Материал: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.2.2003
óñëîâèå |
|
1
1
+
<
l
h
íå ìîæåò áûòü äîñòèãíóòî íè ïðè êàêîì çíà÷åíèè
h
> 0, ò. å.
óñòîé÷èâîìó ðåøåíèþ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (***) íå ñîîòâåòñòâóåò êà-
êîå-ëèáî óñòîé÷èâîå ðåøåíèå ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ ÿâíîãî
ìåòîäà Ýéëåðà. Ïîýòîìó ÿâíûé ìåòîä Ýéëåðà ïî óñëîâèÿì óñ-
òîé÷èâîñòè íåïðèãîäåí äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ óñòîé÷èâûõ óðàâ-
íåíèé ñîñòîÿíèÿ âèäà (*), ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèö êîòî-
ðûõ ìîãóò èìåòü íóëåâûå âåùåñòâåííûå ÷àñòè.  ýòîì ñëó÷àå
íà êàæäîì îòäåëüíîì øàãå èíòåãðèðîâàíèÿ ìîæåò áûòü äî-
ñòèãíóòà âïîëíå ïðèåìëåìàÿ òî÷íîñòü, â òî âðåìÿ êàê àïïðîê-
ñèìèðóþùàÿ ýòè çíà÷åíèÿ ôóíêöèÿ íå ñîîòâåòñòâóåò ôóíêöèè
èñòèííîãî ðåøåíèÿ èñõîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ.
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà
a =
Re
l
< 0 è ìåòîä Ýéëåðà ìîæåò áûòü ïðèìåíåí
ïî óñëîâèþ óñòîé÷èâîñòè. Óñëîâèå |
|
1
1
+
<
l
h
íàêëàäûâàåò æåñòêèå îãðàíè÷åíèÿ
íà øàã. Íàïðèìåð, ïðè ÷èñòî âåùåñòâåííîì çíà÷åíèè
l = a
< 0 èç ýòîãî óñëîâèÿ
âûòåêàåò ñëåäóþùåå îãðàíè÷åíèå íà ìàêñèìàëüíî äîïóñòèìûé øàã äèñêðåòèçà-
öèè:
h
<
½
2/
l½
.
Òàêèì îáðàçîì, ïðè èíòåãðèðîâàíèè ÿâíûì ìåòîäîì Ýéëåðà óðàâíåíèé ñî-
ñòîÿíèÿ (*) ñ áîëüøèìè ïî ìîäóëþ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè ìàòðèö êîýôôè-
öèåíòîâ øàã èíòåãðèðîâàíèÿ ïî óñëîâèÿì óñòîé÷èâîñòè äîëæåí áûòü âûáðàí
äîñòàòî÷íî ìàëûì. Òàêàÿ ñèòóàöèÿ âîçíèêàåò, íàïðèìåð, ïðè îáðàáîòêå óðàâíå-
íèé ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ñ ìàëûìè ïîñòîÿííûìè âðåìåíè, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò
áîëüøèì ïî ìîäóëþ âåùåñòâåííûì ÷àñòÿì ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèö óðàâ-
íåíèé ñîñòîÿíèÿ. Ïðè ýòîì ïîïûòêà óâåëè÷èòü øàã áîëåå âåëè÷èíû, îïðåäåëÿå-
ìîé åãî ìàêñèìàëüíîé îöåíêîé, ïðèâîäèò ê ðåçêîìó âîçðàñòàíèþ ïîãðåøíîñòè
(«âçðûâó» ïîãðåøíîñòè) è íàðóøåíèþ àäåêâàòíîñòè âû÷èñëåííûõ çíà÷åíèé èñ-
òèííîìó ðåøåíèþ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ.
Ïðèìåíèì äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (**) ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå íåÿâíîãî ìåòî-
äà Ýéëåðà
$
$
$
(
)
$
.
x
x
h x
x
h
x
n
n
n
n
n
+
+
+
-
=
+
= -
1
1
1
1
1
l
l
èëè
Äëÿ ýòîãî ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ ðåøåíèå òàêæå ìîæíî íàéòè â âèäå
$
x
n
n
= r r
0
.
