Материал: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.2.2003
äîâ îáîçíà÷åíèÿìè áóäåì èñïîëüçîâàòü äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíîé ïî âðåìå-
íè òî÷êó íàä ïåðåìåííîé.
Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ áóäåì èñêàòü íà îòðåçêå
[
t
0
,
t
0
+
T
]
â âèäå òàáëèöû.
t
t
0
t
0
+
h
t
0
+ 2
h
. . .
t
0
+
nh
. . .
t
0
+
Nh
=
t
0
+
T
x
x
(
t
0
)
$
(
)
x
t
h
0
+
$
(
)
x
t
h
0
2
+
. . .
$
(
)
x
t
nh
0
+
. . .
$
(
)
x
t
T
0
+
Çäåñü
h
> 0 — íåêîòîðàÿ ìàëàÿ âåëè÷èíà, íàçûâàåìàÿ
øàãîì èíòåãðèðîâà-
íèÿ
èëè
øàãîì äèñêðåòíîñòè
(
äèñêðåòèçàöèè
)
òàáëèöû
. Âûáîð ýòîé âåëè÷è-
íû äîëæåí îáåñïå÷èâàòü âîçìîæíîñòü àïïðîêñèìàöèè òî÷åê
$
( )
$
(
)
x
x
t
t
nh
n
=
+
0
,
n
=
0, 1, 2, …,
N
,
N
=
T
/
h
òàêîé ôóíêöèåé, êîòîðàÿ âîñïðîèçâîäèëà áû âñå îñîáåí-
íîñòè èññëåäóåìîãî ïðîöåññà
x
(
t
) ñ äîñòàòî÷íîé äëÿ ïðàêòèêè òî÷íîñòüþ. Äëÿ
âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé
$
(
)
x
t
nh
0
+
äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå çàìåíÿþò àëãåá-
ðàè÷åñêèì, íàçûâàåìûì
ðàçíîñòíûì óðàâíåíèåì
âèäà
hh
j
(
$
, )
[
$
(
,
$
, )]
,
x
x
x
h
a
hb
t
h
r k
n k
r k
n k
n k
k
r
=
-
=
-
-
-
-
-
=
å
0
0
â êîòîðîì êîýôôèöèåíòû
a
r
,
b
r
îäíîâðåìåííî íå ðàâíû íóëþ, à
r
£
n
£
N
. Ïðè
ýòîì çíà÷åíèÿ
$
$
( )
x
x
n
n
t
=
, ïðèáëèæåííî îïèñûâàþùèå
x
x
n
n
t
=
( ), îïðåäåëÿþò êàê
ðåøåíèÿ ñèñòåì àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ïîñëåäîâàòåëüíî òî÷êà çà òî÷êîé.
Ïðîöåññ âû÷èñëåíèÿ òàáëèöû ñ ïîìîùüþ ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé íàçûâàþò
÷èñ-
ëåííûì èíòåãðèðîâàíèåì
(÷èñëåííûì ðåøåíèåì) äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâ-
íåíèÿ. Ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå íàçûâàþò
ìåòîäîì ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ
(
ðàçíîñòíîé ñõåìîé
). ×èñëî
r
ñîîòâåòñòâóåò
ïîðÿäêó ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ, êî-
òîðûé îïðåäåëÿåò ÷èñëî äîïîëíèòåëüíûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé, íåîáõîäèìûõ äëÿ
îäíîçíà÷íîãî ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ. Ñîâîêóïíîñòü íà÷àëüíûõ
óñëîâèé
$
,
$
, ...,
$
x x
x
0
1
1
r
-
äëÿ ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ íàçûâàþò íà÷àëîì òàáëèöû
, à
ñïîñîá âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé
$
x
r
-
1
—
ñòàðòîâûì àëãîðèòìîì
. Îòìåòèì, ÷òî ïðè
r
=
1 ìåòîä ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ íàçûâàþò
îäíîøàãîâûì
, à ïðè
r
> 1 —
ìíîãî-
øàãîâûì
.
Ïðîñòåéøèå ìåòîäû ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ îñíîâûâàþòñÿ íà èäåÿõ, âû-
ñêàçàííûõ Ýéëåðîì, Êîøè, Ðóíãå, è íîñÿò èõ èìåíà. Ðàññìîòðèì ýòè èäåè è ìå-
òîäû ïîäðîáíåå.
