Материал: 4718

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам


x1,2	b	D	5	81	5 9

	2 a		2 2		4
	2 a		2 2		4

7 x1 2 ,

x2 1.

Следовательно,

2x2				5x			7	2				x				7				x		1					(2x						7)(x							1) .

																2
																2
				Знаменатель														разложим,																используя												формулу						разности										квадратов
a2			b2			(a				b)		(a					b) . Тогда x2																1				x2			12			(x					1)(x 1) .
				Имеем
lim			2x2			5x		7					lim					(2x 7)(x 1)																	lim				2x			7			2 1					7	9	4			1		.
lim					x2		1						lim						(x				1)(x					1)							lim					x		1				1 1					2	4		2			.
x 1					x2		1							x		1			(x				1)(x					1)							x	1				x		1				1 1					2			2
				б)		lim				7x3					2x2							4x
				б)		lim						2x				3		1
						x										3


Получили неопределенность																																	. Для раскрытия этой неопределенности нужно
Получили неопределенность																																	. Для раскрытия этой неопределенности нужно
разделить числитель и знаменатель на x																																								в старшей степени, т.е. на x3 .
																					7x3						2x2							4x							7			2		4
			7x3			2x2
lim			7x3			2x2					4x						lim						x3						x3						x3					lim				x					x2	7	0			0				7		3	1		.
lim					2x		3	1									lim							2x		3														lim						1					2 0							2		3	2		.
x					2x			1									x							2x				1												x						1					2 0							2			2

																																										2

																																																x3
																									x3							x3
																									x3							x3
				в)		lim						x2													02													0
				в)		lim			1 cos 6x													1 cos(6 0)														0
						x 0			1 cos 6x													1 cos(6 0)														0
Получили неопределенность																														0	.
Получили неопределенность																												0			.
																												0
				Сначала применим формулу																													1				cos					2 sin 2								, а затем воспользуемся
				Сначала применим формулу																													1				cos					2 sin 2								, а затем воспользуемся
																																														2
первым замечательным пределом lim																																					sin x					1.
первым замечательным пределом lim																																						x				1.
																																	x 0					x
																																	x 0
					x2													x2																x2						1									x	2	1 1									3x	2
lim					x2					lim								x2							lim									x2						1		lim							x		1 1					lim				3x
lim										lim															lim																	lim														lim
x 0		1			cos 6x						x	0			2sin					2 6x							x			0 2sin 2						3x				2		x		0			sin 3x				2		3 x				0		sin 3x
															2sin							2
																						2
	1			1		2			1
	1			1	1				1		.
2		3			1			18			.
2		3						18

				12
30 – 39. Найти производные следующих функций.
		x
30. а)	y 4 x2 arcsin	x	,	б) y e 2 x ln(3x 1) ,
30. а)	y 4 x2 arcsin	2	,	б) y e 2 x ln(3x 1) ,
		2

в)

sin 4 x

arctg

31. а)

arctg

4 e x ,

в)

tg 2 x

cos 3x

32. а)

(2x

3)7

sin

в)

e5 x

ctg

33. а)

e1 6 x

cos 7x ,

в)

arcsin

4 cos5 x

34. а)

ln x ,

в)

sin 9x

ctg(2x 1)

35. а)

ln 4 x

sin 5x ,

cos

в)

e1 3x

г)

3 ln(cos x) .

б)

2x) ,

sin x

ln(8

г)

ecos( x ) .

б)

ln( x2

4) ,

cos x

г)

arccos(ln 5 x) .

sin 2 x

б)

ln x ,

г)

1 sin(x4 )

б)

e1 x2

arccos

г)

tg(3 x2

3) .

б)

arcctg2x ,

г)

5 ctg(4x

1) .

esinx ,

36. а)

arccos

4x ,

б)

в)

cos3 x

г)

2arccos(x3 ) .

arctg(x2

37. а)

1) ,

б)

ln( 3x

2) cos x ,

в)

sin 5x

г)

2arccos(x3 ) .

ctg 2 x

cos7 x

38. а)

2x ,

в)

ln( x2

39. а)

cos

e2 x ,

в)

arccos 5x

ctg

3*. а)

cos3 x

54 2 x

в)

sin 7x

б) y

sin

e5 x ,

г)

arccos

8 .

ln 4 x sin

б)

x ,

г)

sin( 4 x ) .

б)

4x ,

г)

5 log

(ex ) .

Решение задачи 3*. При нахождении производной используем (см. прил. 1):

–таблицу производных основных элементарных функций;

–основные свойства производных;

–правило нахождения производной сложной функции.