Òîãäà
r
0
r
n+
1
= r
0
r
n
+
h
lr
0
r
n+
1
,
r
(1 –
l
h
)
=
1 èëè
r =
(1 –
l
h
)
–
n
è, ñëåäîâàòåëüíî,
$
(
)
x
x
h
n
n
=
-
-
0
1
l
. Ýòî âûðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ ïðèáëèæåííûì ïðåäñòàâëåíèåì òî÷-
íîãî ðåøåíèÿ
x t
x nh
x
x e
x e
x e
x
n
n
n h
n
h
h
n
( )
( )
(
)
(
)
(
(
)
=
=
=
=
=
»
-
-
-
-
0
0
0
0
1
l
l
l
-
-
l
h
n
) .
Äëÿ îáåñïå÷åíèÿ àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ïîñëåä-
íåãî óðàâíåíèÿ íåîáõîäèìî, ÷òîáû
½
(1 –
h
l
)
–1
½
< 1 èëè äëÿ
l = a
+
j
w ®
(1 –
h
a
)
2
+ (
h
w
)
2
> 1. Îáëàñòüþ óñòîé÷èâîñòè
äàííîãî ìåòîäà ÿâëÿåòñÿ âñÿ ïëîñêîñòü, çà èñêëþ÷åíèåì åäè-
íè÷íîãî êðóãà â ïðàâîé ïîëóïëîñêîñòè ñ öåíòðîì â òî÷êå
(1, 0) (ðèñ. 9.34). Êàê âèäíî èç ïîëó÷åííîãî íåðàâåíñòâà, óñëî-
âèå óñòîé÷èâîñòè íå íàëàãàåò êàêèõ-ëèáî îãðàíè÷åíèé íà øàã
äèñêðåòèçàöèè ïðè èíòåãðèðîâàíèè àáñîëþòíî óñòîé÷èâûõ
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Âûáîð øàãà â ýòîì ñëó÷àå äîëæåí îñóùåñòâ-
ëÿòüñÿ òîëüêî ïî ñîîáðàæåíèÿì òî÷íîñòè âû÷èñëåíèé. Çàìåòèì, ÷òî ðåøåíèÿ
Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì
73
Ðèñ. 9.33
Ðèñ. 9. 34
ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ íåÿâíîãî ìåòîäà Ýéëåðà îêàçûâàþòñÿ óñòîé÷èâûìè è
â ïðàâîé ïîëóïëîñêîñòè, ãäå ðåøåíèå èñõîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ
íåóñòîé÷èâî. Ñëåäîâàòåëüíî, èñïîëüçîâàíèå ýòîãî ìåòîäà äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ
íåóñòîé÷èâûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äàåò ðåçóëüòàò, íå àäåêâàòíûé õà-
ðàêòåðó èñòèííîãî ðåøåíèÿ.
Ðàññìîòðåííûé ìàòåðèàë ïîêàçûâàåò, ÷òî íå ëþáîé ìåòîä ÷èñëåííîãî èíòåã-
ðèðîâàíèÿ è íå ëþáîé øàã äèñêðåòèçàöèè ïðè äàííûõ çíà÷åíèÿõ
l
îáåñïå÷è-
âàþò ñîîòâåòñòâèå äèôôåðåíöèàëüíîãî ðàçíîñòíîìó óðàâíåíèþ ïî âñåì âèäàì
óñòîé÷èâîñòè. Òàêîå ñîîòâåòñòâèå ìîæåò áûòü äîñòèãíóòî ïðè èñïîëüçîâàíèè
íåÿâíîãî ìåòîäà òðàïåöèé, ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå êîòîðîãî äëÿ óðàâíåíèÿ (***)
èìååò âèä
$
$
(
$&
$&
)
$
(
) (
x
x
h x
x
x
h
h
n
n
n
n
n
+
+
+
-
=
+
+
= -
+
1
1
1
1
2
1
2
1
2
l
l
l
èëè
)
$
.
x
n
Ñîîòâåòñòâóþùåå ðåøåíèå ýòîãî ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ èìååò âèä
$
x
n
n
= r r
0
.
