Материал: 1291

~ 36 ~

Малюгин П.Н. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДОРОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ: учебное пособие

___________________________________________________________________________

Рассмотрим теперь, для каких уровней удобства движения справедливо распределение Пуассона. В качестве примера возьмем четырехполосную, прямолинейную магистраль с общей интенсивностью движения до 400 авт/ч. По одной полосе такой дороги интенсивность движения примерно равна 100 авт/ч. По данным Красникова А.Н. для такой интенсивности применимо распределение Пуассона (рис. 7.3).

Экспериментальные данные отражены на графике точками, которые соединены прямыми линиями. Рассчитанное по закону Пуассона распределение показано кривой 1. Легко видеть, что экспериментальные данные хорошо описываются законом Пуассона при интенсивности 100 авт/ч. При этом распределение имеет несимметричную форму.

Рис. 7.3. Распределение временных интервалов между автомобилями при интенсивностях

1 – 400 и 2 – 1160 авт/ч

Критерий Романовского

На рис. 7.3 легко видеть, что для интенсивности 1160 авт/ч экспериментальные данные не соответствуют расчетным данным (см. кривую 2). То есть закон Пуассона нельзя применять при больших интенсивностях движения.

Для обоснования справедливости применения закона Пуассона (или другого закона) вычисляют критерий R Романовского [2]. Для рас-

чета критерия R используется статистический критерий согласия χ2 (читается хи квадрат).

Критерий R показывает, насколько расчетная кривая отличается от экспериментальной кривой. Чем меньше площадь, заштрихованная на рис. 7.3, тем меньше будет значение критерия R. Критерий R рассчитывают по формуле

~ 37 ~

Глава 7. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕРВАЛОВ МЕЖДУ АВТОМОБИЛЯМИ

_____________________________________________________________________________

где ν – число степеней свободы. Число степеней свободы соответствует числу неизвестных в функции p(λ, t, n). Для закона Пуассона имеем

ν = 3.

Если критерий R < 3, то считают: расчетная и экспериментальная

кривые отличаются несущественно. Если R ≥ 3, то различие существенно и данное распределение применять некорректно.

Для приведенного выше примера при интенсивности 400 авт/ч (рис. 7.3, кривая 1) имеем R = 1,8 – различие не существенно. При интенсивности 1160 авт/ч (кривая 2) фактическое распределение становится явно несимметричным и имеет острый максимум. Получаем значение критерия 9,4 – различие существенно.

Область применения закона Пуассона

На двухполосных дорогах распределение Пуассона применяют при интенсивности до 100 авт/ч по одной полосе. На шестиполосных дорогах распределение применяют при интенсивности до 1100 авт/ч (183 авт/ч по одной полосе).

При увеличении числа полос дороги в потоке облегчаются обгоны и маневры, такой поток лучше соответствует свободному потоку. В среднем, распределение Пуассона справедливо при интенсивности менее 180 авт/ч по одной полосе движения, то есть применимо только для свободного потока типа А.

Поправки к закону Пуассона

Закон Пуассона весьма удобен для практического применения: для расчета распределения нужно задавать лишь интенсивность потока. Это обусловило его широкое применение на практике. Однако область применения закона Пуассона ограничена, поэтому были предприняты попытки расширения области с помощью поправок [2].

Наибольшее распространение получила поправка µ:

Величина поправки принимается больше единицы. Смысл применения поправки заключается в следующем: для получения большей

~ 38 ~

Малюгин П.Н. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДОРОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ: учебное пособие

___________________________________________________________________________

асимметричности функции в формулу искусственно подставляют завышенное значение интенсивности.

Введение поправки µ позволяет описывать распределения до интенсивности 250 авт/ч на двухполосных дорогах (125 авт/ч по полосе). Однако существенно расширить область применения закона Пуассона не удается.

7.3. Распределение Пирсона

Для потоков, имеющих большую интенсивность движения, применяют распределение Пирсона или закон Пирсона типа III [2]. Распределение отличается высокой асимметричностью, оно применяется для потоков уровней удобства Б и B. Иногда применяют логарифмический закон распределения.

По закону Пирсона вероятность распределения интервалов времени между автомобилями выражается следующей формулой:

где p(t) – вероятность образования между двумя автомобилями временного интервала t, с;

k, a – коэффициенты;

Г(k) – гамма функция (в формуле константа).

Значение функции Г(k) вычисляется численным интегрированием по переменной k в диапазоне от 0 до 50. Константа Г(k) мало изменяется, ее значение примерно равно 0,9.

Определенный интеграл от функции p(t) по интервалу t выражает функцию накопленной вероятности s(t), которая не выражается в элементарных функциях. Она вычисляется путем численного интегрирования. Введение константы Г(k) обеспечивает наибольшее значение s(t) = 1.

Стандартные параметры распределения легко вычисляются через

Асимметричность распределения возрастает при уменьшении значения коэффициента k. Значение коэффициента обычно находится в диапазоне от 1,2 до 2 (рис. 7.4). Для указанных на рисунке значений ко-