Материал: 361
31
2 6. Ответ: ? 6.
2. Будем искать функцию , как интеграл по переменной от функции b , 1 ( – константа).
, M b , M 1 1 M
1 · 6
{ , 6x {
6 a , 6
6 M 2 6
, 1 · 2 2 Ответ: ? 6.2 6
Задания для самостоятельного решения
Найти общий интеграл дифференциального уравнения:
№ 146. 1 2 1 0;
№ 147. 2 cos 2 2 cos 5 0;
№ 148. 2 C C 0;
№ 149. 3 3 2 6 5 0;
№ 150. 3 2 1 4 0;
№ 151. •BT= 2€ •BT= 1€ 0; № 152. 4 3 1 2@ 3 0; № 153. 8 3 4 9 0;
№ 154. V3B Z 2W 5B 1 0;
№ 155. 4 JB X 4 7 JB @ @ 0.
32
Задания для контроля знаний
Найти общий интеграл дифференциального уравнения: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
№ 156. |
6 3 3 0; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
№ 157. V2C |
? |
W VC |
UJ |
W 0; |
||||||||||||||||||||||||||||||
? |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
№ 158. • |
|
|
|
|
|
1€ • |
|
|
|
|
|
|
2€ 0; |
|||||||||||||||||||||
BT= |
BT= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
№ 159. 4 J 15 3√ @ 10 0; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 0; |
||||||||||||||||
№ 160. |
2 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
? |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
№ 161. V J |
JW V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W 0; |
|||||||||||||||||||||||
|
N |
? |
||||||||||||||||||||||||||||||||
№ 162. |
3 2 |
6 1 0; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
№ 163. |
2 cos 2 |
sin 2 3 0; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
?T= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
№ 164. VC= |
1W |
|
|
|
|
|
|
0; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
C=? |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
№ 165. V3 TUT |
|
|
|
?TU |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
№ 166. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
№ 167. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
№ 168. V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
№ 169. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
|||||||
№ 170. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
№ 171. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||
№ 172. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
|||||||
№ 173. V3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
|||||||||||||||
T= ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
№ 174. |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
0; |
|||||||||
№ 175. V |
|
|
W • |
|
|
|
|
€ 0. |
||||||||||||||||||||||||||
√T= |
BC= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
33
Глава 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
§ 1. Основные понятия и определения
Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид:
, , , , … , 0
или, если оно разрешено относительно :
, , , … , C= .
Задача нахождения решения дифференциального уравнения n-го
порядка, удовлетворяющего начальным условиям:
( (, ( (, … , C= ( (C=,
называется задачей Коши. |
|
|
|
|
|
|
|
Другая возможная запись начальных условий: |
|
|
|||||
) |
) |
|
|
) |
C= |
C= |
|
|+, (, |
|
… , |
|
. |
|||
x|+, (, |
|
•+, ( |
|||||
Теорема существования и единственности решения задачи
Коши. Пусть дано дифференциальное уравнение: |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
, |
, , … , C=, |
|
|
|
|
|||||||||
где функция , , , … , C=: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
а) непрерывна по всем своим аргументам , , , … , C= в |
||||||||||||||||||
некоторой области |
. их изменения; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) имеет ограниченные в области . частные производные: |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
{ { |
|
{ |
|
|
|
{ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
{ , { x , |
{ xx , …, |
{C= |
|
|
|
|
||||||||
по аргументам , x, xx, …, |
C=, то найдется такой интервал |
|||||||||||||||||
( |
2, ( 2 , |
на |
котором |
существует |
единственное |
решение |
||||||||||||
|
данного уравнения, удовлетворяющее условиям: |
|
|
|||||||||||||||
) |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
C= |
|
C= |
|
||||
|+, (, |
|
|
|
|
|
… |
|
, |
|
|
|
, |
||||||
x|+, (, |
|
|
|
|
•+, ( |
|||||||||||||
в области .. ( |
, |
( |
, |
x ( |
|
|
|
C= |
( |
|
|
|||||||
где значения |
|
|
|
|
, …, |
|
|
C= содержатся |
||||||||||
Для уравнений второго порядка |
, , начальные усло- |
|||||||||||||||||
вия имеют вид: |
|
) |
|
|
|
) |
|
|+, |
(, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|+, (, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где (, (, ( – данные числа. В этом случае теорема существования и единственности геометрически означает, что через данную точку
34
-( (, ( координатной плоскости с заданным тангенсом угла наклона касательной (tg ƒ () проходит единственная интегральная кривая.
Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка:
, , , … , C=
называется множество всех его решений, определяемое формулой |
||||||||||||
|
, 6=, 6 , … , 6 , содержащей |
y |
произвольных |
постоянных |
||||||||
6=, 6 , … , 6 , таких, что если заданы начальные условия: |
|
|
|
|||||||||
) |
|
) |
|
|
|
) |
C= |
|
|
C= |
|
|
|+, (, |
|
… |
, |
|
• |
|
, |
|||||
x|+, (, |
|
|
( |
|
||||||||
|
|
|
6= |
, 6 , … , 6 |
|
, 6 |
=, 6 |
, … , 6 |
||||
то найдутся такие значения „ „ |
„, что |
|
|
+,„ „ |
|
„ |
||||||
будет являться решением рассматриваемого дифференциального уравнения, удовлетворяющим этим начальным условиям.
Частным решением дифференциального уравнения n-го поряд-
ка: , , , … , C= называется решение, получаемое из общего решения , 6=, 6 , … , 6 , при каких-либо определенных значениях набора произвольных постоянных 6=, 6 , … , 6 .
§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
Уравнения вида 3… 4 5
Дифференциальные уравнения вида решаются последовательным n-кратным интегрированием правой части. При каждом таком интегрировании получается одна произвольная постоянная, а в результате – n произвольных постоянных 6=, 6 , … , 6 .
Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения:
sin .
Решение. Последовательно интегрируем три раза.
M sin M cos 6=
M cos M 6= M sin 6= 6
M sin M M 6= 6cos 6= · 2 6 6
Ответ: cos 6= · ? 6 6 .
|
|
|
|
|
|
35 |
Пример 2. Решить задачу Коши: |
|
|
|
|||
† † |
1 |
|
1 cos 2 , |
† † |
1 |
|
, |
† † |
1, |
||||
V4W 4 |
8 |
V4W 32 |
V4W 4 |
2 . |
||
Решение. Последовательно интегрируем и подставляем началь-
ные условия три раза.
M 1 cos 2 12 sin 2 6=V†4W †4 12 sin †2 6= †41 12 6= †4 12 6= 0, 2 sin 2
M • 12 sin 2 € 2 14 cos 2 6V†4W †32 14 cos †2 6 †32 1 6 †32 16 1, 2 1 4 cos 2
M ‡ 6
V†4W 6 · 64 †4 182 1 14 cos 2 ˆ 6 18 sin 2† †4 18 sin †2 6 384† †4 18 6
6 † , 1 sin 2 †J384 = 6 _J 8 384
Ответ: U q sin 2 q@.
Уравнения, не содержащие искомой функции 3 в явной форме |
|
Дифференциальные уравнения второго порядка вида |
, , 0, |
не содержащие искомой функции в записи дифференциального |
|
уравнения в явном виде, сводятся к дифференциальному уравнению первого порядка подстановкой10:
‰ , |
‰. |
|
|
10 Данная подстановка позволяет понизить порядок любого дифференциаль-
ного уравнения n-го порядка на 1, в записи которого отсутствует , при этом:
‰ , ‰ , … , u ‰uC=, … , ‰C=.