Îäíà èç èäåé ïîñòðîåíèÿ ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ ïî èñõîäíîìó äèôôåðåí-
öèàëüíîìó óðàâíåíèþ ñîñòîèò â ïðèìåíåíèè ê íåìó ôîðìóëû Íüþòîíà—Ëåéá-
íèöà
x
x
f
x
x
f
x
( )
( )
( , ( ))
( )
(
, (
t
t
d
t
t
n
n
t
t
n
n
n
n
+
+
=
+
=
+
-
+
ò
1
1
1
t
t
t
t
t
d
n
h
+
-
ò
1
0
t
t
))
ñ ïîñëåäóþùåé àïïðîêñèìàöèåé ïîëó÷åííîãî èíòåãðàëà.
Íàïðèìåð,
ÿâíûé ìåòîä Ýéëåðà
(
ìåòîä ëîìàíûõ
) ñîîòâåòñòâóåò ïðèáëèæåí-
íîìó âû÷èñëåíèþ èíòåãðàëà ïî ñïîñîáó ëåâûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ. Ïðè ýòîì ïî-
ñëåäíåå óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä
$
$
,
( ,
$
).
x
x
f
f
f
x
n
n
n
n
n
n
h
t
+
=
+
=
1
68
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ê
íåÿâíîìó ìåòîäó Ýéëåðà
(
íåÿâíîìó ìåòîäó ëîìàíûõ
) ïðèâîäèò ïðèáëè-
æåííîå âû÷èñëåíèå èíòåãðàëà ïî ñïîñîáó ïðàâûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ:
$
$
,
( ,
$
).
x
x
f
f
f
x
n
n
n
n
n
n
h
t
+
+
+
+
+
=
+
=
1
1
1
1
1
Çàìåòèì, ÷òî ïîñëåäíåå óðàâíåíèå íå ðàçðåøåíî îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíîãî
çíà÷åíèÿ
$
x
n
+
1
. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî è îáóñëîâèëî íàçâàíèå ìåòîäà ÷èñëåííîãî èí-
òåãðèðîâàíèÿ êàê íåÿâíîãî.  îáùåì ñëó÷àå ìåòîä íàçûâàþò
íåÿâíûì
, åñëè
b
r
¹
0,
è
ÿâíûì
â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Íåÿâíûì, íàïðèìåð, ÿâëÿåòñÿ
ìåòîä òðàïåöèé
(
)
$
$
,
x
x
f
f
n
n
n
n
h
+
+
=
+
+
1
1
2
ïîëó÷àåìûé ïðè àïïðîêñèìàöèè èíòåãðàëà â ôîðìóëå Íüþòîíà—Ëåéáíèöà ïî
ìåòîäó òðàïåöèé.
Îáîáùåíèåì äâóõ ïîñëåäíèõ ìåòîäîâ ÿâëÿåòñÿ
ìåòîä Ëèíèãåðà
—
Óèëëàáè
$
$
[(
)
$&
$&
];
,
x
x
x
x
n
n
n
n
h
+
+
=
+
-
+
£ £
1
1
1
0
1 2
m
m
m
êîòîðûé ïðè
m =
0 ñîâïàäàåò ñ íåÿâíûì ìåòîäîì Ýéëåðà, à ïðè
m =
0,5 — ñ ìåòî-
äîì òðàïåöèé.
Ïðè ïîñòðîåíèè ðàçíîñòíûõ ñõåì íàðÿäó ñ ôîðìóëîé Íüþòîíà—Ëåéáíèöà
èñïîëüçóþòñÿ è äðóãèå ïðåäñòàâëåíèÿ ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ,
íàïðèìåð ïðåäñòàâëåíèÿ â âèäå ðÿäà Òåéëîðà
x
x
x
x
( )
( )
!
( )
(
)
!
(
t
t
h
h
k
d
t
dt
h
d
t
n
n
k
k
n
k
n
+
-
+
=
+
+
-
+
1
1
1
t
n
t
n
n
) ,
d
d
h
k
t
t
n
n
+
=
ò
å
1
0
1
ãäå âûñøèå ïðîèçâîäíûå íàõîäÿò ïóòåì ïîñëåäîâàòåëüíîãî äèôôåðåíöèðîâà-
íèÿ ïðàâîé ÷àñòè èñõîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ. Ïðè ïðåíåáðåæå-
íèè èíòåãðàëîì â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè ïîëó÷àþò ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ ïåð-
âîãî ïîðÿäêà
$
$
!