Òîãäà
r r
r r
l
r r
r r
0
1
0
0
1
0
2
n
n
n
n
h
+
+
=
+
+
(
),
r
l
l
r
l
l
(
)
,
,
1
2
1
2
1
2
1
2
-
= +
= +
-
h
h
h
h
$
$
.
x
x
h
h
n
n
=
+
-
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
0
1
2
1
2
l
l
Ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ ïðèáëèæåííûì ïðåäñòàâëåíèåì òî÷íîãî ðå-
øåíèÿ, êîìáèíàöèåé ÿâíîãî è íåÿâíîãî ìåòîäîâ Ýéëåðà. Îíî òàêæå ìîæåò áûòü
ïîëó÷åíî èç ñëåäóþùåãî ïðèáëèæåíèÿ:
x t
x nh
x
x e
x e
x e
e
n
n
n h
n h
n h
h
n
( )
( )
(
)( )
=
=
=
=
=
=
-
-
0
0
2
2
0
2
2
l
l
l
l
=
»
+
-
-
-
-
x e
e
x
h
h
h
n
h
n
n
n
0
2
2
0
1
2 1
2
(
) (
)
(
) (
) .
l
l
l
l
Çàìåòèì, ÷òî ïðèáëèæåíèå
e
n
l
h
»
(1 +
l
h
/2)
n
(1 –
l
h
/2)
–
n
íåïîñðåäñòâåííî ñëå-
äóåò è èç òàê íàçûâàåìîé Ïàäå-àïïðîêñèìàöèè ýêñïîíåíòû. Òàêèì îáðàçîì,
è çäåñü âèä ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ñïîñîáîì ïðèáëè-
æåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ýêñïîíåíòû
e
l
h
.
Îáëàñòü óñòîé÷èâîñòè ìåòîäà òðàïåöèé, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåò-
ñÿ íåðàâåíñòâîì
½
(1 –
h
l
/2)
–1
(1 +
h
l
/2)
½
< 1 èëè (1 +
h
l
/2)
2
<
< (1 –
h
l
/2)
2
, ïîêàçàíà íà ðèñ. 9.35. Ñóòü æå îòìå÷åííîãî ñâîéñòâà
ìåòîäà òðàïåöèé ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïðè ÷èñòî ìíèìîì çíà÷åíèè
l
(
l =
j
w
) óñòîé÷èâîìó ðåøåíèþ èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ (***) ñîîò-
âåòñòâóåò óñòîé÷èâîå ðåøåíèå ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ, òàê êàê
1
2
1
2
1
2
1
2
1
-
æ
è
ç
ö
ø
÷
+
æ
è
ç
ö
ø
÷
½
½
½
½
½
½=
+
½
½
½
½
½
½
-
½
-
h
h
j h
j h
l
l
w
w
½
½
½
½
½
=
1.
Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü ìåòîä òðàïåöèé äëÿ èíòåãðèðî-
âàíèÿ òàêèõ óðàâíåíèé (*), ìàòðèöà
A
êîýôôèöèåíòîâ êîòîðûõ ñîäåðæèò ïàðó
ìíèìûõ ñîïðÿæåííûõ çíà÷åíèé. Ðåøåíèå â ýòîì ñëó÷àå èìååò ñîñòàâëÿþùóþ
74
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ðèñ. 9.35
âèäà íåçàòóõàþùåãî ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ, ÷òî îáû÷íî è ïðèâîäèò ê òðóä-
íîñòÿì ïðè èíòåãðèðîâàíèè.
Èñïîëüçóÿ ðàññìîòðåííûé ìåòîä, ìîæíî îïðåäåëèòü îáëàñòè
óñòîé÷èâîñòè è äðóãèõ ðàçíîñòíûõ ñõåì. Íà ðèñ. 9.36 ïîêàçàíû
îáëàñòè óñòîé÷èâîñòè ìåòîäîâ Ðóíãå—Êóòòà âòîðîãî è ÷åòâåð-
òîãî ïîðÿäêîâ.
