Материал: Ялцев Практикум по физической кристаллографии 2011
а |
б |
в |
Рис. 3.6. Стереографические проекции элементов симметрии групп:
а – полярноговектора(∞m); б–аксиального вектора(∞/m); в– однородногополя одноосныхсжимающихилирастягивающихмеханическихнапряжений (∞/mmm)
Контрольные упражнения и задачи
3.1. Используя стандартную стереографическую проекцию, запишите матрицу поворота C4[010] − вокруг оси [ 01 1 ] на 90о по часо-
вой стрелке.
3.2. Используя стандартную стереографическую проекцию, запишите матрицу поворота C3[1 1 1] – вокруг оси [111] на 120º против часовой стрелки.
3.3.Используя стандартную стереографическую проекцию, запишите матрицу поворота C2[110] – вокруг оси [110] на 180º.3.4.
3.4.Используя стандартную стереографическую проекцию, за-
пишите матрицу C, отвечающую инверсионной оси 2 для [ 011 ]: C = C2[0 1 1]i, где – матрица поворота вокруг [ 011 ] на 180º, i – мат-
рица центра инверсии.
3.5. Используя стандартную стереографическую проекцию, запишите матрицу C, отвечающую инверсионной оси 3 для [111 ]: C = C3[11 1 ]i, где C3[11 1 ] – матрица поворота вокруг [111 ] на 120º, i –
матрица центра инверсии.
3.6. Используя стандартную стереографическую проекцию, запишите матрицу C, отвечающую инверсионной оси 4 для [ 010 ]
46
C = C4[0 1 0]i, где C4[0 1 0] – матрица поворота вокруг [ 010 ] на 90º про-
тив часовой стрелки, i – матрица центра инверсии.
3.7. Используя стандартную стереографическую проекцию, запишите матрицу C, отвечающую инверсионной оси 6 для [0001] C = C6[0001]i, где C6[0001] – матрица поворот вокруг [0001] на 60º про-
тив часовой стрелки, i – матрица центра инверсии.
3.8. Используя стандартную стереографическую проекцию, за-
пишите матрицу σ(1 10), описывающую отражение в плоскости
( 110 ).
3.9. Используя стандартную стереографическую проекцию, за-
~
пишите матрицу C, отвечающую зеркально-поворотной оси 2 для [001]: C = C2[001] σ(10 1), где C2[001] – матрица поворота вокруг оси
[001] на 180º, σ(10 1) – матрица отражения в плоскости (101 ).
3.10. Используя стандартную стереографическую проекцию, за-
~
пишите матрицу C, отвечающую зеркально-поворотной оси 3 для [ 1 1 1 ] C = C3[1 1 1 ]σ(101), где C3[1 1 1 ] – матрица поворота вокруг оси
[ 1 1 1 ] на 120º против часовой стрелки, σ(101) – матрица отражения в плоскости (101). Определите для матрицы C порядок, тип (поворотная или инверсионная) и кристаллографические индексы оси симметрии.
3.11. Используя стандартную стереографическую проекцию, за-
~
пишите матрицу C, отвечающую зеркально-поворотной оси 4 для [ 010 ] C = C4[0 1 0] σ(1 0 1), где C4[0 1 0] – матрица поворота вокруг оси
[ 010 ] на 90º, σ(1 0 1) – матрица отражения в плоскости ( 1 0 1 ). Определите для матрицы C порядок, тип (поворотная или инверсионная) и кристаллографические индексы оси симметрии.
3.12. Используя стандартную стереографическую проекцию, запишите матрицы поворота C4[001] – вокруг оси [001] на 90º по часо-
вой стрелке и C2[01 1] – вокруг оси [ 011 ] на 180º, вычислите аналитический результат последовательного выполнения операций симметрии C = C2[01 1] C4[001], определите для матрицы C порядок, тип
47
(поворотная или инверсионная) и кристаллографические индексы оси симметрии.
3.13. Используя стандартную стереографическую проекцию, за-
пишите матрицы σ(1 1 0) – отражение в плоскости (110 ) и σ(101) – отражение в плоскости (101), вычислите аналитический результат
последовательного выполнения операций симметрии σ(101) σ(1 1 0), определите для результирующей операции порядок, тип (поворотная или инверсионная) и кристаллографические индексы оси симметрии.