.
x
x
f
n
n
k
k
k
n
k
h
h
k
d
dt
+
-
-
-
=
=
+
å
1
1
1
1
1
n
(*)
Ïðè
n =
1 ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ñîâïàäàåò ñ ðàíåå ðàññìîòðåííûì óðàâíåíèåì
ÿâíîãî ìåòîäà Ýéëåðà. Îòìåòèì, ÷òî ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå íàçûâàþò ïî ÷èñëó
ó÷èòûâàåìûõ ïðîèçâîäíûõ
ìåòîäîì ñòåïåíè
n
.
Äëÿ òîãî, ÷òîáû íå âû÷èñëÿòü íåïîñðåäñòâåííî ïðîèçâîäíûå ïðàâîé ÷àñòè
äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïðè ðåàëèçàöèè ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ, îáû÷íî èñ-
ïîëüçóþò èäåþ Ðóíãå. Ïðè ýòîì âìåñòî óðàâíåíèÿ (*) ïðèìåíÿþò ðàçíîñòíîå
óðàâíåíèå âèäà
$
$
( ,
$
, ).
x
x
x
n
n
n
n
h t
h
+
=
+
1
jj
Ôóíêöèþ
jj
( ,
$
, )
t
h
n
n
x
ñòðîÿò òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû åå ðàçëîæåíèå ïî ñòåïå-
íÿì
h
â òî÷êå
t
n
ñîâïàëî äî
h
n
– 1
âêëþ÷èòåëüíî ñ ðàçëîæåíèåì â (*). Ìåòîäû ïîäîá-
íîãî òèïà íàçûâàþò ìåòîäàìè Ðóíãå—Êóòòà. Íàèáîëåå ÷àñòî èñïîëüçóþò ìåòîäû:
à
)
ìåòîä Ýéëåðà—Êîøè
(
)
$
$
;
x
x
k
k
n
n
n
n
h
+
=
+
+
1
1
2
2
k
f
k
f
x
k
1
2
1
1
n
n
n
n
n
n
t
h
=
=
+
+
,
( ,
$
);
Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì
69
á
)
óñîâåðøåíñòâîâàííûé ìåòîä ëîìàíûõ
$
$
;
x
x
k
n
n
n
h
+
=
+
1
2
k
f
k
f
x
k
1
2
1
2
2
n
n
n
n
n
n
t
h
h
=
=
+
+
æ
è
ç
ö
ø
÷
,
,
$
;
â
)
ìåòîä ÷åòâåðòîé ñòåïåíè
(
)
$
$
;
x
x
k
k
k
k
n
n
n
n
n
n
h
+
=
+
+
+
+
1
1
2
3
4
6
2
2
k
f
k
f
x
k
1
2
1
2
2
n
n
n
n
n
n
t
h
h
=
=
+
+
æ
è
ç
ö
ø
÷
,
,
$
;
(
)
k
f
x
k
k
f
x
k
3
2
4
3
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
t
h
h
t
h
=
+
+
æ
è
ç
ö
ø
÷
=
+
+
,
$
,
,
$
.
Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîãóò áûòü ñêîíñòðóèðîâàíû è íåÿâíûå ìåòîäû
Ðóíãå—Êóòòà.
Ðàññìîòðåííûå ïðîñòûå è ïîëüçóþùèåñÿ øèðîêîé èçâåñòíîñòüþ ìåòîäû
íàçûâàþò èíîãäà
êëàññè÷åñêèìè ìåòîäàìè ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ
. Ñóùåñò-
âóåò è ìíîæåñòâî äðóãèõ ìåòîäîâ — ìåòîäû Àäàìñà, Ìèëíà (îòíîñÿòñÿ ê ìåòî-
äàì êëàññè÷åñêîãî òèïà) è áîëåå ñëîæíûå ìåòîäû òèïà ìåòîäîâ Øèõìàíà, Ãèðà
è ò. ä. Ïðè âûáîðå ìåòîäà ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ïðåæäå âñåãî ðóêîâîä-
ñòâóþòñÿ ïîëó÷åíèåì ðåçóëüòàòà (òàáëèöû) ñ äîñòàòî÷íîé òî÷íîñòüþ è â òðåáóå-
ìîå âðåìÿ. Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü õàðàêòåðèñòèêè èñïîëüçóåìîãî
êîìïüþòåðà — îãðàíè÷åííîñòü ðàçðÿäíîé ñåòêè, áûñòðîäåéñòâèå, îáúåì îïåðà-
òèâíîé ïàìÿòè è ò. ä.
