Материал: 4718

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

						16
y (2)	250		2	500	1,1 0	,

	(4	25)2		441
	(4	25)2		441
y (7)	250		7	1750	3,1	0 .

	(49		25)2	576
	(49		25)2	576

Результаты исследования занесем в таблицу:

(

;

(

5;0)

(0;5)

(5;

)

−

функция

max

функция

возрастает

убывает

Итак,

функция

возрастает

на каждом

из

интервалов (

; 5) ,

(

5;0)

убывает на интервалах (0;5) , (5;

) . В точке x

0 производная меняет знак с «+»

на «−», следовательно,

0 − точка максимума функции. Значение функции в

этой точке равно:

ymax (0) 0 .

5. Исследование функции по второй производной (выпуклость,

вогнутость, точки перегиба графика)

Найдем вторую производную функции:

( y )

250 x

250

(x) (x2

25)2

((x2

25)2 )

(x2

25)2

(x2

25)4

250

1 (x2

25)2 2x

(x2

25)

250

(x2

25)

(x2

4x2 )

(x2

25)4

(x2 25)4

250

3x2

(x2

25)3

0 , если 3x2

0 . Это уравнение не имеет решения.

не существует при x

5 и x

5 .

Точки x1

5 разбивают область определения функции на три интервала:

(

;

5) ,

(

5;5) , (5;

) . Определим знак производной y

на каждом из них. Так

как

y (

250

3 62

250

133

274,8

поэтому на

всем

интервале

(62

25)2

121

(

;

5) производная y

0 и, следовательно, график функции является вогнутым

на данном интервале.

Аналогично определяем,

что

0 на интервале ( 5;5) ,

поэтому график выпуклый на данном интервале.

На интервале (5;

)

0 ,

поэтому график вогнутый на этом интервале. Результаты исследования занесем в таблицу:

x [0;5)

x	( ; 5)	( 5;5)	(5; )
y	+	−	+

y

y	вогнутый	выпуклый	вогнутый
y	график	график	график
	график	график	график

Точек перегиба на графике функции нет.

6. Точки разрыва функции и вертикальные асимптоты её графика

Точки разрыва функции – это точки

5 , в которых функция не

определена. Вычислим пределы функции в этих точках:

lim

5x2

125

, lim

5x2

125

x2 25

x 5

Поэтому прямые с

уравнениями x

являются вертикальными

асимптотами графика функции.

7. Невертикальные асимптоты графика функции

Невертикальной асимптотой будем называть асимптоту, не параллельную оси Оу.

Невертикальная асимптота графика функции y f (x) при x	существует
тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы

lim	f (x)	k,
	x
x

Эта асимптота имеет уравнение y

Вычислим пределы

lim

f (x)

lim

5x2

lim

25)

lim [ f (x)

kx]

lim

5x2

lim

lim [ f (x)						kx]	b .
x
b .
		5				0
		5
lim			x				0	k ,
lim		1		25		1	0	k ,
x		1		25		1
				x2
	5x2				lim		5		5	5 b .
x	2	25			lim		25	1		5 b .
x	2	25			x	1	25	1
							x2

Так как оба предела k и b конечны,		то график функции имеет невертикальную
асимптоту при x	. Еѐ уравнение y	kx b , то есть y 5.

8. Построение графика функции

На основании результатов проведенного исследования строим график функции. Четность функции облегчает построение графика: строим часть графика функции для значений (5; ) , а затем отображаем эту часть графика

симметрично относительно оси ординат и получаем весь график.

Для уточнения графика рассмотрим несколько дополнительных точек:

y(2)	5	22		20	0,9 ,	y(7)	5		72		245	10,2 .
	22	25	21				7	2	25	24

Рис. 6

9. Множество значений функции

Вид графика (см. рис. 6) позволяет сделать вывод, что E( y) ( ;0] (5; ) .

Контрольная работа № 2

50 – 59. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

50.

а)

x dx

51.

а)

ln 2 x

52.

а)

x dx ,

53.

а)

ln x

dx ,

54.

а)

arctg5 x

dx ,

55. а)

2x5 9 dx ,

56.

а)

cos x dx

5 sin 2 x

б) x3 ln x dx .

б) x sin 3x dx . б) x cos 2x dx .

б) (1 x) sin 2x dx .

б) x3 ln x dx .

б) (x 1) sin 2x dx .

б) x ln x dx .

57.

а)

tg x

dx ,

б)

e 7 x dx .

cos2 x

ex dx

58.

а)

б)

3) cos 4x dx .

e2 x

59.

а)

sin x dx

б)

ln x

dx .

3 2

3cos x

5*. а)

e2 x3 5

x2 dx ,

б)

ln(cos x)

dx .

sin 2 x

Решение задачи 5*. При вычислении интегралов используем (см. прил. 2):

–таблицу неопределенных интегралов;

–основные свойства неопределенного интеграла;

–основные методы интегрирования в неопределенном интеграле (метод замены переменной и метод интегрирования по частям).

а) Воспользуемся методом замены переменной

2x3

2 x3

dt (2x3

5) dx

t dt 1

2 x3 5

6x2dx

С .

6 6

x2dx

Результат вычислений проверим дифференцированием:

2 x3

2 x3 5

б)

Воспользуемся формулой интегрирования по частям

u dv

u v v du .

ln(cos

x),

sin 2 x

ln(cos

x) dx

(ln(cos x))

dx,

ln(cos x)

(

ctg x)

sin 2 x

( sin x) dx,

ctg x,

cos x

( ctg x)

sin x

ctg x ln(cos x)

C .

cos x

Результат вычислений проверим дифференцированием:

( ctg x ln(cos x)

ln(cos x)

ctg x

( sin x)

sin 2 x

cos x

ln(cos x)

sin 2 x

60 – 69. Пользуясь формулой Ньютона – Лейбница, вычислить определенный

интеграл f (x) dx .

			15						dx									1				dx
									dx													dx
60.													.			61.												.
								x2		5
																		0		4				x2
	5																	0		4				x2
		3																3
	2								dx									3			dx
									dx												dx
62.															.	63.									.
																		1 3x					2
							9			x2
	2						9			x2
	2
									dx									4				dx
	8																	4

64.														.		65.											.
					cos2 2x
				0	cos2 2x													0			2x		1
	1									x											dx
	1																	2

66.							3					dx .				67.		0								.
66.	3						3			3		dx .				67.		0	cos2 3x							.
	1																	1
68.	3								dx			.				69.		1		1				x					dx .

	0 1								9x2									1		3			2
	8								dx
6*.									dx		.


	3							x		1
	3
						Решение задачи 6*. При вычислении интеграла воспользуемся формулой
																b
Ньютона – Лейбница																f (x) dx F(x)	ba F(b)				F(a) .
Ньютона – Лейбница																					F(a) .

Источник: https://studfile.net/preview/16414754/

Смотрите также:



17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