Материал: 361
26
§ 6. Уравнение Бернулли
Уравнением Бернулли называется дифференциальное уравнение
первого порядка следующего вида:
a · b · ,
где a, b – некоторые заданные функции переменной , а
y w 0 – некоторое число (константа).
Для решения уравнения Бернулли можно применять те же два метода решения (метод Бернулли и метод вариации произвольного постоянного), что и для линейных дифференциальных уравнений пер-
вого порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разберем один и тот же пример обоими методами. |
|
|||||||||||
Пример 11. Найти общее решение уравнения Бернулли: |
|
|||||||||||
|
|
|
|
3 . |
|
|
||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод Бернулли |
|
|
||||||||||
Решение дифференциального уравнения будем искать в виде: |
|
|||||||||||
P · Q. |
(9) |
|||||||||||
P · Q |
v ·z |
3 · P · Q . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
P · Q P · Qx |
P |
|
· Q |
3 · P · Q |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
P · Q P · VQx z |
W 3 · P · Q . |
(10) |
||||||||||
Приравняем выражение Qx z к нулю и найдем Q, удов- |
||||||||||||
летворяющее полученному условию. |
|
|
|
|
|
|
||||||
Qx |
Q |
0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Q |
|
Q |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Интегрируем полученное выражение. |
|
|
||||||||||
|
Q |
|
M |
|
|
|
||||||
M Q |
|
|
|
|
|
|||||||
ln|Q| ln| | |
6 |
|
|
|||||||||
Возьмем 6 0 и потенцируем. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Q |
|
|
|
||||||||
27
Подставляем Q в уравнение (10).
P · P · 0 3 · P ·
P 3P · P 3P ·PP 3
Интегрируем полученное уравнение.
M PP M 3
P1 16
P 6
Осталось подставить P J=T> и Q в (9) и получить
общее решение исходного дифференциального уравнения:
6 .
Метод вариации постоянного
Сначала решаем соответствующее однородное дифференциальное
уравнение: |
|
|
0. |
|
|
|
(11) |
||||
Заменяем x на , разделяем переменные и интегрируем: |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
M |
||
|
|
|
|
||
|
ln| | ln| | 6 |
||||
Потенцируем и получаем общее решение однородного дифферен-
циального уравнения (11):
6.
Заменяем постоянную 6 на функцию 6h и ищем решение исход-
ного уравнения Бернулли в виде 6h · .
6h · 6h · 3 6h 6h · 6h 6h 3 6h
28
Разделяем переменные и интегрируем. |
||||
|
h |
M 3 |
||
|
M 6 |
|||
|
h |
|
|
|
|
6 |
|
6 |
|
|
h 1 |
|
||
|
h 6 |
|
1 |
|
|
6 |
6 |
||
|
6 · |
JT> |
|
|
Отсюда |
h |
|
. |
|
Ответ: JT>. |
|
|
|
|
Задания для самостоятельного решения
Определить тип уравнения и найти общее решение дифференци-
ального уравнения: |
|
||
№ 131. |
|
2 2 C?; |
|
№ 132. |
1 2 1; |
||
№ 133. |
|
|
; |
№ 134. |
|
2 C; |
|
№ 135. |
2 sin cos sin . |
||
|
|
Задания для контроля знаний |
|
Найти общее решение дифференциального уравнения: |
|||
№ 136. |
|
2 2 ; |
|
№ 137. |
2 kl; |
|
|
№ 138. |
cos cos ; |
||
№ 139. |
|
2 2 |
; |
№ 140. |
|
; B |
|
№ 141. |
|
2 2 ?; |
|
№ 142. |
|
2 C?; |
|
№ 143. |
|
cos cos ; |
|
№ 144. |
|
2 |
; |
№ 145. |
|
tg cosC . |
|
29
§ 7. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Дифференциальное уравнение:
a , b , 0
называется дифференциальным уравнением в полных дифференциа- |
||||||
лах, если выполнено следующее условие на функции a , и b , : |
||||||
{a , |
|
{b , |
. |
|
|
|
{ |
|
{ |
|
|
||
В этом случае выражение a , b , является полным |
||||||
дифференциалом некоторой неизвестной функции |
, , а функции |
|||||
a , и b , – частные производные этой функции |
, по пе- |
|||||
ременным и соответственно. |
|
|
|
|
|
|
Тогда исходное уравнение переписывается в виде: |
|
|||||
|
, 0. |
|
|
|
||
А его решение имеет вид: |
, 6. |
|
|
|
||
То есть для решения дифференциального уравнения в |
полных |
дифференциалах достаточно найти неизвестную функцию |
, , |
полным дифференциалом которой является левая часть нашего дифференциального уравнения9.
Это можно сделать двумя способами:
1. Сначала проинтегрировать функцию a , по переменной (появится неопределенная функция 6), а потом полученный результат продифференцировать по переменной и приравнять к
функции b , (получится дифференциальное уравнение первого порядка на функцию 6).
2. Сначала проинтегрировать функцию b , по переменной (появится неопределенная функция 6), а потом полученный результат продифференцировать по переменной и приравнять к
функции a , (получится дифференциальное уравнение первого порядка на функцию 6).
Пример 12. Найти общее решение дифференциального уравне-
ния: |
1 0. |
|
9 Таких функций существует бесконечное множество. Все они отличаются друг от друга на константу. Требуется одна такая функция. Поэтому при решении мы будем отбрасывать получающуюся константу 6.
30
Решение. Сначала проверим, что данное дифференциальное уравнение является дифференциальным уравнением в полных дифферен-
циалах. Для этого необходимо проверить равенство: |
||||||
{a , |
|
{b , |
. |
|
||
{ |
|
{ |
1 |
|||
a , | |
{a , |
|||||
|
|
|
{ |
} |
||
b , 1 | |
{b , |
|||||
1 |
||||||
|
|
|
{ |
|
||
Равенство выполнено, поэтому данное дифференциальное уравнение является дифференциальным уравнением в полных дифферен-
циалах. |
|
|
|
|
Способы решения: |
, как интеграл по переменной от |
|||
1. Будем искать функцию |
||||
функции a , (при этом переменная будет рассматри- |
||||
ваться как константа). |
|
|
|
|
, M a , M M M |
||||
|
6 . |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Для того чтобы найти 6, вспомним, что 00~ b , . |
||||
|
{ , |
6x |
||
|
{ |
|
|
1 |
|
6 |
|||
|
|
6 |
1 |
|
|
6 |
6 |
||
|
, |
|
||
|
2 |
|
||
Константу 6 мы взяли равную нулю, так как нам нужна только |
||||
одна функция |
, , полный дифференциал которой равен левой |
|||
части нашего дифференциального уравнения. |
||||
Получаем общее решение исходного дифференциального уравне- |
|
ния приравниванием полученной функции |
, к произвольной |
постоянной 6: |
|