Материал: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.2.2003
ðàòíîé ñâÿçè, åñëè
k
> 1. Åñëè
k
< 1, òî ñèñòåìà ñîõðàíÿåò óñòîé÷èâîñòü è ïðè
ïîëîæèòåëüíîé îáðàòíîé ñâÿçè.
4.
Çíàìåíàòåëü ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè
¢
=
+
+
+
+ +
K p
a p
a p
k
a p
a p
k
( ) (
)
0
2
1
0
2
1
1
1
ñèñòåìû èìååò
êîðíè
p
a
a
a
k
a
1 2
1
1
2
0
0
4
1
2
,
(
)
=
- ±
-
+
, êîòîðûå ïðè ëþ-
áûõ ïàðàìåòðàõ ñèñòåìû îòðèöàòåëüíû ëèáî èìåþò
îòðèöàòåëüíûå âåùåñòâåííûå ÷àñòè. Ïîýòîìó ñèñ-
òåìà íå ìîæåò áûòü íåóñòîé÷èâîé.
Ãîäîãðàô
K j
k
a j
a j
1
0
2
1
1
( )
( )
w
w
w
=
+
+
àìïëèòóäíî-
ôàçîâîé ÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêè ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè
K
1
(
p
)
=
kW
(
p
) ñèñ-
òåìû ñ ðàçîìêíóòîé öåïüþ îáðàòíîé ñâÿçè (ðèñ. P14.9), ïðîõîäÿ ïðè óâåëè÷å-
íèè ÷àñòîòû ïîñëåäîâàòåëüíî ÷åðåç äâà êâàäðàíòà ïëîñêîñòè, íå ïåðåñåêàåò îñü
Re
K
(
j
w
) < 0, ÷òî îçíà÷àåò íåâîçìîæíîñòü âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ
a =
–180
°
, ïðè
êîòîðîì îòðèöàòåëüíàÿ îáðàòíàÿ ñâÿçü ñòàíîâèòñÿ ïîëîæèòåëüíîé è ñèñòåìà
ìîæåò ñòàòü íåóñòîé÷èâîé. Òàêîé æå îòâåò ïîëó÷àåì ïðè èñïîëüçîâàíèè êðèòå-
ðèÿ Ãóðâèöà. Óñèëèòåëü, îõâà÷åííûé óñòðîéñòâîì îòðèöàòåëüíîé îáðàòíîé ñâÿ-
çè ñ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé
W p
a p
a p
a p
( )
=
+
+
+
1
1
0
3
1
2
2
, ìîæåò áûòü íåóñòîé-
÷èâûì, òàê êàê ãîäîãðàô
K
1
(
j
w
) â ýòîì ñëó÷àå, ïðîõîäÿ ïðè óâåëè÷åíèè ÷àñòîòû
ïîñëåäîâàòåëüíî ÷åðåç òðè êâàäðàíòà ïëîñêîñòè, ïåðåñåêàåò îñü Re
K
(
j
w
) < 0.
5.
Çàïèñûâàÿ ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ ñèñòåìû
K
k
Tp
k
1
1
=
+ +
-
(
)
a b
, íàõîäèì, ÷òî
óñèëèòåëü ñòàíîâèòñÿ óñòîé÷èâûì ïðè
a
>
b
– 1
k
.
6.
Èñêîìîå ñîîòíîøåíèå ìîæåì íàéòè, àíàëèçèðóÿ çàâèñèìîñòü êîðíåé ïîëèíî-
ìà çíàìåíàòåëÿ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè îò ïàðàìåòðîâ ýëåìåíòîâ öåïè è êîýô-
ôèöèåíòà óñèëåíèÿ
k
óñèëèòåëÿ. Åñëè ïðè íåêîòîðûõ ñîîòíîøåíèÿõ ïàðàìåòðîâ
õîòÿ áû îäèí èç êîðíåé ïîëèíîìà çíàìåíàòåëÿ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè ñòàíî-
âèòñÿ ïîëîæèòåëüíûì (ëèáî âåùåñòâåííàÿ ÷àñòü êîðíÿ ñòàíîâèòñÿ ïîëîæèòåëü-
íîé), òî ñèñòåìà áóäåò íåóñòîé÷èâîé.