Ïðè âûáîðå ðàçíîñòíîé ñõåìû è øàãà èíòåãðèðîâàíèÿ âîïðîñû
óñòîé÷èâîñòè ñõåìû äîëæíû áûòü ñîãëàñîâàíû ñ âîïðîñàìè òî÷-
íîñòè, ïîñêîëüêó àäåêâàòíîñòü ñõåìû ðåøàåìîìó óðàâíåíèþ
òîëüêî ïî óñëîâèÿì óñòîé÷èâîñòè åùå íå ãàðàíòèðóåò åå «õîðîøèõ»
ñâîéñòâ. Äëÿ ïðèìåðà ðàññìîòðèì ðåøåíèå òåñòîâîãî óðàâíåíèÿ
(***) ìåòîäîì òðàïåöèé ïðè Re
l
< 0;
h
l
<< –1. Íà
n
-ì øàãå
$
(
) (
)
,
$
.
x
h
h
x
x
x
n
n
n
= +
-
=
-
1
2 1
2
0
0
0
l
l
Ïðè
h
l ®
–
¥
|
$
x
n
|
®
|
x
0
|. Äëÿ òî÷íîãî ðåøåíèÿ
x
n
=
e
l
nh
x
0
è
x
n
®
0 ïðè
h
l ®
–
¥
.
Òàêèì îáðàçîì, ïðè ðåøåíèè äàííîãî óðàâíåíèÿ ìåòîäîì òðàïåöèé øàã íå ìî-
æåò áûòü âûáðàí ñëèøêîì áîëüøèì èç-çà íåâîçìîæíîñòè ïîëó÷åíèÿ òðåáóåìîé
òî÷íîñòè ðåøåíèÿ.  òî æå âðåìÿ èñïîëüçîâàíèå íåÿâíîãî ìåòîäà Ýéëåðà ïîçâî-
ëÿåò ïîëó÷èòü àäåêâàòíûé ðåçóëüòàò:
$
(
)
$
,
$
.
x
h
x
x
h
n
n
n
= -
®
® -¥
-
1
0
0
l
l
ïðè
Ïîýòîìó ïðèìåíåíèå íåÿâíîãî ìåòîäà Ýéëåðà ìîæåò îêàçàòüñÿ áîëåå ýôôåê-
òèâíûì ïðè ðåøåíèè ñèñòåì (*), âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû
A
êîýôôè-
öèåíòîâ êîòîðûõ èìåþò áîëüøèå ïî ìîäóëþ è îòðèöàòåëüíûå âåùåñòâåííûå
÷àñòè. Ðàññìîòðåííûé ïðèìåð èëëþñòðèðóåò ñëîæíîñòü âûáîðà ìåòîäà, íàèáî-
ëåå àäåêâàòíîãî ñïåöèôè÷åñêèì îñîáåííîñòÿì ðåøàåìîãî óðàâíåíèÿ. Íî îïðå-
äåëÿþùèìè ïðèíöèïèàëüíóþ âîçìîæíîñòü ýôôåêòèâíîãî ïðèìåíåíèÿ äàííîãî
ìåòîäà ïðè èíòåãðèðîâàíèè îïðåäåëåííîãî êëàññà óðàâíåíèé ÿâëÿþòñÿ âñå æå
ñîîáðàæåíèÿ óñòîé÷èâîñòè. Òàê, èñïîëüçîâàíèå ÿâíûõ ìåòîäîâ Ýéëåðà è Ðóí-
ãå—Êóòòà äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ ïîäîáíûõ ñèñòåì ñ áîëüøèìè ïî ìîäóëþ âåùå-
ñòâåííûìè ÷àñòÿìè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ïðèâåëî áû ê ñòîëü ñóùåñòâåííîìó
îãðàíè÷åíèþ øàãà, ÷òî ñäåëàëî íåâîçìîæíûì ïîëó÷åíèå äîñòîâåðíîãî ðåçóëüòà-
òà èç-çà îøèáîê íàêîïëåíèÿ èëè æå, â ëó÷øåì ñëó÷àå, ïîòðåáîâàëî íåäîïóñòèìî
áîëüøèõ çàòðàò âðåìåíè ïðè ðåàëèçàöèè íà êîìïüþòåðå.
