Материал: 2216

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

p 2x 3p2

d p

2x 3p2

– имеем

линейное

d p

u u p ,

уравнение, ищем его решения в

виде

x u , где

p .

p u

2u 3p

;

2u p u

pu 2u 0;

pdu 2udp 0;

;

lnu 2ln p;

; p

;

d p

;

x 3 p2 C . 4 p2

Решение дифференциального уравнения имеет вид:

y 2xp p3;
		3			C
	x		p	2			.
		4			p	2

(***)

При таком способе отыскания решения, преобразуя дифференциальное уравнение (б), мы теряем решения, в данном


случае делим на	d p	, значит, считаем		d p	0. Если же			d p	0,	то

	dx			dx		y 0		dx
из уравнения (б) следует, что при			p 0;				(**). y 0			–

является решением дифференциального уравнения, решая (***), получит его невозможно.

З а м е ч а н и е. Подобно тому, как мы решили пример (**), решается любое уравнение вида y x y y , называемое

уравнением Лагранжа (частный случай которых – уравнения Клеро y xy y ).

Лекция № 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2-ГО ПОРЯДКА

Дифференциальное уравнение 2-го порядка связывает x, y, y иy , т.е. имеет вид F x, y, y , y 0. Будем рассматривать только дифференциальные уравнения, разрешенные относительного 2-й производной:

y f x, y, y .

(1)

Общее решение [или общий интеграл] такого уравнения зависит от двух произвольных постоянных, т.е. представляет собой функцию

y x,C1,C2 x, y,C1,C2 0 ,

(2)

которая определяет на плоскости двухпараметрическое семейство интегральных кривых.

На такие уравнения обычно накладывают начальные условия в виде:

	y/x 0 y0 ;				y /x 0 y0 .
	(3)
Геометрически эти		условия задают		на	плоскости	точку
x0, y0 и	некоторое	направление	в	этой	точке y0	tg ;
arctg y0 .	Условия (3) выделяют		их	двухпараметрического

семейства кривых (2) единственную интегральную кривую, проходящую через точку x0, y0 и касающуюся указанного направления.

Т е о р е м а Коши. Пусть дано уравнение (1) и на него наложены условия (3). Тогда, если функция f x, y, y и её частные производные по аргументам y и y непрерывны в окрестности точки x0 , y0 , y0 , то существует единственное решение y y x уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям. Эта теорема называется теоремой существования и единственности решения (3) дифференциального уравнения (1). Без доказательства.

З а м е ч а н и е. Зная общее решение y x,C1,C2 уравнения (1), легко найти решение, удовлетворяющее начальным условиям (3). Достаточно продифференцировать решение и в систему

y x,C1,C2 ;

y x,C1,C2

подставить вместо x, y и y x0, y0 и y0 , после чего находим C10 и C20 . Таким решением будет функция y x,C10,C20 .

Пример.
y y 2.	y/x 0 1;	y /x 0 1; x C .

y p; y

d p

;

d p

p2 ;

d p

dx C1 ; p 1

x C;

p x C

;

x C

; d y

x C

;

y ln x C1 C2 – общее решение.

Находим решение, удовлетворяющее начальным условиям:

y ln		x C1		C2;	1 ln		C1	C2	;
	1					1			C	2	1;
	1					1				2
y			,		1		,		C1 1.
y	x C1		,		1	C1	,		C1 1.
	x C1					C1

Искомое решение

y ln

x 1

y 1 ln

x 1

;

x 1

Уравнения, допускающие понижение порядка

Дифференциальные уравнения 2-го порядка F x, y, y , y 0 сводятся к уравнениям 1-го порядка (говорят «допускают понижение порядка») в следующих простых случаях:

1) когда в уравнении (1) отсутствует переменная y:

F x, y , y 0;

(4)

2) когда в уравнении (1) отсутствует независимая переменная

F y, y , y

(5)

y p

считая p

В первом случае применяем подстановку

и,

функцией x, т.е. заменяем y

d p

Во втором случае применяем подстановку y p и,

считая p

функцией только y, получим:

d p

; y p; y

d p

dy dx

d p

x 1 p 0;

d p

y x 1 y

x 1

ln p ln x 1 C;

p x 1 C; p

;

x 1

2. y 2y y y p; y p

d p

; p

d p

2yp; dp 2ydy;

p y2 C1;

d y

dx;

arctg

;

arctg

;

y2 C

C x C

y C tg C x C

Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка. Общие вопросы

Будем рассматривать линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка

y a1 x y a2 x y f x ,

	(6)
где a1 x ,a2 x и	f x – данные функции;	y неизвестная
функция.

Если f x 0, то уравнение вида

y a1 x y a2 x y 0

(7)

называется линейным однородным уравнением 2-го порядка.

В связи с этим уравнение (6) называют уравнением с правой частью, а уравнение (7) – уравнением без правой части.

Обозначим левую часть уравнения (7) через L y , т.е.

L y y a1 x y a2 x y,

(8)

и будем называть L y линейными дифференциальным оператором (ЛДО)

			Свойства ЛДО
10 . L y	y	2	L y L y	2	,	т.е.	линейный оператор,
1			1			y1 x	и y2 x , равен сумме
примененный к сумме двух функций

результатов его применения к каждой функции. Д о к а з а т е л ь с т в о

L y1 y2 y1 y2 a1 x y1 y2 a2 x y1 y2

y1 a1 x y1 a2 x y1 y2 a1 x y2 a2 x y2 L y1 L y2 . 20 . L Cy CL y , c const, т.е. постоянный множитель

выносится за знак ЛДО. Действительно,

L Cy Cy a1 x Cy a2 x CyC y a1 x y a2 x y CL y .

30 . L u x i x L u iL следует из свойств 10 и 20 . Из этих свойств вытекает ряд теорем о решениях линейного

однородного уравнения.
Т е о р е м а	1. Если функция y1 x	является решением
уравнения L y 0,	то функция Cy1 x , где	C – произвольная
const, тоже решение этого уравнения:
	Д о к а з а т е л ь с т в о
Пусть L y1 0, тогда L Cy1 CL y1 0, что и требовалось

доказать.

Источник: https://studfile.net/preview/16408273/

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Просвещенный абсолютизм' Екатерины II и его влияние на развитие русской культуры