Материал: Вариационные методы
Пример 2.1 Решение дифференциального уравнения Эйлера. Продолжение.
Найдем произвольные постоянные (С1, С2), обеспечивающие выполнение граничных условий:
Определяем
произвольные постоянные в MathCad:
y(−1)=1; |
1 |
= C e−1 |
+ C |
e1 |
|||
|
( ) |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
1 |
+ C2e |
−1 |
||||
|
y 1 =2. |
2 |
= C1e |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2.1 Решение дифференциального уравнения Эйлера. Продолжение.
С учетом найденных постоянных, решение уравнения Эйлера имеет вид, показанный на рис. Вычислим значение функционала на оптимальной функции и на близкой функции. На экстремали функционал достигает миним. значения.
min
Частные случаи уравнения Эйлера
Распишем уравнение Эйлера более подробно:
δF = ∂F
∂y
δF = ∂F
∂y
δF = ∂F
∂y
|
|
d |
|
∂F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
∂y′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
∂ |
|
∂F dx |
|
|
∂ |
∂F |
|
dy |
|
|
|
|
∂ |
∂F |
|
dy′ |
|
|||||||||
− |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
∂y′ dx |
|
|
∂y |
∂y′ dx |
|
|
|
∂y′ |
∂y′ dx |
|
|||||||||||||||
|
|
∂ |
|
∂F |
|
|
∂ |
|
∂F |
y′− |
∂ |
|
∂F |
y′′ |
|
|
|
|||||||||||
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
(2.10) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
∂y′ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
∂x |
∂y′ |
|
|
∂y′ |
|
|
|
|
∂y′ |
|
|
|
|
|||||||||||||
1. Пусть подынтегральная функция не зависит от y. В этом случае уравнение Эйлера примет вид:
d |
|
∂F |
|
|
∂F |
|
|
|
|
|
= 0 |
или |
|
= C |
(2.11) |
|
|
||||||
|
|
||||||
|
|
|
∂y′ |
||||
dx |
∂y′ |
|
|
|
|
||
Пример 2.2 Подынтегральная функция не зависит от у
Найти экстремаль функционала
|
|
2 |
|
|
|
′ 2 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
J(y)= ∫ |
|
1+ (y ) |
|
, y(1)= 0 , y(2)=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Согласно (2.11) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
y′ |
= C |
( |
|
′)2 |
( |
− x |
2 |
|
2 ) |
= C |
2 |
|
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
1 |
|
C |
|
|
|
x |
|
|||||
|
x 1+ (y′)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Т.е. |
|
|
y′ = |
|
|
|
|
|
Cx |
|
|
|
, следовательно |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1− C 2x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Cx |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
y = |
∫ |
|
|
|
|
|
|
dx = |
1− C 2x 2 + C |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
1− C 2x 2 |
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Пример 2.2 Продолжение
Получаем общее решение уравнения Эйлера в виде:
(y − C1)2 + x 2 = C12
Находим постоянные, из граничных условий:
(0− C1 )2 |
+12 |
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
C |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C = |
|
C1 = 2 |
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
(1 |
− C )2 |
+ 22 |
= |
|
5 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
C |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Окончательно получаем решение:
(y − 2)2 + x 2 = 5