Материал: Д6768 Аналитическое описание процессаинестационарной теплопроводности

Заметим, что мы существенно упростили исходное уравнение с частными производными второго порядка, превратив его в два обыкновенных дифференциальных уравнения, которые легко интегрируются.

Решением уравнения (24) является функция T( , а

(постоянная С1 вошла в С2 и С3).

Выражение (26) удовлетворяет исходному уравнению (17) при любых значениях С2, С3, k.

Чтобы выражение (26) было решением поставленной задачи, его нужно подчинить начальному и граничным условиям.

Подставим решение (26) в граничные условия (19) и (20). В результате получаем

Второе граничное условие накладывает ограничение на возможные значения константы k, а именно: kl должно быть корнем уравнения sin(kl) = 0. Другими словами, чтобы удовлетворить t(l, , необходимо потребовать выполнения соотношений

где n N.

21

(характеристическими или фундаментальными числами задачи), а

Само уравнение sin называется характеристическим.

Итак, мы располагаем бесконечным набором функций

каждая из которых удовлетворяет уравнению с частными производными и граничным условиям (функции tn и t–n отличаются только знаком).

Полученные функции и являются теми «кирпичиками», из которых будет построено решение поставленной задачи. Данное решение представляет собой сумму фундаментальных решений:

Теперь необходимо подобрать такие значения коэффициентов Cn, что функция будет удовлетворять начальному условию

Подстановка суммы в начальное условие приводит к соотноше-

нию

. (32)

n 1

Данное уравнение вызывает вопрос: можно ли начальную функцию φ(х) разложить в ряд по элементарным функциям вида

22

Положительный ответ на этот вопрос дал французский математик Жозеф Фурье. Оказалось, что для достаточно хороших функций такое разложение возможно. Ряд в формуле (32) называется ря-

дом Фурье.

Достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье требуют, чтобы функция φ(х) удовлетворяла условиям Дирихле: функция

вопределенном интервале должна быть:

–однозначной, конечной и интегрируемой;

–иметь конечное число максимумов и минимумов;

–иметь конечное число точек разрыва непрерывности, в этом случае коэффициенты Фурье an и bn общего ряда Фурье

a

n 1

находятся по формулам Эйлера:

Данные интегралы легко вычисляются.

Таким образом, после вычисления по формулам Эйлера коэффициентов Фурье Cn в выражении (32) получим окончательное решение поставленной задачи в виде

где .

Полученное решение (34) удовлетворяет всем условиям исходной задачи. Выполнение граничных условий очевидно. Для проверки

23

выполнимости начального условия рассмотрим частный случай (20), а именно, пусть начальная температура тела – постоянная величина t0:

После вычисления интеграла в решении (34), в котором теперь

, окончательно получим

Из теории рядов известны следующие значения тригонометрических рядов:

Из уравнения (35) при использовании полученных значений следует выполнение условия (20′).

5. ОХЛАЖДЕНИЕ ПЛАСТИНЫ

Рассмотрим задачу об охлаждении однородной пластины толщиной l 2R с начальным распределением температуры по толщине неограниченной пластины в виде некоторой функции f(x). В начальный момент времени ограничивающие поверхности мгновенно охлаждаются до некоторой температуры среды tc, которая поддерживается постоянной на протяжении всего процесса охлаждения. Требуется найти распределение температуры по толщине пластины в любой момент времени, т. е. температурное поле.

Поместим начало координат в середину пластины, здесь R – половина толщины пластины.

24

Условия задачи математически может быть сформулировано следующим образом.

Требуется решить дифференциальное уравнение в частных про-

Предположим, что функция f(x) четная, т. е. f(x) = f(–x), тогда

.

Для этого случая граничные условия можно написать так:

. (39′)

Последнее условие соблюдается вследствие симметричности температурного поля. Условия (38′) – (39′) – смешанные граничные условия – первого и второго рода.

Задача (36)–(38), (39′) может быть приведена к более простой задаче – с нулевыми значениями температуры на обеих поверхностях пластины – с помощью подстановки

25