Документ: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА_ГОРНЫЙ, страницы 71-75

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

tg

x

1

,

2

ctg

x

2

перейдем к вычислению

lim

1 x

,

т.е.

к раскрытию неопределенности

x 1 ctg

x

2

типа

0

:

0

2sin

2

x

1 x

1

2

lim(1 x)tg

2

lim

x

lim

x 2

.

x 1

2

x 1

ctg

x 1

x

x 1

2

ctg

sin

2

1

Пример 6.5. Найти lim

.

x 1

x 1 ln x

Решение. Поскольку lim ln x 0,

lim(x 1) 0,

то имеем неопределен-

x 1

ность типа . Приведем данное выражение к общему знаменателю

1

x 1 ln x

lim

.

x 1

x 1 ln x

x 1 ln x(x 1)

0

Для раскрытия получившейся неопределенности типа применим прави-

0

ло Лопиталя:

x 1 ln x

(x 1 ln x)

1 0

1

x 1

lim

x

lim

.

x 1 ln x(x 1)

x 1 (ln x(x 1))

x 1 1

(x 1) ln x 1

x 1

xln x x 1

x

Вновь возникла неопределенность типа 0 , которую раскрываем также по

0

правилу Лопиталя:

lim	x 1	lim	(x 1)		lim			1				1	.
lim		lim			lim				1				.
x 1 xln x x 1		x 1 (xln x x 1))				x 1		1 ln x x	1	1	2
								1 ln x x	x	1
									x
Таким образом,
			1	1		1
		lim					.
		lim		x 1		2	.
		x 1 ln x		x 1		2

77

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

Неопределенности типа {1∞}, {00}, {∞0}. В этих случаях используется основное логарифмическое тождество aloga b b (в частности, elnb b) и свойство непрерывности показательной функции:

limef (x)

lim f (x)

ex a .

x a

1

Пример 6.6. Найти lim(cosx)

x2

.

x 0

Решение. Так как lim(cosx) 1,

lim

1

, то имеем неопределенность

x 0

x 0 x2

типа {1∞}. Найдем вначале предел логарифма заданной функции:

1

ln(cosx)

limln(cosx)

x2

lim

ln(cosx) lim

.

x 0

x 0 x2

Возникла неопределенность типа

0

,

так как limln(cos x) ln1 0. Чтобы

0

x 0

ее раскрыть, необходимо дважды применить правило Лопиталя:

lim

ln(cos x)

lim

(ln(cos x))

lim

tgx

1

lim

(tgx)

1

lim

1

.

(x2 )

x 0 x2

x 0

x 0 2x

2 x 0 (x)

2 x 0 cos2 x

2

Используя основное логарифмическое тождество и непрерывность показательной функции, получим

1

ln(cos x)

lim

ln(cos x)

1

x2

lim(cosx)x

2

limeln(cos x)

2

limex

ex 0

x

e

2

.

x 0

e

6.2. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ

6.2.1. Критерий постоянства функций. Признаки монотонности (возрастание и убывание функций)

Теорема 1 (критерий постоянства функции). Для постоянства функции f x на некотором промежутке Х необходимо и достаточно, чтобы равенство

	x 0 выполнялось во всех точках этого промежутка.
f	x 0 выполнялось во всех точках этого промежутка.
	Доказательство. Необходимость. Пусть	f x const,	x X . Тогда, как
		X.
известно, f x 0 во всех точках промежутка		X.

	x 0 для любого	x X. Возьмем любые две
Достаточность. Пусть f

точки x1,x2 X . По формуле Лагранжа (6.6)

78

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

	f x2 f x1 x2 x1 f c ,		c x1,x2 X .
Но так как		x X , то	и
	f x 0 для всех			f c 0 , в силу чего из
предыдущего равенства получим		f x2 f x1 0		или f x1 f x2 . Отсюда
следует, что	f x const, x X . Теорема доказана.

Сформулируем и докажем необходимое и достаточное условия возрастания функций.

Теорема 2 (признак возрастания функции). 1. Если функция f(x) диффе-

ренцируема и возрастает на некотором промежутке Х, то ее производная на


этом промежутке не отрицательна, т.е. f x 0, x X (необходимый при-
знак возрастания функции).
2. Если функция f(x)	дифференцируема на промежутке Х, причем

f x 0, x X , то данная функция на этом промежутке возрастает (достаточный признак возрастания функции).

