Материал: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА_ГОРНЫЙ

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

Следствие. Если xn a и a 0 (или a 0 ), то все члены последовательности, начиная с некоторого, будут больше нуля (меньше нуля).

Теорема 4. Если три числовые последовательности xn , yn и zn

удовлетворяют неравенствам xn zn yn для любого n, последовательности

xn и yn имеют общий предел a , то и предел последовательности zn также равен числу a .

yn a, то в соответствии с определением предела можно записать:

довательность.

Определение. Числовая последовательность xn называется монотонно возрастающей, если каждый ее последующий член не меньше предыдуще-

го, т.е. x1 x2 xn (обозначение xn ).

Аналогично определяется монотонно убывающая последовательность:xn , если каждый ее последующий член не больше предыдущего, т.е. x1 x2 xn ...

Теорема 6 (без доказательства). Если числовая последовательность монотонно возрастает (или убывает) и ограничена, то она сходится, т.е. имеет конечный предел.

Замечание 3. Если отметить на числовой оси значения членов возрастающей последовательности xn , то становится ясным геометрический

17

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

смысл теоремы: точка xn с увеличением n будет двигаться слева направо,

оставаясь все время левее точки M. В этих условиях точка xn будет стремиться к некоторой предельной точке a , причем a M .

Теорема 7. Предел суммы двух числовых последовательностей равен сумме их пределов.

Доказательство. Пусть xn a и yn b при n . По определению предела

xn a αn , yn b βn ,

Складывая эти равенства, получим

xn yn a b αn βn

или

xn yn a b αn βn .

Теорема обобщается на любое конечное число бесконечное малых последовательностей.

Аналогично доказывается теорема о пределе разности двух последовательностей.

Доказательство. Пусть xn a и yn a . По определению предела имеем

xn a αn, yn b βn,

гдеαn и βn – общие члены бесконечно малых последовательностей. Перемножая эти равенства, получим

xn yn ab (αn b aβn αn βn )

или

xn yn ab αn b aβn αn βn .

Последовательность αn b aβn αn βn есть последовательность бесконечно малая (по теоремам 1-3 раздела 4.8).

Следовательно, последовательность xn yn a b также бесконечно малая. Отсюда следует

18

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

Теорема обобщается на любое конечное число бесконечно малых последовательностей.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела. Доказательство. Пусть xn a и A const. В силу теоремы 8 имеем

Следствие 2. Предел целой положительной степени равен степени ее предела.

k раз

Лемма. Если последовательность yn имеет предел, отличный от нуля,

и не принимает нулевых значений, то обратная последовательность 1/ yn является ограниченной.

Доказательство. Пусть yn b,b 0 ,yn 0 . Выберем произвольно

ограниченная числовая последовательность.

Теорема 9. Предел частного двух сходящихся последовательностей равен частному их пределов при условии, что предел знаменателя отличен от нуля и последовательность, стоящая в знаменателе, не принимает нулевых значений.

19

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

4.11. БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Определение. Числовая последовательность xn называется бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого положительного числа E 0 найдется такой номер N N E , что при всех значениях n N выполняется неравенство

xn E .

Символически это записывается в виде

lim xn или xn при n

n

С помощью логических символов определение бесконечно большой последовательности можно записать в виде

Замечание. Если бесконечно большая последовательность сохраняет постоянный знак, то в с соответствии со знаком говорят, что последовательность xn имеет своим пределом или .

Установим связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями.

20

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

xn

вательность бесконечно малая.

Доказательство. Возьмем произвольное 0 и вычислим Е = 1/ . По определению бесконечно большой последовательности найдется такой номер N, что при всех значениях n > N выполняется неравенство

xn E 1/ . Переходя в этом неравенстве к обратным величинам, получим

Обратная теорема (без доказательства). Если числовая последовательность αn , где αn 0, является бесконечно малой, то ее обратная последо-

1

вательность есть последовательность бесконечно большая.

αn

Отметим некоторые свойства бесконечно больших последовательностей.

1.Сумма двух бесконечно больших последовательностей одного знака есть бесконечно большая последовательность того же знака, что и слагаемые последовательности.

2.Произведение двух бесконечно больших последовательностей есть бесконечно большая последовательность.

3.Произведение постоянной величины, отличной от нуля, на бесконечно

большую последовательность xn есть последовательность бесконечно большая.

Эти свойства доказываются аналогично соответствующим свойствам бесконечно малых последовательностей. Докажем, например, свойство 2.

Доказательство. Пусть xn и yn – бесконечно большие последовательности. Выберем сколь угодно большое положительное число