Çàìåòèì, ÷òî äëÿ áîëüøèíñòâà óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ñîá-
ñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèö êîýôôèöèåíòîâ ëîêàëèçîâàíû â ëåâîé ïîëóïëîñêî-
ñòè, íî ìîãóò áûòü ðàñïîëîæåíû â íåé äîñòàòî÷íî ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì. Ïî-
ýòîìó äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ ýòèõ óðàâíåíèé öåëåñîîáðàçíî ïðèìåíÿòü ìåòîäû,
îáëàñòü óñòîé÷èâîñòè êîòîðûõ âêëþ÷àåò âñþ ëåâóþ ïîëóïëîñêîñòü ïëîñêî-
ñòè
h
l
. Òàêèå ìåòîäû íàçûâàþò
À
-
óñòîé÷èâûìè
. Ê òàêèì ìåòîäàì îòíîñÿòñÿ,
íàïðèìåð, íåÿâíûå ìåòîäû Ýéëåðà è òðàïåöèé. ßâíûå æå ìåòîäû Ýéëåðà è
Ðóíãå—Êóòòà íå
À
-óñòîé÷èâû. Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:
·
íèêàêîé ÿâíûé ëèíåéíûé ìíîãîøàãîâûé ìåòîä íå ÿâëÿåòñÿ
À
-óñòîé÷èâûì;
·
íå ñóùåñòâóåò
À
-óñòîé÷èâîãî íåÿâíîãî ëèíåéíîãî ìíîãîøàãîâîãî ìåòîäà ñî
ñòåïåíüþ
n
> 2.
Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì
75
Ðèñ. 9.36
Òîò ôàêò, ÷òî ÿâíûå êëàññè÷åñêèå ìåòîäû (Ðóíãå—Êóòòà, Ýéëåðà) íå îáëàäà-
þò
À
-óñòîé÷èâîñòüþ, ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî èõ èñïîëüçîâàíèå äëÿ èíòåãðè-
ðîâàíèÿ ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïðèâîäèò ê áîëüøèì âû÷èñëè-
òåëüíûì òðóäíîñòÿì. Íà ñóùåñòâîâàíèå ïîäîáíûõ ñèñòåì óðàâíåíèé, òðóäíî
ïîääàþùèõñÿ èíòåãðèðîâàíèþ ÿâíûìè êëàññè÷åñêèìè ìåòîäàìè, âïåðâûå îáðà-
òèëè âíèìàíèå â 1952 ã. è íàçâàëè èõ
æåñòêèìè ñèñòåìàìè äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé.
 íàñòîÿùåå âðåìÿ ñóùåñòâóåò ñïåöèàëüíàÿ òåîðèÿ æåñòêèõ óðàâíå-
íèé è ìåòîäîâ èõ ðåøåíèÿ. Áîëüøîé âêëàä â ðàçâèòèå ýòîé òåîðèè âíåñ ñîâåò-
ñêèé ìàòåìàòèê è ýëåêòðîòåõíèê Þ. Â. Ðàêèòñêèé. Çàìåòèì, ÷òî ïðèìåíèòåëüíî
ê óðàâíåíèÿì ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé æåñòêîñòü ÿâëÿåòñÿ ñêîðåå ïðàâèëîì, ÷åì
èñêëþ÷åíèåì.