Ïîäñòàâëÿÿ â âûðàæåíèå
K p
kZ p
Z p
Z p
kZ p
( )
( )
( )
( )
( )
=
+
-
2
1
2
1
(ñì. ðåøåíèå óïð. 5,
§13.5) âåëè÷èíû
Z
1
(
p
)
=
r
,
Z
2
(
p
)
=
1
Cp
, ïîëó÷àåì
K p
k
k rCp
( )
(
)
=
-
+
1
1
. Ïðè
k
> 0,
êîãäà óñèëèòåëü íå èçìåíÿåò çíàêà ïîäàâàåìîãî íà åãî âõîä íàïðÿæåíèÿ, öåïü
óñòîé÷èâà, åñëè 1 –
k
> 0, ò. å. ïðè
k
< 1.
7.
Àíàëèçèðóÿ êîðíè ïîëèíîìà çíàìåíàòåëÿ
T
1
T
2
p
2
+ (
T
1
+
T
2
+
C
2
r
1
)
p
+ (1 –
k
)
ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè öåïè âàðèàíòà
ã
, ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî öåïü áóäåò
óñòîé÷èâîé ïðè óñëîâèè 1 –
k
> 0, ò. å. ïðè
k
< 1. Äëÿ öåïè âàðèàíòà
ä
óñëîâèå
óñòîé÷èâîñòè òàêæå èìååò âèä
k
< 1.
538
Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷
Ðèñ. P14.9
8.
Çàìåíèì â óðàâíåíèè
b p
b p
b
0
6
1
5
6
0
+
+ +
=
K
ïåðåìåííóþ
ð
íà 1
p
*
:
b
p
b
p
b
0
6
1
5
6
1
1
0
( )
( )
*
*
+
+ +
=
K
.
Óìíîæèâ îáå ÷àñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ íà ( )
*
p
6
, ïîëó÷èì óðàâíåíèå
b p
b p
b
6
6
5
5
0
0
( )
( )
*
*
+
+ +
=
K
,
ñîâïàäàþùåå ñ èñõîäíûì óðàâíåíèåì óñòîé÷èâîé ñèñòåìû. Òàê êàê êîðíè
l
i
è
b
i
ýòèõ óðàâíåíèé ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì
b
l
i
i
=
1 , òî ñèñòåìà ñ õàðàêòåðèñòè÷å-
ñêèì óðàâíåíèåì
b p
b p
b
0
6
1
5
6
0
+
+ +
=
K
óñòîé÷èâà.
9.
Ìèíîðû ìàòðèöû Ãóðâèöà
3 1 0 0 0
1 2 3 1 0
1 4 1 2 3
0 0 1 4 1
0 0 0 0 1
äëÿ óñëîâèé âàðèàíòà
ã
ðàâíû:
D
1
=
3 > 0,
D
2
=
3 1
1 2
=
5 > 0,
D
3
=
3 1 0
1 2 3
1 4 1
=
– 31 < 0.
Ñëåäîâàòåëüíî, ñèñòåìà íåóñòîé÷èâà.
Ìàòðèöà Ãóðâèöà äëÿ âàðèàíòà
å
òàêîâà
3 1 0 0 0
1 0 3 1 0
1 4 1 0 3
0 0 1 4 1
0 0 0 0 1
.
Èìååì
D
1
> 0,
D
2
=
3 1
1 0
< 0, è ñëåäîâàòåëüíî, ñèñòåìà íåóñòîé÷èâà.
10.
Äëÿ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè âàðèàíòà
ã
óïð. 5, § 13.5 (çíàìåíàòåëü ïåðåäàòî÷íîé
ôóíêöèè
T
1
T
2
p
2
+ (
T
1
+
T
2
+
C
2
r
1
)
p
+ 1 –
k
) óñëîâèå ïîëîæèòåëüíîñòè ìèíîðîâ
ìàòðèöû Ãóðâèöà
T
T
C r T T
k
1
2
2 1
1 2
0
1
+
+
-
ïðèâîäèò ê íåðàâåíñòâàì
D
1
=
T
1
+
T
2
+
C
2
r
1
> 0,
D
2
=
(
T
1
+
T
2
+
C
2
r
1
)(1 –
k
) > 0,
èç êîòîðûõ ñëåäóåò óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè:
k
< 1.
Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷
539
Ïî âûðàæåíèþ çíàìåíàòåëÿ (1 –
k
)
T
1
T
2
p
2
+ [(1 –
k
)(
T
1
+
T
2
) +
C
1
r
2
]
p
+ 1 –
k
ïå-
ðåäàòî÷íîé ôóíêöèè ýëåêòðè÷åñêîé öåïè âàðèàíòà
ä
óïð. 5, §13.5, ñòðîèì ìàòðè-
öó Ãóðâèöà
(
)(
)
(
)
1
1
0
1
1
2
1 2
1 2
-
+
+
-
-
k T
T
C r
T T
k
k
è çàïèñûâàåì íåðàâåíñòâà, ïðè âûïîëíåíèè êîòîðûõ öåïü óñòîé÷èâà:
T
1
T
2
(1 –
k
) > 0,
D
1
=
(1 –
k
)(
T
1
+
T
2
) +
C
1
r
2
> 0,
D
2
= D
1
(1 –
k
) > 0. Èç íèõ ñëåäóåò
óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè:
k
< 1.
11.
Óñòîé÷èâûìè áóäóò ñèñòåìû ñ ãîäîãðàôàìè 1 è 2. Ñèñòåìà ñ ãîäîãðàôîì 3
ïðè çàìûêàíèè îáðàòíîé ñâÿçè áóäåò íåóñòîé÷èâîé, òàê êàê ïðè
a =
–
p
(
w = w
0
)
êîýôôèöèåíò ïåðåäà÷è ïðåâûøàåò çíà÷åíèå 1, â ðåçóëüòàòå ÷åãî âûïîëíÿþòñÿ
óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ñèñòåìà òåðÿåò óñòîé÷èâîñòü.
12.
Ïðè çàìûêàíèè öåïè îáðàòíîé ñâÿçè ñèñòåìà ñ õàðàêòåðèñòèêîé 1 áóäåò íå-
óñòîé÷èâîé, à ñèñòåìà ñ õàðàêòåðèñòèêîé 2 — óñòîé÷èâîé. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè
÷àñòîòå
w
1
ñèãíàëà óãîë
a
ñäâèãà ïî ôàçå ìåæäó ñèãíàëîì íà âõîäå îñíîâíîé
öåïè è ñèãíàëîì íà âûõîäå öåïè îáðàòíîé ñâÿçè â ðàçîìêíóòîé ñèñòåìå ñîñòàâ-
ëÿåò –
p
è âåëè÷èíà
K
(
w
1
) ïðåâûøàåò 1. Ïîýòîìó ïðè çàìûêàíèè öåïè îáðàòíîé
ñâÿçè ïðè
w = w
1
öåïü íåóñòîé÷èâà.
Ñèñòåìà ñ õàðàêòåðèñòèêîé 2 áóäåò óñòîé÷èâîé ïðè çàìûêàíèè öåïè îáðàòíîé
ñâÿçè, òàê êàê ïðè
w = w
2
, êîãäà
a =
–
p
, èìååì
K
(
w
2
) < 1
, (20 lg
K
(
w
2
) < 0).
15.1. Ñèíòåç äâóõïîëþñíèêîâ
ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß
1.
Âàðèàíò
à
— êîýôèöèåíò 2+
j
ïðè îïåðàòîðå
p
ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíûì; âàðèàí-
òû
á
è
â
— îäèí èç êîýôôèöèåíòîâ ïîëèíîìà ÷èñëèòåëÿ îòðèöàòåëüíûé; âàðè-
àíò
ã
— ñòåïåíü ïîëèíîìà çíàìåíàòåëÿ ïðåâûøàåò ñòåïåíü ïîëèíîìà ÷èñëèòåëÿ
íà äâà.
2.
Ñõåìû ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé èçîáðàæåíû íà ðèñ. P15.1.
3.
Ñõåìû ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé èçîáðàæåíû íà ðèñ. P15.2.
540
Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷
Ðèñ. P15.1
15.2. Ñèíòåç ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ
ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß
1.
à
)
K p
Z
p
Z
p
( )
( )
( )
=
22
12
;
á
)
K p
Z
p
Z p
( )
( )
( )
=
21
11
.
2.
Òàê êàê
U
1
(
p
)
=
Z
12
(
p
)
U p
r
2
( )
í
, òî
K p
r
Z
p
( )
( )
=
í
12
.