3.14. Используя стандартную стереографическую проекцию, за-
пишите матрицу σ(011) – отражение в плоскости (011), вычислите аналитический результат последовательного выполнения операций
симметрии σ(011)i, где i – центр симметрии (центр инверсии), определите для результирующей операции порядок, тип (поворотная или инверсионная) и кристаллографические индексы оси симметрии.
3.15. Используя стандартную стереографическую проекцию, запишите матрицы C3[1 1 1] – поворота вокруг оси [ 1 11] на 120º
против часовой стрелки и σ(01 1) – отражение в плоскости ( 011 ), вычислите аналитический результат последовательного выполне-
ния операций симметрии C3[1 1 1] σ(01 1), определите для результи-
рующей операции порядок, тип (поворотная, инверсионная или зеркально-поворотная) и кристаллографические индексы оси симметрии.
3.16. Используя стандартную стереографическую проекцию, запишите матрицы C2[101] – поворота вокруг оси [101] на 180º и σ(101)
– отражение в плоскости (101), вычислите аналитический результат последовательного выполнения операций симметрииC2[101] σ(101),
определите для результирующей операции порядок, тип (поворотная, инверсионная или зеркально-поворотная) и кристаллографические индексы оси симметрии.
3.17.Запишите матрицу поворота R вокруг оси [ 21 10 ] на 180º против часовой стрелки для гексагонального кристалла.
3.18.Запишите матрицу поворота R вокруг оси [0001] на 60º по часовой стрелке для гексагонального кристалла.
48
4. ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КРИСТАЛЛОВ
Изучением физических свойств кристаллов занимается специальный раздел кристаллографии − кристаллофизика. Вследствие макроскопических свойств (однородности, симметрии и анизотропии) в кристаллах обнаруживается ряд свойств, невозможных в изотропных телах. Задачей кристаллофизики является установление влияния симметрии на физические свойства кристаллов, а также изучение влияния внешних воздействий на свойства кристаллов.
4.1. Принцип симметрии в кристаллофизике
Поскольку для любого макроскопического свойства кристалл рассматривается как однородная среда, то совершенно несущественны различия между простыми и винтовыми осями, между зеркальными плоскостями и плоскостями скользящего отражения. Таким образом, симметрия макроскопических свойств кристаллов определяется не пространственной, а точечной группой симметрии кристалла. Это соответствует известному принципу Неймана, современная формулировка которого гласит: «Элементы симметрии любого физического свойства кристалла должны включать элементы симметрии точечной группы кристалла».
Если на кристалл накладывается физическое воздействие, обладающее определенной симметрией, то симметрия такого кристалла, находящегося в поле воздействия, изменяется и может быть опре-
делена при помощи принципа суперпозиции Кюри: «Кристалл, находящийся под влиянием внешнего воздействия, сохраняет лишь те элементы симметрии, которые являются общими для кристалла без воздействия и для воздейстия без кристалла».
Для определения симметрии результирующего явления важна не только симметрия взаимодействующих явлений, но и взаимное расположение их элементов симметрии. При решении такого рода задач удобно пользоваться стереографическими проекциями точечных групп симметрии кристаллов.
49
Рассмотрим, например, воздействие одноосного механического растягивающего усилия на кристалл класса m 3 m. Растягивающее усилие относится к одной из предельных групп симметрии Кюри ∞/mmm, т.е. симметрии покоящегося цилиндра. Если это усилие направлено вдоль одной из осей 4, то, как видно из рис. 4.1, сохраняются лишь общие элементы симметрии: одна ось 4, четыре поперечные оси 2, четыре продольные и одна поперечная плоскости m и центр симметрии. В результате кубический кристалл m 3 m под действием механического растяжения вдоль оси 4 приобретает свойства тетрагонального кристалла класса 4/mmm.
Рис. 4.1. Изменение симметрии кристалла m 3 m под действием одноосного растяжения вдоль [100]
Если к тому же кристаллу приложить то же усилие вдоль одной из его осей 3, то останутся только общие элементы симметрии: ось 3, три продольные плоскости симметрии m, три поперечные оси 2 и
центр симметрии, т.е. кристалл станет тригональным класса 3 m. Действие электрического поля повлияет на симметрию кристал-
ла не так, как действие механического напряжения, потому что симметрия электрического поля и механического усилия различны. Симметрию однородного электрического поля можно изобразить как симметрию неподвижного конуса ∞m. Под действием электрического поля вдоль оси 4 кристалл m 3 m переходит в кристалл класса 4mm (рис. 4.2), а под действием электрического поля вдоль оси 3 − в 3m.
50