9.16. Æåñòêîñòü ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ïðè ñîçäàíèè ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé âñòàåò ïðîáëåìà
ó÷åòà ýëåìåíòîâ ñ ìàëûìè çíà÷åíèÿìè èíäóêòèâíîñòåé, åìêîñòåé, ïðîâîäèìî-
ñòåé, ñîïðîòèâëåíèé. Ïîñêîëüêó ïðåíåáðåæåíèå òàêèìè ýëåìåíòàìè ìîæåò íà-
ðóøèòü àäåêâàòíîñòü ìîäåëè ðåàëüíîé öåïè, èññëåäîâàòåëü çà÷àñòóþ âûíóæäåí
ó÷èòûâàòü áîëüøîå ÷èñëî ïîäîáíûõ ýëåìåíòîâ. Âñëåäñòâèå ýòîãî ýëåêòðè÷åñêèì
öåïÿì ñîîòâåòñòâóþò äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî âûñîêèõ ïî-
ðÿäêîâ. Ïðè÷åì, êàê ïðàâèëî, ïðè îïèñàíèè ðåøåíèé ïîäîáíûõ óðàâíåíèé â èí-
òåðâàëå íàáëþäåíèÿ òðåáóåòñÿ ïðèâëå÷åíèå äâóõ âèäîâ ôóíêöèé: áûñòðîóáû-
âàþùèõ ñ áîëüøèìè ïðîèçâîäíûìè è ôóíêöèé ñ ìàëûìè ïðîèçâîäíûìè.
Íåîáõîäèìîñòü èñïîëüçîâàíèÿ òàêèõ ôóíêöèé
äëÿ îïèñàíèÿ ðåøåíèé äèôôåðåíöèàëüíûõ ñèñ-
òåì õàðàêòåðèçóåò ÿâëåíèå æåñòêîñòè, à ñàìè
ïîäîáíûå ñèñòåìû íàçûâàþò
æåñòêèìè
. ßâëåíèå
æåñòêîñòè òèïè÷íî äëÿ çàäà÷ òåîðèè ýëåêòðè÷å-
ñêèõ öåïåé. Âìåñòå ñ òåì ÷èñëåííîå ðåøåíèå
æåñòêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ ñèñòåì ñîïðÿæåíî
ñî çíà÷èòåëüíûìè òðóäíîñòÿìè. Ïðè÷èíû òàêèõ
òðóäíîñòåé öåëåñîîáðàçíî ðàññìîòðåòü ïîäðîáíåå.
Ðàññìîòðèì ïðîöåññ ðàçðÿäà êîíäåíñàòîðà íà àêòèâíî-èíäóêòèâíóþ öåïü
(ðèñ. 9.37). Çàâèñèìîñòü òîêà â öåïè îò âðåìåíè ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èç ðåøå-
íèÿ ñëåäóþùåãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ:
d i
dt
R
L
di
dt
CL
i
L
L
L
2
2
1
0
+
+
=
.
Çàïèøåì â îáùåì âèäå åãî ðåøåíèå, ñîñòîÿùåå òîëüêî èç ñâîáîäíîé ñîñòàâ-
ëÿþùåé
i
L
=
C
1
e
t
l
1
+
C
2
e
t
l
2
, è îïðåäåëèì êîðíè
l
1
,
l
2
õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâ-
íåíèÿ:
l
l
l
l
2
2
10
11
1
0
2 10
2 10
0
+
+
= ®
+ ×
+ ×
=
R
L
LC
.
Ïî òåîðåìå Âèåòà,
76
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ðèñ. 9.37
l l
l
l
1 2
11
1
2
10
1
2 10
2 10
=
= ×
+
= -
= - ×
LC
R L
;
/
.
Ñëåäîâàòåëüíî,
l
l
1
10
2
2 10
10
1
» - ×
= -
» -
= -
R L
RC
;
.
Èñõîäÿ èç íåçàâèñèìûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé
i
C
C
u
L di
dt
Ri
L C
L
C
L
t
L
( )
,
( )
( )
(
0
0
0
0
1
2
0
1
=
+
=
=
½
½
½ +
é
ë
ê
ù
û
ú =
=
l
l
1
2 2
1
2
0
+
+
+
=
C
R C
C
U
)
(
)
,
íàéäåì ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ:
C
1
=
–
C
2
=
U
0
/
R
. Òîãäà ðåøåíèå ðàññìàòðè-
âàåìîãî óðàâíåíèÿ çàïèøåì â âèäå
i
U
R
e
e
U
e
e
L
R
L
t
RC
t
t
@
-
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷ = ×
-
+
-
-
- ×
-
0
1
0
4
2 10
10
2 10
10
t
æ
è
ç
ö
ø
÷
.