Âàæíîé ïðîáëåìîé ïðè ÷èñëåííîì èíòåãðèðîâàíèè óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ
ÿâëÿåòñÿ âûáîð øàãà äèñêðåòèçàöèè. Âûáîð áîëüøîãî øàãà íàðóøàåò àäåêâàò-
íîñòü ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé ðåøàåìûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì, ÷òî
ïðèâîäèò ê áåññìûñëåííîìó ðåçóëüòàòó. Åñëè æå øàã âûáðàí ñëèøêîì ìàëûì, òî
ðàñ÷åò ïîòðåáóåò áîëüøèõ âðåìåííûõ çàòðàò, à íàêîïëåíèå îøèáîê îêðóãëåíèÿ
ìîæåò ïðèâåñòè ê ñóùåñòâåííîìó èñêàæåíèþ ðåçóëüòàòà. Ïîýòîìó ïðîãðàììíûå
ðåàëèçàöèè ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ èíòåãðèðîâàíèÿ äîëæíû âêëþ÷àòü ïðîöåäóðó âû-
áîðà øàãà, àâòîìàòè÷åñêè ó÷èòûâàþùóþ îñîáåííîñòè êàæäîãî ðåøàåìîãî óðàâíå-
íèÿ ñîñòîÿíèÿ. Ïðè÷åì äëÿ ñîçäàíèÿ ýôôåêòèâíûõ è íàäåæíûõ ïðîãðàìì ÷èñ-
ëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ òðåáóþòñÿ òàêèå ïðîöåäóðû, êîòîðûå ïðè ìèíèìàëüíûõ
âû÷èñëèòåëüíûõ çàòðàòàõ îáåñïå÷èâàþò âûáîð øàãà äèñêðåòèçàöèè, áëèçêîãî ê
îïòèìàëüíîìó. Ïðèìåíèòåëüíî ê ðåàëèçàöèè êëàññè÷åñêèõ ìåòîäîâ èíòåãðèðîâà-
íèÿ ïîäîáíûì òðåáîâàíèÿì óäîâëåòâîðÿþò àëãîðèòìû âûáîðà øàãà, îñíîâàííûå
íà
ïðàâèëå Ðóíãå
, ïîçâîëÿþùåì îöåíèòü ïîãðåøíîñòü ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ äèô-
ôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ.
Ïðè ðàññìîòðåíèè ýòîãî ïðàâèëà áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïðè èíòåãðèðîâàíèè
äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ
&
( , )
x f x
=
t
,
x
(
t
0
)
=
x
0
,
x
Î
R
m
ìåòîäîì ñòåïåíè
n
ïåðâîíà÷àëüíî âûáðàí øàã
h
è âû÷èñëåíî çíà÷åíèå ðåøåíèÿ â òî÷êå
t
0
+
h
. Îáî-
çíà÷èì âû÷èñëåííîå çíà÷åíèå êàê
x
h
n
(
t
0
+
h
). Îíî îòëè÷àåòñÿ îò èñòèííîãî çíà-
÷åíèÿ ðåøåíèÿ
x
(
t
0
+
h
) â òî÷êå
t
0
+
h
íà ïîãðåøíîñòü ìåòîäà ñòåïåíè
n
íà øàãå
h
,
ò. å.
70
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
{ }
x
x
R
R
M
M
(
)
$
(
)
,
,
,
t
h
t
h
h
m
h
h
h
i
0
0
1
+
=
+
+
=
=
+
n
n
diag
ãäå
m
i
— íåêîòîðûå ÷èñëà. Óìåíüøèì øàã â äâà ðàçà è âû÷èñëèì çíà÷åíèå ðåøå-
íèÿ
$
(
)
x
h
t
h
2
0
n
+
â òîé æå òî÷êå çà äâà øàãà, ïðåäâàðèòåëüíî îïðåäåëèâ çíà÷åíèå
$
(
)
x
h
t
h
2
0
2
n
+
â òî÷êå
t
0
+
h
/2. Èñòèííîå çíà÷åíèå ðåøåíèÿ
x
x
R
x
M
(
)
$
(
)
$
(
)
t
h
t
h
t
h
h
h
h
h
0
2
0
2
2
0
1
2
2
2
+
=
+
+
=
+
+
æ
è
ç ö
ø
÷
+
n
n
n
=
+
+
-
$
(
)
,
x
R
h
h
t
h
2
0
2
n
n
ãäå
R
h
/2
=
M
(
h
/2)
n
+1
— ïîãðåøíîñòü äàííîãî ìåòîäà íà øàãå
h
/2. Ñëåäîâàòåëüíî,
ìîæíî îöåíèòü ïîãðåøíîñòü âû÷èñëåíèÿ ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíå-
íèÿ ìåòîäîì ñòåïåíè
n
íà øàãå
h
:
R
x
x
h
h
h
t
h
t
h
=
+
-
+
-
-
$
(
)
$
(
)
.