Доказательство. 1. Пусть f(x) дифференцируема и возрастает на про-


межутке Х. Возьмем значение аргумента x X						(x – внутренняя точка проме-
жутка X) и придадим ему такое приращение					х, что x x X . Рассмотрим
отношение
		f		f (x x) f (x)			.	(6.26)
		x
				x
Так как f(x) функция возрастающая, то					f x x f x при			x 0 и
f x x f x при x 0. В обоих случаях
	f		f (x x) f (x)			0.		(6.27)

	x			x

Так как функция f(x) дифференцируема на промежутке Х, то она имеет на нем конечную производную. Согласно неравенству (6.27)

		f ' x lim	f	lim	f x x f x		0,

		x 0 x		x 0		x
	что и требовалось доказать.
т.е. f x 0,
2. Пусть	f	x 0 на промежутке Х. Возьмем любые две точки x1, x2 X

такие, что х2 > х1. По формуле Лагранжа (6.6) имеем
		f (x1) f (x2) f						(6.28)
					(c)(x2 x1),
где x1 c x2 .
Поскольку					, то
		f x 0, x X и c X				f c 0. Тогда из соотношения
(6.28) следует,		что f x2 f x1 0 или				f x2 f x1 . Другими		словами,

функция f(x) возрастает на промежутке Х, что и требовалось доказать.

79

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

у		Также доказывается аналогичная теорема
у		для убывающей функции.
		Теорема 3 (признак			убывания функции).
		1. Если	функция	f(x)	дифференцируема и
		убывает на некотором промежутке Х, то ее
О		производная на этом промежутке не положи-
Рис.6.6		тельна,
		тельна,	т.е. f x 0, x X (необходимый
		признак убывания функции).
2. Если функция	f(x)	дифференцируема		на промежутке Х, причем

f x 0, x X , то данная функция на этом промежутке убывает (достаточ-

ный признак убывания функции).

Обе эти теоремы имеют простое геометрическое истолкование. В любой точке промежутка возрастания функции y f x касательная к ее графику

образует с осью Ох острый угол ; на промежутке убывания функции угол – тупой (рис.6.6). Иначе говоря, промежутку возрастания функции f(x) соот-

ветствует случай tg f

x 0, а промежутку убывания tg f

x 0 .

Пример 6.7. Определить промежутки монотонности (возрастания и убы-

вания) функции y f (x) xlnx.

Решение. Для определения промежутков (интервалов) возрастания и

убывания функции найдем ее производную:

y

f

ln x

x

1

ln x 1.

(x) (xln x) x

ln x x(ln x)

x

Заметим, что функция

y xlnx определена для х > 0, ее производная

ln x 1 0,

1

f (x) 0

при

x

,

x

1

e

;

e

x 0

x 0,

ln x 1 0,

1

f ' x 0

x

,

1

при

e 0 x

.

x 0

e

x 0,

Таким образом, функция

y xlnx

возрастает на интервале

1

и

,

e

1

убывает на интервале

0,

.

e

80

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

6.2.2. Экстремумы функций. Необходимое условие экстремума

Определение 1. Точка x0 называется точкой максимума функции f(x),

если существует такая окрестность X этой точки, что для x X , x x0 , вы-

полняется неравенство f x f x0 .

Точка x0 называется точкой минимума функции f(x), если существует такая окрестность Х этой точки, что для x X , x x0 выполняется неравен-

ство f x f x0 .

Значения функции f(x) в точках ее максимума и минимума называют-

ся максимумом и минимумом этой функции и обозначаются maxf(x) и minf(x):

f x0 max	f x x X,	x x0 :	f x f x0 ;
f x0 min			(6.29)
f x0 min	f x x X,	x x0 :	f x f x0 .

Максимумы и минимумы функции называются экстремумами или экс-

тремальными значениями этой функции (рис.6.7):

а) точки x1 и x3 точки максимума функции, где функция переходит от возрастания к убыванию (в направлении возрастания координаты х);

б) точки x2 и x4 точки минимума функции, где функция переходит от убывания к возрастанию.

Теорема 1 (необходимое условие гладкого экстремума). Если функция f(x) дифференцируема в точке x0 и имеет в этой точке экстремум, то f (x0)= 0.

Доказательство. Пусть для определенности f(x0) = maxf(x). Тогда в силу формулы (6.29) имеем

f (x0 x) f (x0) 0 при x 0;

x

f (x0 x) f (x0) 0 при x 0.

x

Поскольку функция f(x) дифференцируема в точке x0, т. е. имеет в этой точке конечную производную, то при x → 0 оба эти отношения стремятся к общему преде-

лу f (x0), равному нулю, т.е. f (x0) = 0. Геометрический смысл теоремы: если

в точке экстремума график функции имеет касательную и эта касательная не параллельна оси Oy (как, например, в точке x3 на рис.6.7), то эта касательная непременно параллельна оси Ox.

у

О

х1

х2 х3 х4 х

Рис.6.7

81

Материал: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА_ГОРНЫЙ

Смотрите также: