Материал: 5720

Решение. Если , то существует единственная обратная матрица в матрице A, которая имеет вид

Заметим, что алгебраические дополнения строк матрицы А являются её обратной матрицей. Вычислим определитель матрицы А:

.

В этих равенствах участвовали определители первого порядка, которые равны самим элементам символ означает определитель матрицы , а не модуль числа ). Согласно указанной формуле имеем

Легко проверить, что равенство выполняется. Например,

Ответ: .

Пример 31. Опираясь на определение ранга матрицы с помощь понятия её миноров, найти ранги следующих матриц:

Решение. Определитель k-го порядка, составленный из элементов матрицы А размерности расположенных на пересечении любых выделенных k строк и k столбцов, называется минором k-го порядка этой матрицы и обозначается .

31

Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров, порождённых этой матрицей.

Ранг нулевой матрицы любо размерности, по определению, полагается равным нулю.

Ранг матрицы А обозначается или просто r. Из сказанного ранее следует, что ранг любой ненулевой матрицы удовлетворяет неравенством

Только нулевая матрица имеет ранг, равный нулю.

Все матрицы этого примера не являются нулевыми. Поэтому их ранги удовлетворяют неравенству Минорами высшего порядка первых двух матриц являются миноры второго порядка. Поэтому их ранги удовлетворяют неравенству Следовательно, ранги этих матриц равны либо единице, либо двум.

матрицы имеют по три минора второго порядка. У матрицы они таковы:

Так как имеются отличные от нуля миноры второго (высшего) порядка, отличные от нуля, то . У матрицы миноры второго порядка таковы:

т.е. все равны нулю. Тогда и её ранг либо 0, либо 1. Так как она ненулевая, то

Минорами высшего порядка матриц и являются миноры третьего порядка. Тогда ранги этих матриц удовлетворяют неравенству Единственный минор третьего порядка матрицы

Тогда нужно обратиться к минорам второго порядка этой матрицы. Например, её

невырожденная). Это утверждение состоит из прямого и обратного. Оно очевидно образом следует из определения ранга матрицы. Тогда справедливы и утверждения:

простыми утверждениями. Этим замечанием можно было воспользоваться при

утверждение было сделано на основании определения ранга матрицы.

Пример 32. Найти ранги квадратных матриц

Решение. Очевидно, что ,

Согласно замечанию .

Ответы: .

Пример 33. Найти ранги матриц

с помощью элементарных преобразований.

33

Решение. По поводу определения элементарных преобразований матрицы надо обратиться, например, к [6, 8, 10].

Справедлива теорема: при элементарных преобразованиях матрицы её ранг не изменяется.

Матрицы, полученные одна из другой с помощью элементарных преобразований, называются эквивалентными. Эквивалентность двух матриц А и В записывают так: . Эквивалентные матрицы имеют равные ранги.

На элементарных преобразованиях основан способ вычисления ранга матрицы. Именно данную матрицу преобразуют к эквивалентной, у которой без труда можно заметить так называемый ранговый минор . Обычно, отбрасывая нулевые строки и столбцы, матрицу приводят к трапецеидальной или треугольной форме. Этот способ особенно полезен в случае больших размерностей матриц. Преобразования над матрицей будут напоминать действия, проводившиеся при вычислении определителей методом Гаусса (см. примеры 24, 25). При этом будет применяться упоминавшееся там правило прямоугольника для пересчёта элементов.

В результате действий над матрицей А получим следующие эквивалентности:

Матрица преобразовалась к эквивалентной матрице трапецеидальной формы размерности . За ранговый минор последней матрицы можно взять минор

, отличный от нуля. Следовательно, её ранг равен двум, тогда и

( в силу теоремы о сохранении ранга при элементарных преобразованиях). Проведём элементраные преобразования над матрицей В:

Очевидно, что последняя матрица имеет треугольную форму. Её единственный минор высшего (четвёртого) порядка

отличен от нуля. Ранг этой матрицы равен четырём. Тогда .

Ответы: , .

34

Пример 34. Выяснить, какая из матриц

является расширенной матрицей соответствующей из систем

линейных алгебраических уравнений.

Решение. Если линейная система имеет вид

матрицей системы, а матрица =

называется расширенной матрицей этой системы. Матрица по сравнению с А имеет один дополнительный столбец, элементами которого являются правые части системы.

Расширенная матрица имеет размерность .

Согласно сказанному, системе 1) соответствует её расширенная матрица

,

которая в условии примера выписана под номером 2).

Очевидно, что у система 2) расширенной матрицей является матрица под номером 4). Выписанные матрицы 1) и 3) к данным системам не имеют никакого отношения.

Ответы: Системе 1) соответствует её расширенная матрица под номером 2), а системе 2) – матрица под номером 4).

Пример 35. Установить, какой из векторов

1) (1, –2, 5), 2) (2,4), 3) (2, –2, 3), 4) (–2, 1, 3, 5)

является решением системы

линейных алгебраических уравнений.

35