2
0
0
1 2
n
n
n
Ïîäîáíûé äâóêðàòíûé ðàñ÷åò îäíîé òî÷êè ðåøåíèÿ äëÿ îöåíêè ïîãðåøíîñòè
âû÷èñëåíèÿ íàçûâàþò
ïðàâèëîì Ðóíãå
.
9.15. Óñòîé÷èâîñòü ìåòîäîâ ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ
Ïðè âûáîðå øàãà äèñêðåòèçàöèè ñóùåñòâåííûì îãðàíè÷åíèåì ïîìèìî ñîîá-
ðàæåíèé òî÷íîñòè ÿâëÿåòñÿ è òðåáîâàíèå îáåñïå÷åíèÿ óñòîé÷èâîñòè ñîîòâåòñò-
âóþùåé ðàçíîñòíîé ñõåìû. Äëÿ çíàêîìñòâà ñ ïîíÿòèåì óñòîé÷èâîñòè ðàçíîñò-
íîé ñõåìû è ñîîòâåòñòâóþùåãî åé ìåòîäà ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ðàññìîò-
ðèì àâòîíîìíóþ ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
&
,
, ( )
,
[ , ].
x Ax x
x
x
=
Î
=
Î
R
t
T
m
0
0
0
(*)
Ïîëîæèì äëÿ ïðîñòîòû, ÷òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ
l
k
,
k
m
=
1 2
, , ...,
ìàòðèöû
A
ðàçëè÷íû. Ïðè ýòîì ðåøåíèå (*) àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî, åñëè âåùåñòâåí-
íûå ÷àñòè âñåõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèöû
A
îòðèöàòåëüíû, ò. å. Re
l
k
< 0, è
íåóñòîé÷èâî, åñëè âåùåñòâåííûå ÷àñòè íåêîòîðûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðè-
öû ïîëîæèòåëüíû. Åñëè Re
l
k
£
0,
k
m
=
1 2
, , ..., , è íåêîòîðûå ñîáñòâåííûå çíà÷å-
íèÿ èìåþò íóëåâóþ âåùåñòâåííóþ ÷àñòü, òî ðåøåíèå
x
ñ÷èòàåòñÿ óñòîé÷èâûì
(íî íå àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûì). Ñîîòâåòñòâåííî âûäåëåííûì òðåì ñëó÷à-
ÿì è
óðàâíåíèå
(*) ñ÷èòàþò
àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûì
,
íåóñòîé÷èâûì
èëè
ïðîñòî
óñòîé÷èâûì
.
Ïðè ÷èñëåííîì èíòåãðèðîâàíèè äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (*) çàìåíÿþò
ðàçíîñòíûì óðàâíåíèåì, óñòîé÷èâîñòü êîòîðîãî çàâèñèò óæå íå òîëüêî îò ñïåê-
òðà ìàòðèöû
A
, íî è îò ïàðàìåòðîâ ðàçíîñòíîé ñõåìû. Äëÿ îöåíêè óñòîé÷èâîñòè
ðàçíîñòíûõ ñõåì ðàñùåïèì ñèñòåìó (*) íà
m
íåñâÿçàííûõ óðàâíåíèé, ò. å. ïðåîá-
ðàçóåì åå ê äèàãîíàëüíîìó âèäó
&
,
, , ..., ;
y
y
k
m
k
k k
=
=
l
1 2
&
{ }
, ( )
,
[ , ]
y
y y
y
S x
k
k
m
,
R
t
T
=
Î
=
Î
-
diag
l
0
0
1
0
(**)
ïóòåì çàìåíû ïåðåìåííûõ
x
=
Sy
, ãäå
S
— ìàòðèöà ïðàâûõ ñîáñòâåííûõ âåêòî-
ðîâ ìàòðèöû
A
. Òàê êàê õàðàêòåðèñòèêè óñòîé÷èâîñòè ýòîé ïîñëåäíåé ñèñòåìû
Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì
71
è ñèñòåìû (*) ñîâïàäàþò, òî äëÿ ïîëó÷åíèÿ îöåíîê óñòîé÷èâîñòè ðàçíîñòíûõ
ñõåì ìîæíî ðàññìàòðèâàòü îòäåëüíî óðàâíåíèå
&
, ( )
,
x
x x
x
=
=
l
0
0
(***)
ïðåäñòàâëÿþùåå ñîáîé îáîáùåííóþ çàïèñü ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ. Êîýôôè-
öèåíò
l
â ýòîì óðàâíåíèè â îáùåì ñëó÷àå ñ÷èòàþò êîìïëåêñíûì è ðàâíûì
l = a
+
j
w
, ïîñêîëüêó êîìïëåêñíûìè ìîãóò áûòü ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ
l
k
ìàòðè-
öû
À
.
