Материал: Вариационные методы
Функционалы, зависящие от старших производных.
Интегральный функционал может зависеть не только от неизвестной функции и ее первой производной, но и от производных высших порядков.
b |
(4.1) |
|
′ ′′ ′′′ |
||
|
||
J(y) = ∫F(x, y, y , y , y ,...)dx |
|
a
Получим условия оптимальности, аналогичные уравнению Эйлера, для функционала такого вида на основе необходимого условия существования экстремума δJ=0. Для этого исследуем на экстремум функционал, зависящий от функции одной переменной и её производных 1-го и 2-го порядка
x2 |
|
|
J(y)= ∫F(x,y,y',y'')dx→extr |
(4.2) |
|
|
|
|
x1 |
|
|
c фиксированными граничными условиями: |
|
|
y(x1 )= y1; |
y'(x1 )= y'1 ; |
|
y(x2 )= y2 ; |
y'(x2 )= y'2 . |
(4.3) |
Функционалы, зависящие от старших производных.
Вычислим δJ=0 как линейную часть приращения функционала. Разложим первое слагаемое в ряд Тейлора в окрестности экстремали, и удержим только линейные члены. Слагаемое, содержащее 1-ю производную, проинтегрируем по частям один раз, а слагаемое, содержащее 2-ю производную – 2 раза.
x2
δJ(y0 )= ∫(F(x, y0 +δy, y'0 +δy', y''0 +δy'')− F(x, y0 , y'0 , y''0 ))dx =
x1
=x∫2 (Fyδy + Fy'δy'+Fy''δy'')dx =
x1
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|||
= ∫Fyδydx + (Fy'δy) |
|
xx2 |
− ∫ |
dFy' |
δydx + (Fy''δy') |
|
xx2 − ∫ |
dFy'' |
δy'dx = |
|||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
dx |
dx |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
x2 |
|
|
|
dF |
|
dF |
|
|
x2 |
x2 |
d2F |
|
|
x2 |
|
|
|
dF |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
y' |
|
|
|
y'' |
|
|
|
|
∫ |
|
y'' |
|
|
∫ |
|
|
|
y' |
|||
= |
|
F |
− |
|
δydx − |
|
|
|
δy |
|
+ |
|
|
2 |
|
δydx = |
F |
− |
|
|||||||
|
|
|
y |
|
dx |
|
|
dx |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
y |
|
dx |
||||||
|
x |
|
|
|
x |
x |
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ d2Fy'' dx2
(4.4)
δydx = 0.
Функционалы, зависящие от старших производных.
При вычислении вариации функционала было учтено, что граничные условия на концах интервала фиксированы (4.2), поэтому δy(x1)=0,
δy(x2)=0, δy’(x1)=0, δy’(x2)=0.
В силу произвольности вариации функции δy(x) по основной лемме вариационного исчисления первый сомножитель под интегралом должен равняться нулю:
F |
|
− |
dF |
y' |
+ |
d 2 F |
y'' |
=0 |
|
|
|
|
|
||||||
y |
|
|
|
|
(4.5) |
||||
|
|
dx |
dx2 |
||||||
Подобное уравнение может быть легко получено и для функционала, зависящего от старших производных:
|
dF |
d2F |
d3F |
dn |
∂F |
|
|
|
||||||||
F − |
y' |
+ |
|
y'' |
− |
|
y′′′ |
+...+ (−1)n |
|
|
|
|
|
|
= 0 |
(4.6) |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||
y |
dx |
dx |
|
dx |
|
dx |
n |
∂y |
(n) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Уравнение (4.6) называется уравнением Эйлера-Пуассона.
Пример 4.1 Решение вариационной задачи для функционала, зависящего от старших производных
Найти экстремаль функционала при заданных граничных условиях и построить график экстремали в виде двух функций y(x), y’(x).
1 |
(y''2 −2y'2 +4yy'+ y2 − 2ysin 2x)dx; |
y(−1)=1; |
y(1)= 2; |
J(y)= ∫ |
|
|
|
−1 |
|
y'(−1)= −1; |
y'(1)= −1. |
Уравнение Эйлера-Пуассона после сокращения на 2 примет вид
yIV + 2y''+y = sin 2x
Соответствующие однородное уравнение yIV + 2y''+y = 0 и характеристическое уравнение
k4 + 2k2 +1= 0
Корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные, кратные:
k4 + 2k2 +1= (k2 +1)2 = 0, k = i, k |
3,4 |
= −i |
1,2 |
|
Пример 4.1 Продолжение
Соответствующее общее решение однородного уравнения имеет вид:
y0 (x)= (c1x + c2 )cos x + (c3x + c4 )sin x
Частное решение будет иметь вид
yч (x)= Acos2x + Bsin 2x
Найдем производные частного решения и неопределенные коэффициенты
yч′ (x)= −2Asin 2x + 2Bcos2x yч′′(x)= −4Acos2x − 4Bsin 2x yч′′′(x)= 8Asin 2x −8Bcos2x
yчIV (x)=16Acos2x +16Bsin 2x
16Acos2x +16Bsin 2x −8Acos2x −8Bsin 2x + + Acos2x + Bsin 2x = sin 2x