Íà ðèñ. 9.38, âûïîëíåííîì äëÿ íàãëÿäíîñòè ñ èñêàæåíèåì ìàñøòàáà ïî îñè
t
,
âûäåëèì äâà ó÷àñòêà.
Ïåðâûé ó÷àñòîê — ó÷àñòîê ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ
t
Î
[0,
t
ïñ
] — õàðàêòåðèçóåòñÿ
áûñòðûì èçìåíåíèåì (áîëüøîé ïðîèçâîäíîé) òîêà. Äëèòåëüíîñòü ýòîãî ó÷àñòêà
îïðåäåëÿåòñÿ ìèíèìàëüíîé ïîñòîÿííîé âðåìåíè
t
min
= t
1
=
|1/
l
1
| =
L
/
R
. Ìîæíî
ïðèíÿòü, íàïðèìåð,
t
ïñ
=
(3 ... 5)
t
min
. Âòîðîé ó÷àñòîê, ëåæàùèé çà ïîãðàíè÷íûìè
ñëîåì, õàðàêòåðèçóåòñÿ ìåäëåííûì èçìåíåíèåì
òîêà. Äëèòåëüíîñòü ýòîãî ó÷àñòêà, ò. å. äëèòåëüíîñòü
íàáëþäåíèÿ, îïðåäåëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíîé ïîñòîÿí-
íîé âðåìåíè
t
max
= t
2
= |
1/
l
2
| =
RC
(îáû÷íî ïðîöåññ
öåëåñîîáðàçíî ðàññìàòðèâàòü íà èíòåðâàëå íå áî-
ëåå (3 ... 5)
t
max
). Èìååò ìåñòî ÿâëåíèå æåñòêîñòè.
Ñëåäîâàòåëüíî, ðàññìàòðèâàåìîå óðàâíåíèå, ìîäå-
ëèðóþùåå ïðîöåññû ñ òàêîãî ðîäà ÿâëåíèåì, îòíî-
ñèòñÿ ê æåñòêèì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì.
Æåñòêèì ÿâëÿåòñÿ è óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ ñîîòâåò-
ñòâóþùåå äàííîé öåïè.
d
dt
i
u
i
u
i
u
U
L
C
L
C
L
C
= - ×
-
- ×
=
2 10
10
2 10
0
0
0
0
10
6
5
0
;
( )
( )
.
Ïðîàíàëèçèðóåì òðóäíîñòè, âîçíèêàþùèå ïðè èíòåãðèðîâàíèè ïîäîáíûõ
óðàâíåíèé. Êàê áûëî ïîêàçàíî â § 9.15, âûáîð øàãà, îáåñïå÷èâàþùåãî çàäàííûé
òèï óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèÿ, äîëæåí ïîä÷èíÿòüñÿ îïðåäåëåííûì óñëîâèÿì, çàâè-
ñÿùèì îò ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ìàòðèöû óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ, èëè, ÷òî òî æå, îò
êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ. Íàïðèìåð, ïðè èñïîëüçîâàíèè ÿâíîãî
ìåòîäà Ýéëåðà øàã èíòåãðèðîâàíèÿ, îáåñïå÷èâàþùèé àñèìïòîòè÷åñêóþ óñòîé-
÷èâîñòü ðåøåíèÿ, äîëæåí óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ
|
1 +
h
l |
< 1. Äëÿ ðàññìîòðåí-
íîãî âûøå ïðèìåðà ýòî óñëîâèå ðàâíîñèëüíî äâóì íåðàâåíñòâàì
|
1 +
h
l
1
| = |
1 –
h
2
×
10
10
|
< 1;
|
1 +
h
l
2
| = |
1 –
h
×
10
|
< 1,
ðåøàÿ êîòîðûå, ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå îãðàíè÷åíèÿ íà øàã:
h
< 10
–10
;
h
< 0,2. Ñëå-
äîâàòåëüíî, ïðè èíòåãðèðîâàíèè äàííîé ñèñòåìû óðàâíåíèé øàã äîëæåí áûòü
Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì
77
Ðèñ. 9.38