Материал: 1310

Все коэффициенты этого уравнения можно вычислить, используя последнее приближение решения xi(k). Для решения системы линейных уравнений при n = 2, 3 можно использовать формулы Крамера, при большей размерности системы n – метод исключения Гаусса.

Значения поправок используются для оценки достигнутой точности решения. Если максимальная по абсолютной величине поправка меньше заданной точности , расчет завершается. Таким образом, условие окончания расчета:

δ= max Δxi(k) ε.

i1,n

Можно использовать и среднее значение модулей поправок:

1 n | xi | . n i 1

F(X) − вектор-функция;

W(X(k)) – матрица Якоби, вычисленная для очередного приближения. F(X(k)) – вектор-функция, вычисленная для очередного приближения.

Выразим вектор поправок ∆X(k):

X(k) W 1(X(k)) F(X(k)),

21

где W-1 – матрица, обратная матрице Якоби.

Окончательно формула последовательных приближений метода Ньютона решения системы нелинейных уравнений в матричной форме имеет

вид X(k 1) X(k) W 1(X (k)) F(X(k)).

Достаточные условия сходимости для общего случая имеют очень сложный вид и на практике проверяются редко. Нужно отметить, что метод сходится очень быстро (за 3 – 5 итераций), если det|W| 0 и начальное приближение X(0) выбрано близким к решению (отличаются не более чем на

10%).

Алгоритм решения методом Ньютона состоит в следующем:

1.Задается размерность системы n, требуемая точность ε, начальное приближенное решение X = (xi)n.

2.Вычисляются элементы матрицы ЯкобиИW = ( i xj)n,n.

3.Вычисляется обратная матрица W-1.Д

22

5.ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Уравнение, содержащее производные от искомой функции y = y(x), на-

зывается обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ).

Общий вид дифференциального уравнения:

F(x,y,y ,y ,...,y(n)) 0,

где n – наивысший порядок производной, определяет порядок уравнения. Решением ОДУ называется функция y = y(x), которая после ее подста-

новки в уравнение обращает его в тождество.

i 1,n. Эти значения определяютсябАиз n дополнительных условий. В качестве таких условий могутиыть заданы значения функции и ее производных при некоторых значен ях аргумента x, иначе говоря, в некоторых точках.

В зависимостиСот того, как заданы эти дополнительные условия, выделяют 2 типа задач:

Задача Коши. Все условия заданы в одной, начальной точке, поэтому они называются начальными условиями.

Краевая задача. Условия заданы в более чем одной точке, обычно в начальной и конечной. Условия в этом случае называются краевыми или граничными. Такая задача может возникнуть только при решении ОДУ с порядком выше первого.

Разработано множество методов решения подобных задач:

1. Графические методы. Например, метод изоклин − путем графических построений находят точки исходной функции и строят ее график.

2. Аналитические методы позволяют получить формулу исходной функции путем аналитических преобразований.

3. Приближенные методы позволяют получить приближенное аналитическое решение в результате принятых упрощений. К приближенным относятся асимптотические методы и метод малых возмущений.

23

4. Численные методы позволяют получить таблицу приближенных значений искомой функции для ряда заранее выбранных значений ее аргумента.

На практике чаще всего применяются численные методы: они просты в использовании и не имеют ограничений.

Задача решения ОДУ 1-го порядка (задача Коши) формулируется следующим образом:

Найти y = y(x), удовлетворяющую уравнению y’ = f(x,y), для x [a,b] при заданном начальном условии y(a) = y0.

Рассмотрим численные методы решения этой задачи.

5.1. Метод Эйлера (Метод Рунге-Кутта 1-го порядка)

Заменим в уравнении y’ в точке xi её приближенной оценкой – отношением приращений (это следует из определения производной):

Рассмотрим геометрическую иллюстрацию метода Эйлера (рис.3). В координатах (x, y) отобразим известные данные: отрезок [a, b] на оси Х и начальное условие y0 – точка А с координатами (a, y0). Отрезок [a, b] разобьем на n равных частей, получим узлы равномерной сетки a = x0, x1, x2, … , xn = b. Вычислим значения первой производной искомой функции в точке А, используя координату этой точки и исходное уравнение

y (x0) f (x0,y0) tgα0.

Полученное значение позволяет построить касательную к искомой функции в точке А. Эту касательную можно использовать для вычисления

24

приближенного значения искомой функции в новом узле х1 (кривую y(x) заменяем отрезком АВ на элементарном отрезке [x0, x1]).

1.На каждом шаге есть погрешностьД(на рисункеИэто отрезок BD). Погрешность тем больше, чем большеАшаг.

2.Ошибка может накапливаться. Для практического выборабh с целью обеспечения заданной точностишенной ифункциирешения

5.2. Модифицированный метод Эйлера (метод Рунге-Кутта 2-го порядка)

Для повышения точности формула Эйлера применяется дважды на каждом элементарном отрезке: сначала для вычисления значения функции в

середине отрезка y, затем это значение используется для вычисления тангенса угла наклона касательной к графику искомой функции в середине отрезка.

25