Материал: Д6768 Аналитическое описание процессаинестационарной теплопроводности

ходимо при точной формулировке задачи теплопроводности применять граничные условия четвертого рода.

Дифференциальное уравнение теплопроводности совместно с начальными и граничными условиями (краевая задача теплопроводности) полностью определяют задачу, т. е. зная геометрическую форму тела, начальные и граничные условия, можно дифференциальное уравнение решить до конца и, следовательно, найти поле температур в теле, – функцию распределения температуры в любой момент времени t(x, y, z, .

Функция t(x, y, z, должна удовлетворять дифференциально-

му уравнению (при ее подстановке вместо t в дифференциальное уравнение теплопроводности последнее должно обращаться в тождество), а также начальному и граничным условиям.

В курсе математической физики доказывается теорема единственности решения, из которой следует, что если некоторая функция t(x, y, z, удовлетворяет дифференциальному уравнению теплопро-

водности, начальным и граничным условиям, то она является един-

ственным решением данной задачи.

Ввиду сложности изучаемых явлений решить аналитически дифференциальные уравнения в частных производных современными математическими методами чаще всего бывает очень трудно, а иногда и невозможно. Однако существует много методов решения, пригодных для практического использования.

При решении ряда технических задач используются численные, приближенные, а также экспериментальные методы решения задач нестационарной теплопроводности, основанные на аналогии между теплопроводностью и движением вязкой жидкости (метод гидротепловой аналогии), между тепловыми и электрическими явлениями (метод электротепловой аналогии). Преимущество данных методов состоит в том, что их можно применять для тел любой формы и при любых граничных условиях. Решения нестационарных задач для разнообразных условий можно найти в специальной литературе.

16

4. НАХОЖДЕНИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МЕТОДОМ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ

Пристальное, глубокое изучение природы есть источник самых плодотворных открытий математики

Фурье Ж.Б.Ж.

В предыдущем разделе было выведено дифференциальное уравнение теплопроводности, которое устанавливает зависимость между температурой, временем и координатами тела для бесконечно малого объема. Это уравнение является линейным, однородным дифференциальным уравнением второго порядка с частными производными.

Исследованию и методам решения классического уравнения (7) в математической физике, как указывалось выше, посвящено большое количество работ.

Рассмотрим задачу, относящуюся к процессам, в которых тело стремится к тепловому равновесию, например охлаждение нагретого до положительной температуры стержня, помещенного в воду температурой, равной 0 °С. Для получения аналитического решения данной задачи применим метод разделения переменных – один из старейших методов решения смешанных краевых задач (с граничными условиями первого, второго и третьего рода).

Метод разделения переменных был создан во времена Фурье (обычно он называется методом Фурье) и в настоящее время является наиболее применяемым. Он может быть использован при выполнении следующих условий:

1)уравнение является линейным и однородным (не обязательно с постоянными коэффициентами);

2)граничные условия для одномерного уравнения заданы в виде

де, называются линейными однородными граничными условиями), –

толщина неограниченной пластины или длина стержня.

17

Рассмотрим применение метода Фурье для решения частной задачи на охлаждение тела определѐнной геометрической формы.

Требуется найти решение уравнения теплопроводности для тонкого (это значит, что температура всех точек в каждом поперечном сечении тела одинакова) однородного теплопроводящего стержня

удовлетворяющее граничным условиям первого рода и начальному условию

где – непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную,

обращающуюся в ноль при х = 0 и х = (рис. 3):

т. е. рассматривается идеально тонкий с теплоизолированной боковой поверхностью стержень конечной длины , расположенный вдоль оси абсцисс, на концах которого с абсциссами 0 и поддерживается постоянная нулевая температура t = 0 (тепловой сток); t(x, 0) = φ(x) – начальная температура.

Рис. 3. Схематическое изображение задачи теплопроводности

Замечание. С математической точки зрения задача теплопроводности для тонкого стержня тождественна задаче для неограниченной пластины).

18

Очевидно, что стационарная температура, т. е. t(x, τ) при τ, стремящемся к , равна нулю.

Рассмотрим физический смысл поставленной задачи. Итак, имеется стержень конечной длины, концы которого поддерживаются при постоянной, равной нулю, температуре (на самом деле концы могут поддерживаться при любой температуре, значение которой принимается за начало отсчета). Цель – найти распределение температуры t(x, τ) в последующие моменты времени.

Для простейшего уравнения (7) с частными производными

где X(x) – функция, зависящая только от переменной x, а T(τ) – функция, зависящая только от τ. Данное решение является простейшим, поскольку температура t(x, τ), представленная в таком виде, будет сохранять «форму» профиля в различные моменты времени τ (рис. 4).

Рис. 4. График функции X(x)T(τ) в разные моменты времени τ

Общая идея заключается в том, чтобы найти бесконечное число таких решений уравнения с частными производными, которые удовлетворяют граничным условиям. Эти простейшие функции tn(x, τ) = = Xn(x)Tn(τ), называемые фундаментальными решениями, являются как бы элементарными кирпичиками, из которых строится решение поставленной задачи. Решение задачи t(x, τ) находится в виде такой линейной комбинации фундаментальных решений Xn(x)Tn(τ), что ре-

условиям. Поскольку эта сумма удовлетворяет уравнению и граничным условиям, она является решением исходной задачи. Рассмотрим эти выкладки подробно.

19

Теперь выполним операцию, присущую данному методу: разделим обе части формулы (22) на aX(x)T(τ), в результате чего получим

В полученном выражении переменные разделены, т. е. левая часть уравнения зависит только от τ, а правая часть – только от х. Так как х и τ не зависят один от другого, каждая часть этого уравнения должна быть постоянной величиной. Обозначим данную константу ε и перепишем соотношение (23):

Нетривиальное решение (т. е. отличное от нуля) для функции X(x)T(ε) получается не при всех значениях ε, а только при ε < 0. Так

как ε пока произвольная постоянная по численному значению, то полагаем ε = –k2.

Подставляя это значение для ε, получаем:

Соотношения (24) и (25) справедливы для всех х на отрезке [0, l] и всех τ > 0 с учетом того, что X и T не равны тождественно нулю.

Постоянная k определяется из граничных условий. Из физических соображений следует, что для тепловых процессов, стремящихся к тепловому равновесию, –k2 может быть только отрицательным числом.

20