3.
Èìååì:
à
)
Z
21(+)
(
p
)
=
1
6
p
,
Z
21(–)
(
p
)
=
p
p
2
1
2
+
;
á
)
Z
21(+)
(
p
)
=
3
2
p
,
Z
21(–)
(
p
)
=
2
8
1
2
p
p
+
;
â
)
Z
21(+)
(
p
)
=
0 5
0 2
2
,
,
p
p
+
,
Z
21(–)
(
p
)
=
0 5
0 5
2
,
,
p
p
+
,
è ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé
Z
1
(
p
)
=
2
Z
21(–)
(
p
),
Z
2
(
p
)
=
2
Z
21(+)
(
p
) íàõîäèì ïàðàìåò-
ðû ýëåìåíòîâ ìîñòîâîé ñõåìû (ðèñ. P15.3).
17.1. Ðàñ÷åò óñòàíîâèâøèõñÿ ðåæèìîâ äëèííîé ëèíèè
ÂÎÏÐÎÑÛ
1.
Âðåìÿ ïðîõîæäåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû îò âõîäíûõ äî îêîíå÷íûõ çà-
æèìîâ âîçäóøíîé ëèíèè ñîñòàâëÿåò
T
=
l
/
v
=
10
–5
c.  òå÷åíèå ýòîãî ïðîìåæóòêà
âðåìåíè ïðè óñëîâèè âàðèàíòà
à
ïðèëîæåííîå ê ëèíèè íàïðÿæåíèå ïðàêòè÷å-
ñêè íå ìåíÿåòñÿ, òàê êàê ïåðèîä åãî èçìåíåíèÿ â 1/
fT
=
2000 ðàç ïðåâûøàåò âðå-
ìÿ
T
. Ïîýòîìó â ýòîì ñëó÷àå âîçäóøíóþ ëèíèþ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ýëåê-
òðè÷åñêóþ öåïü ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ïàðàìåòðàìè.
Îäíàêî ïðè óñëîâèè âàðèàíòà
á
ïåðèîä èçìåíåíèÿ ïðèëîæåííîãî ê ëèíèè íà-
ïðÿæåíèÿ, ñîñòàâëÿþùèé 10
–5
ñ, îêàçûâàåòñÿ ðàâíûì ïðîìåæóòêó âðåìåíè
T
,
è âîçäóøíóþ ëèíèþ ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü êàê ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü ñ ðàñïðåäå-
ëåííûìè ïàðàìåòðàìè.
Äëèòåëüíîñòü äåéñòâèÿ èìïóëüñà íàïðÿæåíèÿ (âàðèàíò
â
), ðàâíàÿ 3
×
10
–6
c, ìåíü-
øå âðåìåíè
T
åãî ïðîõîæäåíèÿ îò âõîäíûõ ê îêîíå÷íûì çàæèìàì ëèíèè, òàê ÷òî
â ýòîì ñëó÷àå âîçäóøíóþ ëèíèþ íåëüçÿ ðàññìàòðèâàòü êàê ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü
ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ïàðàìåòðàìè.
ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß
2.
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
À
-ïàðàìåòðû ÷åòûðåõïîëþñíèêà, ýêâèâàëåíòíîãî äëèííîé îä-
íîðîäíîé ëèíèè, ñóòü
À
=
D
=
ch
g
l
, èç ñîîòíîøåíèÿ ch
G
1
=
AD
(ñì. § 14.1) íà-
õîäèì èñêîìóþ ñâÿçü ìåæäó ìåðîé ïåðåäà÷è ÷åòûðåõïîëþñíèêà è êîýôôèöèåí-
òîì ðàñïðîñòðàíåíèÿ ëèíèè: ch
G
1
=
ch
g
l
, èëè
G
1
= g
l
,
a
1
= a
l
,
b
1
= b
l
.
Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷
541
Ðèñ. P15.3
Ðèñ. P15.2
3.
