Материал: 2216

можно найти тригонометрический ряд, сходящийся к данной функции? Эта задача и будет решаться в данной лекции.

Определение коэффициентов ряда по формулам Фурье

Пусть периодическая с периодом 2 функция f x такова, что она представляется тригонометрическим рядом, сходящимся к данной функции в интервале , , т.е. является суммой этого ряда:

n 1

(2)

Предположим, что интеграл от функции, стоящей в левой части этого равенства, равняется сумме интегралов от членов ряда

(2). Это, например, будет выполняться, если предположить, что числовой ряд, составленный из коэффициентов данного тригонометрического ряда, абсолютно сходится, т.е. сходится положительный числовой ряд.

(3)

Тогда ряд (1) мажорируем и, следовательно, его можно почленно интегрировать в промежутке от до . Используем это для вычисления коэффициента a0.

Проинтегрируем обе части равенства (2) в пределах от до

:

Возвратимся теперь к вопросу, поставленному нами в начале лекции: какими свойствами должна обладать функция, чтобы построенный для неё ряд Фурье сходился и чтобы сумма построенного ряда Фурье равнялась значениям данной функции в соответствующих точках (т.е. сходился именно к этой функции)? Достаточные условия представимости функции f x рядом Фурье дает следующая теорема:

Т е о р е м а. Если периодическая функция f x с периодом 2 кусочно монотонная и ограниченная на отрезке , , то ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится во всех точках. Сумма полученного ряда s x равна значению функции f x в точках непрерывности функции.

Рис.1

В точках разрыва функции f x сумма ряда равняется среднему арифметическому пределов функции f x справа и слева (т.е. если x c – точка разрыва функции f x , то

Данную теорему мы приводим без доказательства. В лекции будет дано доказательство другого достаточного признака разложимости функции в ряд Фурье, который относится в некотором смысле к более узкому классу функций.

З а м е ч а н и я: 1) если функция f x – кусочно монотонная и ограниченная на отрезке a, b , то она может иметь только точки разрыва первого рода. Действительно, если x c есть точка