Материал: 5720

Решение. Решением линейной системы алгебраических уравнений с неизвестными называется такая упорядоченная совокупность из n чисел , что каждое из уравнений системы обращается в тождество после замены неизвестных соответствующими числами . Вектор ( ), координатами которого

является n-мерным вектором. Его можно рассматривать, как матрицу – строку

решениями могут быть только трехмерные векторы. Ответы 2) и 4) отпадают, т.к. один вектор является двумерным, а второй – четырёхмерным. Остаётся проверить векторы 1)

и 3).

При подстановке координат первого вектора (1; –2; 5) в первое уравнение системы получится тождество 3 = 3, а при их подстановке во второе и третье уравнения системы получаются противоречивые равенства. Таким образом, вектор (1; –2; 5) не есть

Следовательно, решением системы является вектор (2;−2; 3).

Ответ: Вектор 3), т.е. вектор (2; –2; 3).

Замечание. Важнейшей задачей линейной алгебры является исследование систем линейных алгебраических уравнений. (см.[2, 6, 8, 10]).

Она состоит в том, чтобы установить, совместна система или нет, а в случае совместимости указать число решений и методы их нахождения.

При это возможна одна из следующих ситуаций:

1)система несовместна или противоречива, т.е. решений нет;

2)система совместна и определена, т.е. имеет единственное решение;

3)система совместна, но является неопределенной, т.е. имеет бесчисленное множество решений.

Исследование на совместность можно провести двумя способами:

36

1)методом последовательного исключения неизвестных (методом Гаусса) или методом полного исключения неизвестных (методом Гаусса-Жордана);

2)методом сравнения рангов матрицы системы и её расширенной матрицы.

При методе Гаусса применяются элементарные преобразования системы. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются

следующие преобразования:

1)перестановка местами любых двух уравнений системы;

2)умножение любого уравнения системы на отличное от нуля число;

3)прибавление к любому уравнению системы всякого её другого уравнения, умноженного на некоторое число.

Отметим следующее. Преобразование третьего вида применялось при вычислении определителей методом Гаусса. Элементарным преобразованиями системы линейных уравнений соответствуют элементарные преобразования строк расширенной матрицы этой системы. Элементарные преобразования матриц (к ним относятся ещё аналогичные преобразования над столбцами матрицы) применялись в примере 33 при вычислении рангов матриц.

Справедлива теорема: при элементарных преобразованиях система линейных уравнений переходит в равносильную ей систему.

Напомним, что две системы линейных алгебраических уравнений с одними и теми же неизвестными называются равносильными (эквивалентными), если они либо обе несовместны, либо обе совместны и обладают одними и теми же решениями.

При элементарных преобразованиях с системой в новой системе может появиться

система. При свободном члене b = 0 такие уравнения из системы исключаются (в новой системе будет меньше уравнений).

С помощью элементарных преобразований (методом Гаусса) исходную систему можно привести к треугольному или трапецеидальному виду (возможно, после перестановки местами некоторых уравнений или (и) соответствующей перенумерации неизвестных (см. примеры в [6, 8]).

В случае треугольного вида новой системы решение будет только одно, а в случае трапецеидального вида − бесчисленное множество.

При исследовании систем с помощью ранга применяются следующие теоремы (критерии совместности и определенности системы).

Теорема 1 (Кронекера − Капелли). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда выполняется равенство

.

Последнее равенство означает, что ранг матрицы А системы равен рангу расширенной

В последнем случае система противоречива.

утверждения:

1.Если r = n, то система имеет единственное решение (определена).

2.Если r n, то система имеет бесчисленное множество решений.

Теоремы 1 и 2 позволяют исследовать систему. Само же решение таким путём не получим.

Проиллюстрируем примерами все положения и выводы этого замечания.

Пример 36. Выяснить, является ли совместной система линейных уравнений с тремя переменными, если при её исследовании методом Гаусса получилось уравнение

.

