зависящего от нескольких функций.
Найти экстремаль функционала, зависящего от двух функций, при заданных граничных условиях, и построить график экстремали в виде двух функций y(x), z(x) и в виде пространственной кривой.
2 |
y(−2)=1; |
z(−2)=0; |
J(y,z)= ∫(y'2 +z'2 +2yz)dx; |
|
|
−2 |
y(2)=0; |
z(2)=2. |
Система уравнений Эйлера после сокращения на –2 имеет вид
y''−z =0;
z''− y=0.
После подстановки произвольных постоянных уравнения экстремали
y=0.06521e−x +0.13414ex +0.60075cosx−0.82481sinx;z =0.06521e−x +0.13414ex −0.60075cosx+0.82481sinx.
Пример 3.1 Продолжение.
График пространственной кривой строим с помощью MathCad. На рисунке показан трёхмерный график пространственной экстремали.
Вычислим значение функционала на этой экстремали с помощью MathCad.
Лабораторная работа № 3
Экстремаль функционала, зависящего от нескольких функций.
1.Для своего варианта функционала найти экстремаль и построить трехмерный график.
2.Вычислить значение функционала на этой экстремали.
3.Оформить отчет.