Материал: Ялцев Практикум по физической кристаллографии 2011
Рис. 4.2. Изменение симметрии кристалла m 3 m под действием электрического поля вдоль [100]
Иногда используют обобщенный принцип суперпозиции Кюри: когда несколько различных явлений природы накладываются друг на друга, образуя одну систему, их диссимметрии складываются.
Под диссимметрией, по А.В. Шубникову, следует понимать отсутствующие элементы симметрии.
4.2. Упругие свойства кристаллов
Основным законом теории упругости твердых тел в области малых деформаций является закон Гука. Для изотропных тел закон Гука выражается соотношениями σ = cε, где σ − напряжение, ε − деформация, c − жесткость (используются также названия модуль Юнга, константа упругой жесткости) или ε = sσ, где s − податливость или константа упругой податливости, причем s = 1/c.
С использованием тензоров напряжения и деформации закон Гука в обобщенной форме имеет вид
σij = cijklεkl |
(4.1) |
или |
|
εij = sijkl σkl, |
(4.2) |
где коэффициенты упругой жесткости cijkl и упругой податливости sijkl образуют тензоры четвертого ранга.
Коэффициенты упругости cijkl и sijkl в (4.1) и (4.2) удобнее записать с помощью матричных обозначений вместо тензорных.
Тензорные обозначения: 11 22 33 23 32 31 13 12 21
51
Матричные обозначения: |
1 2 3 |
4 |
5 |
6 |
Теперь (4.1) и (4.2) можно записать как |
|
|
|
|
σj = cijεj |
(i, j = 1, 2, …, 6); |
|
(4.3) |
|
и |
|
|
|
|
εj = sij σi |
(i, j = 1, 2, …, 6). |
|
(4.4) |
|
Матрицы cij и sij являются взаимно-обратными, т.е. cijsjk = δik, где δik − единичная матрица. Вследствие симметрии кристалла некоторые из компонентов cij и sij становятся равными нулю или равными друг другу, а число независимых среди неравных нулю коэффициентов уменьшается.
Матрицы коэффициентов упругости для кристаллов кубической сингонии имеют вид
c11 |
c12 |
c12 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
s11 |
s12 |
s12 |
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|||
c12 |
c11 |
c12 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
s12 |
s11 |
s12 |
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|||
c12 |
c12 |
c11 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
s12 |
s12 |
s11 |
0 |
|
0 |
|
|
0 |
(4.5) |
|||
0 |
0 |
0 c44 |
0 |
|
|
0 |
|
0 |
0 |
0 s44 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|||||
0 |
0 |
0 |
0 c44 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
s44 |
|
|
0 |
|
|||||||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 c44 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
s44 |
|
|||||||
а для кристаллов гексагональной сингонии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
c11 |
c12 |
c13 |
0 |
0 |
0 |
|
|
s11 |
s12 |
s13 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
||||
c12 |
c11 |
c13 |
0 |
0 |
0 |
|
|
s12 |
s11 |
s13 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
||||
c13 |
c13 |
c33 |
0 |
0 |
0 |
|
|
s13 |
s13 |
s33 0 |
|
0 |
|
0 |
|
(4.6) |
|||||
0 |
0 |
0 |
c44 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
s44 0 0 |
|
|
||||||||
0 |
0 |
0 |
0 |
c44 0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 s44 0 |
|
|
|||||||||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
(c −c ) 0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
1 |
|
(s −s ) |
|||||
2 |
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
||
Если использовать более привычные величины: E − модуль Юнга, G − модуль сдвига и ν − коэффициент Пуассона, получим
s11 = E1 , s12 = − Eν , s44 = G1 .
Вкубических кристаллах вводят параметр упругой анизотропии
А= 2с44/(с11 − с12) = 2(s11 − s12)/s44.
52
Модуль Юнга в произвольном направлении. Чтобы опреде-
лить модуль Юнга в произвольном направлении, задаваемом направляющими косинусами l1, l2, l3, требуется преобразовать систему координат так, чтобы ось x'1 располагалась вдоль выбранного
направления, тогда E(l1, l2, l3) = 1/s'11. Для кубических кристаллов
′ |
|
1 |
|
|
1 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
), (4.7) |
s11 |
= |
|
|
= s11 −2(s11 − s12 − |
|
s44 )(l1 l2 |
+l2 l3 |
+l1 l3 |
||||
El l |
|
2 |
||||||||||
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для гексагональных –
′ |
|
1 |
2 |
2 |
4 |
2 |
2 |
|
|
|
s11 |
= |
|
|
= (1−l3 |
) |
s11 +l3 s33 |
+l3 |
(1 −l3 |
)(2s13 |
+ s44 ). (4.8) |
E |
|
|||||||||
|
|
l l |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отметим, что для кубической сингонии модуль Юнга не является изотропным. Для ГЦК-кристаллов модуль Юнга увеличивается при движении от <100> к <111>, тогда как у ОЦК-кристаллов модуль Юнга при движении от <100> к <111> уменьшается. С точки зрения упругой анизотропии наиболее изотропным является вольфрам, а среди ГЦК-кристаллов − алюминий.