Решение. Полученное уравнение противоречиво, т.к. при любом наборе неизвестных его левая часть обращается в нуль, а правая часть нулю не равна. Преобразованная система будет противоречивой и по равносильности систем заключаем, что и исходная система противоречива.

Ответ: система противоречива (решение нет).

Пример 37. Исследовать систему которая с помощью метода Гаусса привилась к виду

Решение. Переставив в этой системе местами второе и третье уравнения, получим следующую систему треугольного вида:

Последняя система имеет только одно решение, которое находится обратным ходом

Единственное решение системы можно записать в виде (−3; 4; −2), т.е. в виде трёхмерного вектора.

Ответ: Единственное решение таково: ( 3; 4; 2).

Сделаем замечание к примеру. Расширенная матрица полученной треугольной системы имеет вид

38

.

Матрица А системы (её элементы расположены левее вертикальной черты) является треугольной. Тогда ∆(А) = 2∙4∙(−5) = −40 0. Единственный минор третьего (высшего) порядка этой матрицы совпадает с её определителем: . Следовательно, r(A). Этот же минор будет одним из четырёх миноров третьего (высшего) порядка матрицы . Тогда r( = 3. Получилось, что r(A) = r(. Выполнено условие по теореме Кронекера − Капелли, система совместна. Число n неизвестных системы также равно трём, т.е. r = n. Из приведённой в замечании теоремы 2 вытекает, что решение треугольной системы единственно. Решение используемой исходной системы также будет единственным. Исследование проведено, но оно само таким путём не получено. Метод же Гаусса позволяет не только исследовать систему, но и получить её решения.

Пример 38. Исследовать методом Гаусса систему

с тремя уравнениями и четырьмя неизвестными.

Решение. Заполняем таблицу Гаусса и проводим итерации (этапы, шаги).

За разрешающий элемент взяли элемент , отмеченный в исходной таблице. Первая (разрешающая) строка в новую таблицу переносится без изменений. Разрешающий первый столбец преобразуется. В первом столбце новой таблицы разрешающий элемент сохраняется, а остальные элементы заполняются нулями. Это означает, что в последующих после первого уравнениях преобразованной системы исключена переменная x1. Остальные элементы второй таблицы вычислялись по правилу прямоугольника, уже применявшемся при вычислении определителей методом Гаусса и при нахождении рангов матриц методом элементарных преобразований (см.

примеры 24, 25, 33).

Выполнена только одна итерация, и уже можно сделать вывод. Из второй таблицы видно, что третье уравнение преобразованной системы имеет вид

.

39

Оно возможно при любых значениях этих четырёх неизвестных и его надо исключить из системы. Останется следующая система из двух уравнений:

которая имеет трапецеидальный вид. Следовательно, эта и исходная системы имеют бесконечное множество решений.

Покажем ещё, как найти все решения системы. Для этого в последней системе из двух уравнений члены с неизвестными и перенесём в первую часть системы; получим

Из второго уравнения этой системы переменная выразится через и . Это выражение для подставим в первое уравнение и после этого найдём, как выражается через и . В результате таких действий имеем

Это получено так называемое общее решение системы. Из него можно получить любые частные решения из бесконечного множества решений. Для этого каждый раз свободным (параметрическим) переменным и надо придать произвольные, но фиксированные значения. После этого найдутся свои конкретные значения основных (базисных) неизвестных Например, если , , то из системы получим

,

В этом случае частное решения таково: (; − ; 0; 0). Последнее есть так называемое

базисное решение системы.

Ответ: Система совместна и неопределенна, т.е. имеет бесконечное множество решений.

Рекомендуем провести исследование системы из примера 38 с помощью теорем 1 и 2. Для этого проще всего обратиться к полученной при решении этого примера таблице, провести сравнение рангов матриц системы, сравнить ранг с числом неизвестных (при условии совместности системы). Напоминаем, что ответ должен получиться прежним.

Пример 39. Исследовать методом Гаусса систему уравнений.

40