Íàïðÿæåíèå
&
U
2
è òîê
&
I
2
â òî÷êå ëèíèè ñ êîîðäèíàòîé
õ
2
ìîæíî ðàññ÷èòàòü äëÿ
óñëîâèé ñîîòâåòñòâóþùåãî âàðèàíòà ñ ïîìîùüþ âûðàæåíèé
à
)
&
U
2
=
&
U
1
ch
g
l
–
&
I
1
Z
sh
g
l
;
&
I
2
= -
&
U
Z
1
sh
g
l
+
&
I
1
ch
g
l
;
á
)
&
U
2
=
&
U
1
ch
g
l
+
&
I
1
Z
sh
g
l
;
&
I
2
=
&
U
Z
2
sh
g
l
+
&
I
1
ch
g
l
;
â
)
&
U
2
=
&
U
1
ch
g
l
2
+
&
I
1
Z
sh
g
l
2
;
&
I
2
=
&
U
Z
2
sh
g
l
2
+
&
I
1
ch
g
l
2
;
ã
)
&
U
2
=
&
U
1
ch
g
l
2
–
&
I
1
Z
sh
g
l
2
;
&
I
2
= -
&
U
Z
1
sh
g
l
2
+
&
I
1
ch
g
l
2
;
ä
)
&
U
2
=
&
U
1
ch
g
l
2
+
&
I
1
Z
sh
g
l
2
;
&
I
2
=
&
U
Z
2
sh
g
l
2
+
&
I
1
ch
g
l
2
;
å
)
&
U
2
=
&
U
1
ch
g
l
2
–
&
I
1
Z
sh
g
l
2
;
&
I
2
= -
&
U
Z
2
sh
g
l
2
+
&
I
1
ch
g
l
2
.
6.
Ïðè óñëîâèè
rC
=
gL
âîëíîâîå ñîïðîòèâëåíèå ëèíèè áóäåò àêòèâíûì, ïðè
óñëîâèè
gL
>
rC
— èíäóêòèâíûì, à ïðè óñëîâèè
gL
<
rC
— åìêîñòíûì.
8.
Èñêîìàÿ èíäóêòèâíîñòü ðàâíà
L
=
(
rCl
/
g
)
=
0,04 Ãí.
9.
Íàïðÿæåíèå è òîê ðàñïðåäåëåíû âäîëü êîîðäèíàòû
õ
ëè-
íèè,
îòñ÷èòûâàåìîé
îò
åå
âõîäà,
ïî
çàêîíó
U
(
x
)
=
U
1
exp (–
a
x
),
I
(
x
)
=
I
1
exp (–
a
x
), ãäå êîýôôèöèåíò çà-
òóõàíèÿ
a
ðàâåí
rg
=
-
10
3
êì
–1
. Íà ðèñ. P17.1 ïîêàçàíà çà-
âèñèìîñòü
U
(
x
).
10.
Çâåíî öåïíîé ñõåìû, ýêâèâàëåíòíîå äâóõïðîâîäíîé ëèíèè, èçîáðàæåíî
íà ðèñ. P17.2.
12.
Òàê êàê
r
=
g
=
0, òî, èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå äëÿ ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ
âîëí âäîëü ëèíèè
v
LC
=
1 , ïîëó÷àåì
l v L C
=
ý ý
.
14.
1)
Z
ïð
=
0; 2)
Z
ïð
=
0; 3)
Z
ïð
= ¥
; 4)
Z
ïð
=
0; 5)
Z
ïð
= ¥
;
6)
Z
ïð
= ¥
; 7)
Z
ïð
=
3 –
j
; 8)
Z
ïð
= ¥
; 9)
Z
ïð
=
2 –
j
;
10)
Z
ïð
=
2 +
j
; 11)
Z
ïð
=
–1 + 2
j
; 12)
Z
ïð
=
2 +
j
.
15.
Z
5–6
=
r
,
Z
3–4
=
r
/2,
Z
1–2
=
r
/3.
17.2. Íåèñêàæàþùàÿ äëèííàÿ ëèíèÿ
ÇÀÄÀ×È
1.
Òðåáóåìûé êîýôôèöèåíò óñèëåíèÿ
k
íàïðÿæåíèÿ íàõîäèì èç óñëîâèÿ ðàâåí-
ñòâà íàïðÿæåíèé
u
1
=
u
2
íà âõîäå è âûõîäå ëèíèè, ñâÿçàííûõ ñîîòíîøåíèåì
u
2
=
ku
1
exp (–
a
l
),
k
=
exp (
a
l
)
=
1,105.
542
Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷
Ðèñ. P17.1
Ðèñ. P17.2