Материал: 1310

2. Модель в дифференциально-алгебраической форме (полуявная фор-

ма) имеет вид

G(X,Y) 0,

где Y (y1 , y2 ,..., ym )− (m 1) − вектор алгебраических переменных, G(X,Y)− (m 1) − вектор-функция.

3. Модель в дифференциально-алгебраической форме (неявная форма)

определяет система уравнений

G(X, X,Y,t) 0, X(0) X 0, Y(0) Y0, t [0,tK ],

ния, описывающие состояния элементов объектаИ, называют компонентными уравнениями, а уравнения, задающиеАвзаимосвязи элементов объекта, —

где G − ((n m) 1) − вектор-функция.

Рассмотренные математические модели вида строят на основе компонентных и топологических уравненийДобъекта проектирования. Уравне-

топологическими. Таким образом, математическая модель объекта с сосредоточенными параметрами представляетб собой совокупность компонентных и топологических уравнений этого о ъекта [1, 2].

Математическимиимоделями о ъектов с распределенными параметрами, используемыми в САПР, являются в основном краевые задачи для дифференциальныхСуравнен й в частных производных (ДУЧП). Фазовыми переменными в эт х уравнениях могут быть температура (если речь идет о задаче теплопроводности, например), величина механического напряжения (в задаче анализа на прочность) и т.д. Различают стационарные и нестационарные краевые задачи для ДУЧП. В стационарной краевой задаче решение не зависит от времени. В качестве независимых переменных в такой задаче чаще всего используют пространственные переменные x, у, z. В нестационарной краевой задаче решение меняется во времени. В качестве независимых переменных в данном случае используются пространственные переменные x, у, z и время t [1, 2].

Как в стационарной, так и в нестационарной краевых задачах для ДУЧП должны быть заданы граничные условия — значения фазовых переменных и (или) их некоторых функций на границе моделируемого объекта. Различают граничные условия первого, второго и третьего рода [1, 2].

Граничные условия первого рода {условия Дирихле) − это значения фа-

зовых переменных V, заданных на границе области V(Г) = VГ.

Граничные условия второго рода (условия Неймана) имеют вид

11

dV

k dn |Г q,

где к и q — как правило, константы; я — нормаль к поверхности объекта.

Граничные условия третьего рода представляют собой так называе-

В нестационарных задачах, кроме краевых условий, должны быть заданы начальные условия — значения фазовых переменных и (или) их некоторых функций внутри объекта в начальный момент времени:

V(0) =V0.

Компонентные и топологические уравнения объектов различной фи-

хом могут быть использованы при математическомИмоделировании не только механических, но и электрических, гидравлических, пневматических и

зической природы отражают различные физические законы, но могут иметь

одинаковый формальный вид, т.е. быть аналогичными. Наличие таких ана-

логий приводит к тому, что многие компонентные и топологические урав-

нения оказываются инвариантными к предметной области и с равным успе-

функция соответствующейСразмерности.

Топологическое уравнение объекта можно представить в виде

T(V) 0,

где V {Vi} − вектор фазовых переменных объекта; Т − вектор-функция. Различают фазовые переменные двух типов − фазовые переменные

типа потенциала (например, электрическое напряжение, скорость в механической поступательной системе) и типа потока (например, электрический ток, сила, действующая на тело, в механической системе). Каждое из компонентных уравнений описывает связи между разнотипными фазовыми переменными, относящимися к данному компоненту. Например, второй закон

12

Ньютона описывает связь между силами, действующими на тело, и приобретаемым им ускорением [1,2].

Топологическое уравнение определяет связи между однотипными фазовыми переменными в разных элементах объекта. Например, принцип Даламбера для механической поступательной системы требует, чтобы сумма всех сил, действующих на тело с учетом инерциальных сил, была равна ну-

лю [1, 2].

Математические модели объектов с сосредоточенными параметрами удобно представлять в графической форме в форме эквивалентных схем, которые часто используются в качестве входного языка в САЕ-системах. Совокупность компонентных и топологических уравнений представляет собой математическую модель объекта проектирования в форме системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). В явном виде матема-

тическая модель объекта проектирования в форме системы ОДУ и (или) системы линейных, нелинейных алгебраических уравнений может быть решена с использованием численных методов решения систем линейных, нелинейных, дифференциальных уравнений, а также с помощью методов оптимизации.

13

3.ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Математическое моделирование технических устройств, объектов и систем часто приводит к решению систем линейных уравнений. Для автоматизации их решения используют численные методы.

Рассмотрим систему линейных уравнений (СЛУ) с n неизвестными:

Система называется обусловленной (не вырожденной, не особенной), если определитель системы 0, и тогда система имеет единственное решение.

Система называется не обусловленной (вырожденной, особенной), если = 0, и тогда система не имеет решений или имеет бесконечное мно-

14

жество решений. Для решения СЛУ широко применяют прямые и итерационные методы. Рассмотрим особенности решения СЛУ методом простых итераций .

3.1. Метод простых итераций для решения систем линейных уравнений

Формула итерационного процесса

i j

Если в полученных результатах значения δ > k > kmax, то задача не решена. Необходимо проверить условия сходимости или увеличить kmax.

15