Материал: 5720

Ответ: =

Пример 48. Система линейных уравнений

решалась по формулам Крамера. Выяснить, какой из трёх указанных ниже ответов

является правильным.

Решение. Формулы Крамера для этой системы с двумя неизвестными x, y имеют

вид

правых частей системы (другой столбец − такой же, как у ). В этом примере, согласно сказанному и виду системы

Замечание: Вычислим три определителя данного ответа:

, , .

1. Легко проверить, что эти числа обращают равенства

Пример 49. Выписать матрицу линейного преобразования координат

и указать её размерность.

Решение. Этим преобразованием трёхмерного вектора

46

размерность − , т.е. она имеет две строки и три столбца.

Пример 50. Записать линейные преобразования переменных, заданное матрицей

Решение. Данное преобразование имеет вид

Очевидно, что оно преобразует векторы из в векторы из

.

Ответ:

Пример 51. Найти собственные числа и соответствующие им собственные векторы линейного преобразования

Матрица X размерности , элементами которой являются координаты вектора , также будем называть векторами.

Собственным вектором данного линейного преобразования с квадратной матрицей А (собственным вектором матрицы А) называется всякий ненулевой вектор X (X), удовлетворяющий условию

,

где − некоторое число. При этом число называется собственным значение линейного преобразования или собственным значением задающей это преобразование матрицы А. Если есть собственный вектор, принадлежащий собственному значению

, то при любом вектор также является собственным вектором.

Собственные значения находятся как решения характеристического (векового)

уравнения матриц А т.е. уравнения . Для квадратной матрицы А

второго порядка оно имеет вид

47

В данном примере это уравнение таково:

второй степени относительно неизвестной . Его корнями (характеристическими

Выяснить, какие из этих чисел являются собственными значениями матрицы

.

48

Решение. Характеристическое уравнение этой матрицы имеет вид

Пример 53. Выписать матрицу А следующей квадратичной формы двух переменных

.

Решение: Квадратичная форма двух переменных имеет вид

.

Матрицей этой квадратичной формы называется квадратная матрица

,

причём предполагается, что эта матрица симметрична, т.е. . Тогда исходную квадратичную формулу можно записать в виде

.

Из данных примера имеем, что , , (). Следовательно, матрица квадратичной формы имеет вид

Ответ:

Пример 54. Выписать матрицу А квадратичной формы

трёх переменных .

Решение.Квадратичная форма трёх переменных имеет вид

;

при этом предполагается, что её матрица

симметрична, т.е. Тогда она приводится к виду

49

.

Согласно вышеизложенному, для данной квадратичной формы

Следовательно, её матрица имеет вид

.

Пример 55. Записать квадратичную формулу, если её матрица имеет вид

Пример 56. Записать квадратичную форму по её матрице

.

Решение. Данная матрица является симметричной матрицей третьего порядка, при этом

Тогда квадратичная форма есть форма трёх переменных и имеет вид (см. пример 54)

+

Ответ:

Пример 57. Найти ранги следующих квадратичных форм.

1) ,

50