Ïðèìåíèì äëÿ ðåøåíèÿ ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå ÿâíîãî
ìåòîäà Ýéëåðà
$
$
$
$
(
)
$
.
x
x
h x
x
h x
n
n
n
n
n
+
+
=
+
= +
1
1
1
l
l
èëè
Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ, äèñêðåòíîãî àíàëîãà îäíîðîäíîãî äèôôåðåíöèàëü-
íîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà
&
x
x
= l
, ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå
$
x
n
n
= r r
0
.
Òîãäà
r
0
r
n
+1
=
(1 +
l
h
)
r
0
r
n
, îòêóäà
r
l
l
r
= +
= +
=
1
1
0
0
h x
h
x
n
n
,
$
(
) ,
.
Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî òàêîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
&
x
x
= l
âûòåêàåò èç ïðèáëèæåí-
íîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ðåøåíèÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà â äèñ-
êðåòíûå ìîìåíòû âðåìåíè:
x t
x nh
x
x e
x e
x
h
h
n
n
n h
h n
( )
( )
( )
( )
!
=
=
=
=
=
+
+
+
æ
è
ç
0
0
0
2
1
2
l
l
l
l
K
ç
ö
ø
÷÷ »
+
n
n
x
h
0
1
(
) .
l
Åñëè
l
< 0 è
h
èìååò òàêîå çíà÷åíèå, ÷òî |
|
1
1
+
>
l
h
, òî àáñîëþòíîå çíà÷åíèå
ðåøåíèÿ
x
n
óâåëè÷èâàåòñÿ, â òî âðåìÿ êàê òî÷íîå ðåøåíèå ìîíîòîííî óáûâàåò
ñ ðîñòîì
n
.
Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå ïðèìåðà ñëó÷àé
l =
–0,5 c
–1
,
h
=
4,1 c. Òîãäà
l
h
=
–2,05;
1 +
l
h
=
–1,05. Òî÷íîå ðåøåíèå
x
0
e
–2,05
n
ìîíîòîííî óáûâàåò ñ óâåëè÷åíèåì
n
=
0, 1, 2, … (òàáë. 9.3).
Òàáëèöà
9.3
n
0
1
2
3
4
5
e
n
-
2 05
,
1
0,12835
0,01657
0,00213
0,00027
0,000035
(
)
1
+ l
h
n
1
–1,05
1,1025
–1,1576
1,2155
–1,2763
Ðåøåíèå æå ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ çíàêîïåðåìåííûì è ðàñòóùèì
ïî àáñîëþòíîìó çíà÷åíèþ (òàáë. 9.3). Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ îáåñïå÷åíèÿ àñèìï-
òîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèÿ ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ íåîáõîäèìî, ÷òîáû
|
|
1
1
+
<
l
h
èëè (1 +
h
a
)
2
+ (
h
w
)
2
< 1, ãäå
a =
Re
l
;
w =
Im
l
. Ìíîæåñòâî çíà÷å-
íèé
h
l
, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèÿ
ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ äëÿ òåñòîâîãî óðàâíåíèÿ (***), íàçûâàþò
îáëàñòüþ
óñòîé÷èâîñòè ìåòîäà
, ñîîòâåòñòâóþùåãî ýòîìó ðàçíîñòíîìó óðàâíåíèþ, â êîì-
ïëåêñíîé ïëîñêîñòè
h
l
. Òàêèì îáðàçîì, îáëàñòüþ óñòîé÷èâîñòè ÿâíîãî ìåòîäà
Ýéëåðà ÿâëÿåòñÿ âíóòðåííîñòü êðóãà åäèíè÷íîãî ðàäèóñà ñ öåíòðîì
h
w =
0,
h
a =
–1 (ðèñ. 9.33). Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî ïðè ÷èñòî ìíèìîì
l
(
a =
0)
72
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé