Материал: 1715

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Тогда

(x + 3)dx

∫ x2 + 2x + 2

(x + 3)dx

t = x +1

t + 2

tdt

= ∫

x = t −1

= ∫

dt = ∫

+ 2∫

(x +1)2 +1

t2 +1

dx = dt

∫

d(t2 +1)

+ 2∫

1 ln

+2arctgt + C =

t2 +1

1 ln

x2 + 2x + 2

+ 2arctg(x +1) + C .

Таким образом, имеем

∫

(x2 − 5x + 9)dx

= − 7 ln

x −1

−

+ 2x + 2

14 arctg(x +1) + C .

(x −1)2 (x2 + 2x + 2)

x −1

4) Квадратный трёхчлен

x2 + 2x + 2

не имеет действительных

корней. Поэтому подынтегральная дробь раскладывается на слагаемые следующим образом:

x3 + x

Ax + B

Cx + D

+ 2x + 2)

+ 2x + 2

И(x + 2x +

Следовательно,

+ x =

(Ax + B)(x Д+ 2x + 2) + Cx + D .

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x :

при x

A = 1;

при x2

2A + B = 0 ;

при x 2A + 2B + C = 1;

ипри x 2B + D = 0.

Откуда получаем A = 1;

B = −2 ; C = 3; D = 4 . Следовательно,

∫

(x3 + x)dx

∫

(x − 2)dx

∫

(3x + 4)dx

∫

(x − 2)dx

+ 2x + 2)

2x + 2

+ 2x

+ 2)

(x +1)

(3x + 4)dx

t = x +1

t − 3

3t +1

tdt

+ ∫

= t −1

∫

dt + ∫

dt = ∫

− 3∫

((x +1)2 +1)

(t2 +1)2

2 +1

t2 +1

dx = dt

t2 +1

+ 3∫

tdt

+ ∫

∫

d(t2 +1)

− 3∫

∫

d(t2

+1)

(t2 +1)2

(t2 +

1)2

t2 +1

(t2 +1)2

+ ∫

1 ln

t2 +1

− 3arctgt −

∫

(t2 +1)2

2(t2 +1)

(t2 +1)2

Для нахождения последнего интеграла воспользуемся формулой приведения (1.2).

∫

+ (2 2 −

3)∫

arctgt + C .

2(2 −1) t

Итак, находим искомый интеграл

∫

(x3 + x)dx

= 1 ln

− 3arctgt −

1 arctgt + C =

(x2 + 2x + 2)2

2(t2 +1)

1 ln

+ 2x + 2

−

5 arctg(x +1) +

x − 2

+ C .

2(x2 + 2x

+ 2)

5) Под интегралом стоит неправильная рациональная дробь.

Выделяя целую часть, получим

x4 − 3x2 − 5x2 + 30x − 22

2x + 2

x3 − x2 − 8x +12

= x − 2 +

3 − x

2 − 8x +12

Следовательно,

∫

x4 − 3x2 − 5x2 + 30x − 22

dx = ∫ (x −

2)dx + ∫

x2 + 2x + 2

dx .

− x

−

8x +12

− x

−

8x +12

Первый интеграл интегрируется непосредственно

∫ (x − 2)dx

Д− 2x.

Постоянное C отпускаем, относя его ко второму члену.

Во втором интеграле замечая,

что

x3 − x2 − 8x +12 = (x − 2)2 (x + 3),

разложим правильную рацбональную дробь

2 + 2x

+ 2

x2 + 2x + 2

3 2

(x − 2)

(x + 3)

− x

− 8x +12

на простейшие дроби:

Сx + 2x + 2

(x − 2)2 (x + 3)

x − 2

(x − 2)2

x + 3

Приводя к общему знаменателю и приравнивая числители, получаем

x2 + 2x + 2 = A(x − 2)(x + 3) + B(x + 3) + C(x − 2)2 .

Полагая x = −3 и x = 2, находим C = 15 и B = 2.

Для нахождения коэффициента A приравняем коэффициенты при x2 в тождестве. Получим

1 = A + C A = 1− C =

4 .

Поэтому

∫

x2 + 2x + 2

dx =

∫

+ 2∫

∫

x3 − x2 − 8x

+12

− 2)

(x − 2)2

(x +

4 ln

x − 2

−

+ 1 ln

x + 3

+ C .

x − 2

Находим искомый интеграл

− 3x2 − 5x2 + 30x − 22

dx =

− 2x +

x − 2

−

x + 3

+ C .

∫

x3 − x2 − 8x +12

x − 2

Задачи для самостоятельной работы

Проинтегрировать:

x2 − 72

84. ∫

3x + 8

dx .

85.

∫

−

dx .

86. ∫

dx .

− 2)(x + 5)

x2 − 4x + 3

x(x + 4)(x − 3)

−16x

5x + 8

3x +1

+ 5x +

87. ∫

dx .

88.

∫

dx .

89. ∫

dx .

− 5)

x3 −16x

+ 3) (x

(x − 2)

−10x + 25

(4x2 − 5x

9)dx

90.

∫

dx .

91.

∫

+13)(x

+1)

92. ∫ 5x

− x3

8dx .

− 4x

(x − 5)

−8

+ x −1

(x3

−12x2

− 3x)dx

(x3 +1)dx

93.

∫

dx .

94.б∫

dx .

95. ∫

(x2

− 4x + 5)2

+ 2)2

2)(x2 −1)

− 2x

1.7. Интегрирование тригонометрических функций

1) ИнтегралыСвида

∫ sinm x cosn xdx ,

(1.4)

где m и n − целые числа.

Рассмотрим следующие случаи:

а)

Если m − нечётное,

то применяется

подстановка

t = cos x ;

n − нечётное, то подстановка t = sin x .

б)

Если

−

чётные

неотрицательные

числа,

то

подынтегральное выражение преобразуют с помощью формул понижения степени:

sin2 x =

1− cos 2x ; cos2 x =

1+ cos 2x ;

sin x cos x = 1 sin 2x .

в) Если n и m − либо оба чётные, либо оба нечётные, причём

хотя бы один

из

них отрицателен,

то

применяют

подстановку

t = tgx (или t = ctgx).

2) Интегралы вида

∫ R(sin x,cos x)dx ,

(1.5)

где R − рациональная функция.

С помощью универсальной тригонометрической подстановки

t = tg

1− t

2dt

откуда sin x =

;

cos x

; dx =

интегралы вида (1.5)

1+ t2

приводятся к интегралам от рациональных алгебраических функций.

3) Интегралы вида

∫ sin mx cos nxdx , ∫ cos mx cos nxdx

∫ sin mxsin nxdx .

(1.6)

Интегрируются на основании тригонометрических формул:

sin mx cos nx

[sin(m + n)x + sin(m − n)x];

cos mx cos nx

[cos(m + n)x + cos(m − n)x];

sin mx sin nx = 1 [cos(m − n)x − cos(m + n)x];

cos(− x)

= cos x ; sin(− x)= −sin x .

Примеры решения задач

cos3 x

x sin

xdx ;

Проинтегрировать:

∫

sin6 x dx ;

∫ cos

∫

sin3 xdx

;

∫ sin

x cos

xdx ;

∫

sin2

dx ;

∫

;

4 + cos x

cos6

sin3

∫

; 8) ∫ sin 2x sin 3xdx .

3 + 5cos x

Решение:

1) Применим подстановку

sin x = t и воспользуемся

формулой sin2 x + cos2 x = 1. Тогда

∫ cos3 x dx =

∫ cos2 x cos xdx = ∫ (1− sin2 x) cos xdx =

sin x = t

sin6 x

cos xdx = dt

− t2

∫

dt = =

∫

−

dt = −

+ C = −

+ C.

5t5

3t3

5sin5 x

3sin3 x

2) Воспользуемся подстановкой cos x = t . Имеем

∫ cos10 x sin3 xdx = ∫ cos10 x sin2 x sin xdx = ∫ cos10 x (1− cos2 x)sin xdx =

cos x = t

= −

∫ t

10 (1− t2 )dt = −∫ t10dt + ∫ t12dt = − t

+ t

+ C =

− sin xdx = dt

= − cos11 x + cos13 x

+ C.

3) Подынтегральная функция нечётна относительно синуса,

поэтому сделаем подстановку cos x = t . Тогда

cos x = t

∫ sin

xdx = ∫

sin

sin xdx = ∫ 1− cos

x sin xdx =

4 + cos x

− sin xdx = dt

+ cos x

1− t2

Иt + 4 + C =

= −∫

= ∫ t − 4

4 + t

t +

dt =

−

+15ln

cos2 x

− 4cos x +15ln

cos x +

+ C.

4) Используя формулы понижения степени, получим

∫ sin

x cos

xdx = ∫ (sin x cos x)

cos

xdx =

sin 2x 2

1+ cos 2x

dx =

∫

[∫ sin

1− cos 4x

dx +

2xdx + ∫ sin и2x cos 2xdx]=

∫

∫ sin

−

sin 4x

sin3

+ C

2xd(sinС2x) =

−

sin 4x

sin3 2x

+ C.

5) В данном случае применим подстановку tgx = t и формулу

12 x = 1+ tg2 x . Тогда cos

∫ sin2 x dx = ∫ sin2 x		1	dx		= ∫ tg2 x (1+ tg2 x)d(tgx) =
		cos2 x	cos2	x
cos6 x	cos2 x

Источник: https://studfile.net/preview/16407772/

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Просвещенный абсолютизм' Екатерины II и его влияние на развитие русской культуры
'Создание и продвижение интернет - платформы реферальной системы' на примере компании Бартер–кард
«Методы учета затрат на производство продукции, работ, услуг»Курсовая работа