Материал: 5720

Решение. Заполняем таблицу Гаусса и проводим итерации.

является системой трапецеидального вида. Для приведения к таковой надо сделать лишь следующую замену переменных:

, , .

Относительно новых переменных система примет вид

который является трапецеидальным. Согласно сказанному в замечании, получаем, что система совместна, но неопределённа. Это можно было бы выяснить и с помощью теорем 1, 2 (по третьей таблице решения легко найти ранги матриц системы).

Ответ: Система совместна и неопределённа (бесчисленные множества решений).

Пример 40. Исследовать систему

методом элементарных преобразований.

Решение. Вычисления становятся более простыми, если за разрешающие элементы выбирать коэффициенты, равные единицам. Тогда разрешающие элементы могут быть в произвольных местах таблицы, что сейчас и увидим. Заполняем исходную таблицу Гаусса и проводим итерацию, отмечая размещающие элементы на каждом этапе.

41

систему уравнений:

Эта система не является ни треугольной, ни трапецеидальной (хотя из её вида одно решение очевидно). Для её преобразования к одному из указанных видов сначала поменяем местами второе и третье уравнения:

Теперь сделаем следующую замену переменных:

, .

Относительно этих новых переменных система примет вид

который является треугольным. Таким образом, исходная система имеет единственное решение. Его можно найти следующим образом. Из последней системы обратным ходом метода Гаусса находится соответствующие Совершив это действие, получим

Возвратившись к замене переменных, находим исходные неизвестные:

Легко проверить, что это решение (2, 2, 3) удовлетворяет расширенной системе. Заметим ещё, что для самого нахождения этого решения (но не для доказательства его существования и единственности) перестановки уравнений и замены переменных проводить не нужно. Это решение сразу наблюдается при рассмотрении третьей таблицы «проведённых» преобразований.

42

Ответ: Система совместна и определённа, единственное решение имеет вид (2, 2, 3). Рекомендуем исследовать эту систему с помощью теорем 1 и 2. Примерами 37 − 40 продемонстрирован метод Гаусса исследования систем. При этом указаны и способы нахождения решений.

Перейдём к более простым примерам, возможным при тестировании. Если решение не нужно находить, то надо применять теоремы 1 и 2.

Пример 41. Исследовать систему

с двумя переменными (x, y и т.д. – обычное обозначение переменных в заданиях при тестировании с небольшим числом неизвестных).

Решение. Выпишем обе матрицы данной системы:

Миноры второго порядка есть миноры высшего порядка этих матриц. Для обеих матриц можно рассмотреть минор

который отличен от нуля. Тогда r (А) = 2 и r () = 2. По теореме Кронекера − Капелли делаем вывод, что система совместна. Так как n = 2, то выполняется условие r = n. Следовательно, по теореме 2 решение единственно. Его легко найти каким-нибудь из методов исключения неизвестных (такие приёмы рассматривались в средней школе). В дальнейшем будут указаны и другие методы. Рекомендуем сразу применить к этой системе уже изложенный метод Гаусса.

Ответ: Система совместна и определённа, т.е. решение только одно.

Пример 42. Исследовать систему

Решение. Матрица А и расширенная матрица этой системы таковы:

Минорами высшего порядка этих матриц являются миноры второго порядка. Единственный минор второго порядка матрицы А есть минор, который равен нулю

следовательно, r(A)2. Так как имеются её миноры первого порядка,

отличные от нуля, то r (A) = 1. У матрицы имеются миноры второго порядка,

43

r(A) r (, то по теореме Кронекера − Капелли данная система противоречива. Ответ: Система противоречива (решений нет).

Пример 43. Исследовать систему

Решение. Очевидно, что минорами высшего порядка обеих матриц А и являются миноры второго порядка. У них есть общий минор

отличный от нуля. Следовательно, по определению ранга имеем, что r(A) = 2 и r ( = 2; тогда по теореме 1 эта система совместна. Так как число неизвестных системы равно трём (n = 3), то r n. По теореме 2 система неопределённа.

Ответ: Система совместна и неопределённа (имеет бесконечное множество решений).

Пример 44. Выяснить, при каком числе система линейных уравнений

несовместна.

Решение. Расширенная матрица системы имеет вид

Слева (до вертикальной черты) выписана матрица А системы. Вычислим минор второго (высшего) порядка расширенной матрицы, не содержащий элемент :

По определению ранга r ( = 2. Тогда по теореме Кронекера − Капелли для несовместности системы ранг матрицы А должен быть равен единице. Это значит, что

(определитель матрицы А) должен быть равен нулю. Из этого условия

находим :

=2

Отсюда следует, что

Ответ: При система не имеет решений.

44

Пример 45. Выяснить, при каком однородная система

имеет ненулевые (нетривиальные) решения.

Решение. Однородная система совместных уравнений всегда совместна, так как она имеет нулевое (тривиальные) решение. В данном примере таким решением будет двумерный вектор (0,0). Для существования ненулевых решений необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (если , то нулевое решение

Предлагаем читателю показать, как можно получать все частные решения данной системы.

Ответ: При система имеет бесконечное множество ненулевых решений.

Пример 46. Требуется систему линейных уравнений

записать в матричном виде и указать матрицы этого вида.

Решение. Матричная запись системы линейных уравнений имеет вид

A =B,

где А − матрица из коэффициентов при неизвестных; В – матрица − столбец из правых частей системы, а X – матрица − столбец из неизвестных. Ясно, что в этом примере

Решение. Матрица-столбец системы A = B с квадратной матрицей А находится по формуле . Таким образом, надо найти матрицу , т.е. произведение матриц на матрицу В. Согласно данным задачи и правил из умножения матриц получим

как вектор имеет вид

45