Контрольные упражнения и задачи
4.1. Определите элементы симметрии кристалла с точечной группой Th под действием одноосного растяжения (предельная
группа симметрии ∞/mmm) вдоль [110 ].
4.2. Определите элементы симметрии кристалла с точечной группой Oh под действием однородного электрического поля (предельная группа симметрии ∞m) вдоль [1 1 1] .
4.3.Определите элементы симметрии кристалла с точечной
группой Td под действием однородного магнитного поля (предельная группа симметрии ∞/m) вдоль [101].
4.4.Определите модули Юнга E для монокристалла Nb вдоль
направлений [110], [110 ], [1 1 1] (для Nb константы жесткости c11 = 246 ГПа, c12 = 134 ГПа, c44 = 29 ГПа).
53
4.5*. Определите модули Юнга E для монокристалла Cu вдоль направлений [0 1 0] , [10 1] , [1 1 1] (для Cu константы жесткости
c11 = 168 ГПа, c12 = 121 ГПа, c44 = 76 ГПа).
4.6*. Определите модули Юнга E для монокристалла Be вдоль направлений [2110] , [1 1 00] , [1 011] (для Be константы жесткости
c11 = 292 ГПа, c12 = 27 ГПа, c13 = 14 ГПа, c33 = 336 ГПа, c44 = 162 ГПа, c66 = 133 ГПа, отношение c/a = 1,57).
4.7*. Запишите тензор деформации для винтовой дислокации в кристаллографической системе координат с вектором Бюргерса b = ½[110].
4.8*. Запишите тензор напряжений для винтовой дислокации в кристаллографической системе координат с вектором Бюргерса
b = ½[ 011 ].
4.9*. Запишите тензор деформации для краевой дислокации в кристаллографической системе координат с вектором Бюргерса b = ½[111].
4.10*. Запишите тензор напряжений для краевой дислокации в кристаллографической системе координат с вектором Бюргерса
b= ½[111].
5.КРИСТАЛЛОГРАФИЯ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ
Под действием механического напряжения кристаллы деформируются. При малых напряжениях кристалл деформируется упруго, когда связь между деформацией и напряжением подчиняется закону Гука. Предел упругости связан с предельным напряжением, до которого выполняется закон Гука. Практически предел упругости неотличим от напряжений, при которых появляется остаточная деформация, т.е. так называемого предела текучести. Если нагрузить кристалл больше предела текучести, а затем разгрузить, то его прежняя форма не восстанавливается, кристалл остается пластически деформированным.
54
5.1. Пластическая деформация монокристаллов
Пластическая деформация монокристалла может происходить путем скольжения или двойникования.
Основным способом пластической деформации кристаллов при нормальных и низких температурах является скольжение. Оно представляет собой перемещение одной части кристалла относительно другой без изменения объема кристалла. Обычно скольжение осуществляется по определенным кристаллографическим плоскостям вдоль определенных кристаллографических направлений в зависимости от структуры кристалла.
При пластической деформации скольжением выполняется закон критического скалывающего напряжения (закон Шмида), который заключается в том, что деформация начинается лишь тогда, когда внешнее напряжение впервые достигает величины критического
скалывающего напряжения по одной из |
|
|
систем скольжения. |
|
|
Рассмотрим монокристалл в форме ци- |
|
|
линдра, который растягивается под дейст- |
|
|
вием нормального напряжения σ вдоль на- |
|
|
правления F (рис. 1.75). |
|
|
На плоскость скольжения S c нормалью |
|
|
n действует напряжение σ cos χ, а компо- |
|
|
нента σm его в направлении скольжения m |
|
|
равна σm = σ cos χ cos λ, где λ − угол между |
|
|
направлением скольжения и осью растяже- |
|
|
ния. Скольжение начнется лишь в услови- |
|
|
ях, когда критическое скалывающее на- |
|
|
пряжение σm достигнет значения, равного |
|
|
пределу текучести. Множитель cos χ cos λ |
|
|
называют ориентационным |
множителем |
|
или фактором Шмида. |
|
|
Если кристалл находится под действием |
|
|
тензора напряжения σ, то ориентационный |
Рис. 5.1. К закону |
|
множитель находят из соотношения |
критического |
|
~ |
(5.1) |
скалывающего |
σhm = h σm, |
напряжения |
|
55