а) y	cos3 x ln	x	(cos3 x)	ln	x	3 cos2 x (cos x)	1		x
а) y	cos3 x ln	2	(cos3 x)	ln	2	3 cos2 x (cos x)	x	2
		2			2		x	2
							2

3 cos2 x (

sin x)

cos2 x

sin x

;

б)

4x tg

x2 4x

4x tg

(x2

4x)

cos

4x tg

(2x 4)

cos

;

cos

в)

2 x

sin 7x

2 x

(sin 7x)

sin 7x

(sin 7x)2

																			14
54	2 x	ln 5 (4					2x)					54 2 x		cos 7x (7x)					54		2 x		ln 5 (		2)	54 2 x cos 7x 7
									sin 2 7x																sin 2 7x
54	2 x	(			2 ln 5		7 cos 7x)						;
					sin 2 7x								;
					sin 2 7x
																1				1					4
																1									4
	г)				y	5	log				(ex )			log		(ex ) 5					log			(ex )	5	log		(ex )
	г)				y	5	log			3	(ex )			log	3	(ex ) 5			5		log		3	(ex )		log	3	(ex )
										3					3								3				3
1											1				1								1
1						4					1				1				4				1
	log		3	(ex )		5							ex			log	3	(ex ) 5							ex
5	log			(ex )				ex				ln 3	ex		5	log		(ex ) 5				ex		ln 3	ex


				1					.



5ln 3		5			log 4	(ex )
				3

40 – 49. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию y f (x) и на основании полученных результатов построить еѐ график.

	y			1									y	1			x3
40.											.	41.									.
40.			x2	4x						3	.	41.				x2					.
	y			x3									y			x2			2x
42.							.					43.											.
42.		6		2x2			.					43.				x			1				.
44.	y		x2	x					4	.		45.	y			x		2	.
44.	y			2x						.		45.	y			x3			.
				2x												x3
46.	y			1				.				47.	y	x3				4				.
46.	y		x2	2x				.				47.	y			3x2						.
	y		x2										y			x3
48.					.							49.								.
48.			x2	1	.							49.			x2			1		.
4*. y			5x2
						.
			x2	25		.
		Решение							задачи			4*. Проведем исследование							функции					y	5x2		по
		Решение							задачи			4*. Проведем исследование							функции					y	x2	25	по
																									x2	25

следующей схеме:

1.Область определения функции

Вобласть определения исследуемой функции не входят лишь те значения x , для

которых		x2	25 0,	то	есть	x 5	и	x 5 .	Поэтому
D( y) (	;	5)	( 5;5) (5;	) .
2.	Вид функции
Выясним, является ли функция четной или нечетной.
Если y(	x)	y(x) для любого x			из области определения функции y				f (x) , то

эта функция называется четной. График четной функции симметричен относительно оси ординат.

	15
Если y( x)	y(x) для любого x из области определения функции y f (x) , то

эта функция называется нечетной. График нечетной функции симметричен

относительно начала координат.
Для нашей функции:
	5x2		5( x)2	5x2			5x2
y(x)		, y( x)			,	y(x)		.
	x2 25		( x)2 25	x2 25			x2 25

Видим, что y( x) y(x) для любого x из области определения функции. Поэтому

функция четная, еѐ график симметричен относительно оси ординат.

3. Точки пересечения графика функции с осями координат

Для нахождения точек пересечения графика с осью Ox решим систему уравнений

	y		0,
		5x2
y				.
y		x2	25	.

Отсюда получаем, что x 0 , y 0. Следовательно, точка (0;0) является точкой

пересечения графика функции с осью Ox .

Для нахождения точки пересечения графика функции с осью Oy решим систему уравнений

x 0,

5x2

y x2 25 .

Отсюда x 0 , y 0, поэтому точка (0;0) является точкой пересечения графика

функции с осью Oy .
		4. Исследование										функции			по	первой				производной		(интервалы
монотонности, точки экстремума)
Найдем первую производную функции:
y		5x2				(5x2 )			(x2			25)		5x2	(x2	25)	10x		(x2 25) 5x2			2x
y		x2	25									(x2	25)2							(x2	25)2
		x2	25									(x2	25)2							(x2	25)2
10x		(x2	25		x2 )						250 x			.
		(x2	25)2							(x2		25)2		.
y	0	при x		0 ,				y	не существует при							x	5 и		x	5 . Точки x1				5,	x2	0 ,
x3	5 разбивают область определения функции на четыре интервала																							(	;	5) ,
( 5;0) , (0;5) ,				(5;				) . Определим знак производной y												на каждом из них. Возьмем
любое			число				из				интервала				(	; 5) ,		например			6 .		Так			как
y (	6)		250	(	6)				1500			12,4 0 ,			поэтому			на		всем	интервале			(	;	5)

			(36	25)2					121
			(36	25)2					121
производная y						0 и, следовательно, функция монотонно возрастает. Аналогично
определяем знак производной y														на трех других интервалах:
y (	1)		250	(	1)			250				0,4	0 ,

			(1	25)2				576
			(1	25)2				576

Источник: https://studfile.net/preview/16414754/

Смотрите также:



17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