Материал: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.2.2003
îãðàíè÷åí çíà÷åíèåì
h
< 10
–10
, îïðåäåëÿåìûì ìèíèìàëüíîé ïîñòîÿííîé âðåìå-
íè
t
min
= t
1
= |
1/
l
1
| »
0,5
×
10
–10
ñ. Äëèòåëüíîñòü ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà çàâèñèò îò
ìàêñèìàëüíîé ïîñòîÿííîé âðåìåíè öåïè:
|
|
(
)
(
)
(
)
( ,
, )
max
3 5
3 5
3 5 1
0 3 0 5
2
2
K
K
K
K
t
t
l
=
=
=
c.
Òàêèì îáðàçîì, ïðèìåíåíèå ÿâíîãî ìåòîäà Ýéëåðà äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ ðàñ-
ñìàòðèâàåìîãî óðàâíåíèÿ íà èíòåðâàëå
T
=
0,5 ñ ïîòðåáîâàëî áû áîëåå 5 ìëðä (!)
øàãîâ è, ñîîòâåòñòâåííî, çíà÷èòåëüíûõ çàòðàò êîìïüþòåðíîãî âðåìåíè äëÿ ðå-
øåíèÿ äîñòàòî÷íî ïðîñòîé çàäà÷è. Ó÷èòûâàÿ îãðàíè÷åííîñòü ðàçðÿäíîé ñåòêè
ðåàëüíûõ êîìïüþòåðîâ è îáóñëîâëåííûå ýòèì îøèáêè îêðóãëåíèÿ, ïðè ñîîòíî-
øåíèè øàãà
h
< 10
–10
è èíòåðâàëà èíòåãðèðîâàíèÿ
T
=
0,5 ñ ïîëó÷èòü ÷èñëåííîå
ðåøåíèå ïðèâåäåííîãî óðàâíåíèÿ ñ óäîâëåòâîðèòåëüíîé òî÷íîñòüþ íå ïðåäñòàâ-
ëÿåòñÿ âîçìîæíûì. Àíàëîãè÷íûå òðóäíîñòè âîçíèêàþò è ïðè èñïîëüçîâàíèè äðó-
ãèõ ÿâíûõ êëàññè÷åñêèõ ìåòîäîâ, íàïðèìåð ìåòîäîâ Ðóíãå—Êóòòà. Äåëî â òîì,
÷òî â ÿâíûõ êëàññè÷åñêèõ ìåòîäàõ èíòåãðèðîâàíèÿ ìàêñèìàëüíûé øàã èíòåãðè-
ðîâàíèÿ îãðàíè÷èâàþò ïî óñëîâèÿì îáåñïå÷åíèÿ êàê ëîêàëüíîé òî÷íîñòè ðåøå-
íèÿ, òàê è åãî óñòîé÷èâîñòè (ñì. § 9.15). Ïîýòîìó â ýòèõ ìåòîäàõ øàã èíòåãðèðî-
âàíèÿ íå ìîæåò áûòü óâåëè÷åí äàæå íà òåõ èíòåðâàëàõ, ãäå ðåøåíèå èçìåíÿåòñÿ
ïëàâíî.  ðàññìîòðåííîì ïðèìåðå ýòî îòíîñèòñÿ ê ó÷àñòêó
t
³ t
ïñ
(ñì. ðèñ. 9.38).
Äåéñòâèòåëüíî, òî÷íîìó ðåøåíèþ äàííîãî óðàâíåíèÿ íà (
n
+ 1)-ì øàãå
x
x
x
x e
x e
n
n
n
n
h
n
h
+
+
+
=
+
=
+
1
1 1
2 1
1
2
1
2
l
l
ñîîòâåòñòâóåò ðåøåíèå ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ
$
$
$
,
x
x
x
n
n
n
+
=
+
1
1
1
2
2
r
r
ãäå
r
1
=
f
(
l
1
h
);
r
2
=
f
(
l
2
h
). Òàêèì îáðàçîì, ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ
n
, à ñëåäîâàòåëü-
íî, è
t
íåçàâèñèìî îò õàðàêòåðà ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà íàðóøåíèå óñëîâèÿ óñòîé-
÷èâîñòè èç-çà óâåëè÷åíèÿ øàãà ïðèâåäåò ê íåóñòîé÷èâîñòè ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ.
Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé ïðèìåð. Ïóñòü â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè
t
n
³ t
ïñ
,
êîãäà áûñòðîçàòóõàþùàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ óæå íåçíà÷èòåëüíà, øàã èíòåãðèðîâàíèÿ
óâåëè÷åí ñî çíà÷åíèÿ
h
1
=
0,5
t
min
=
0,5
l
1
1
-
=
0,25
×
10
–10
ñ äî çíà÷åíèÿ
h
2
=
0,5
t
max
=
=
-
0 5
2
1
,
l =
0,5
×
10
–1
ñ, ò. å. â
h
2
/
h
1
=
2
×
10
9
ðàç. Ðàññìîòðèì ïîâåäåíèå ñîñòàâëÿþùåé
$
x
n
1
r
1
ðåøåíèÿ ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ
$
$
$
x
x
x
n
n
n
+
=
+
1
1
1
2
2
r
r
, ñîîòâåòñòâóþùåé áû-
ñòðîçàòóõàþùåé ñîñòàâëÿþùåé
x
1
n
e
n
l
1
ðåøåíèÿ
x
n
+1
=
x
1
n
e
n
l
1
+
x
2
n
e
n
l
2
èñõîäíîé
çàäà÷è (òàáë. 9.4).
Òàáëèöà 9.4
Ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ
Ôóíêöèÿ
r
1
=
f
(
l
1
h
)
Çíà÷åíèå
$
x
n
1
1
r
ßâíûé ìåòîä Ýéëåðà
1 +
l
1
h
2
$
(
)
$
x
x
n
n
1
9
1
9
1 10
10
-
» -
×
Íåÿâíûé ìåòîä Ýéëåðà
(1 –
l
1
h
2
)
–1
$
(
)
$
x
x
n
n
1
9 1
1
9
1 10
10
+
»
×
-
-
Ìåòîä òðàïåöèé
(1 +
l
1
h
2
/2)(1 –
l
1
h
2
/2)
–1
$
(
)(
)
$
x
x
n
n
1
9
9
1
1
1 10 2 1 10 2
-
+
» -
-
Êàê âèäíî èç òàáë. 9.4, ïðè ïðèìåíåíèè ÿâíîãî ìåòîäà Ýéëåðà óâåëè÷åíèå
øàãà èíòåãðèðîâàíèÿ
h
ïðèâåëî ê ðåçêîìó (â ìèëëèàðä ðàç!) óâåëè÷åíèþ ïî ìî-
78
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
äóëþ ñîñòàâëÿþùåé
x
n
r
1
ðåøåíèÿ
x
n
+
1
ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ è, ñëåäîâàòåëüíî,
ê íåàäåêâàòíîñòè ðåøåíèÿ ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ ðåøåíèþ ðàññìàòðèâàåìîãî
óðàâíåíèÿ. Àíàëîãè÷íàÿ ñèòóàöèÿ âîçíèêàåò è ïðè èñïîëüçîâàíèè äðóãèõ ÿâ-
íûõ ìåòîäîâ ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ. Èíòåãðèðîâàíèå æåñòêèõ äèôôåðåí-
öèàëüíûõ óðàâíåíèé ìîæíî îñóùåñòâëÿòü íåÿâíûìè ìåòîäàìè, øàã â êîòîðûõ
âûáèðàþò â îñíîâíîì ïî óñëîâèÿì îáåñïå÷åíèÿ çàäàííîé òî÷íîñòè, è íà ó÷àñò-
êàõ ïëàâíîãî èçìåíåíèÿ ðåøåíèÿ îí ìîæåò áûòü óâåëè÷åí. Îäíàêî íåîáõîäèìî
çàìåòèòü, ÷òî íåÿâíûì ìåòîäàì ïðèñóùè íåäîñòàòêè, ñâÿçàííûå ñ èõ ïðàêòè÷å-
ñêîé ðåàëèçàöèåé, îñîáåííî ïðîÿâëÿþùèåñÿ èìåííî äëÿ æåñòêèõ ñèñòåì. Ê íèì
îòíîñèòñÿ, íàïðèìåð, íåîáõîäèìîñòü ðåøåíèÿ àëãåáðàè÷åñêèõ, â îáùåì ñëó÷àå
íåëèíåéíûõ, ñèñòåì óðàâíåíèé. Ïðè ýòîì âîçíèêàþò ïðîáëåìû âûáîðà ÷èñëåí-
íîãî ìåòîäà ðåøåíèÿ òàêèõ ñèñòåì, îïðåäåëåíèÿ íà÷àëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ äëÿ
èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà, îáåñïå÷åíèÿ ñõîäèìîñòè òàêîãî ïðîöåññà è ò. ä. Ñïåöè-
ôè÷åñêèå ñâîéñòâà àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì, âûÿâëÿåìûå ïðè èíòåãðèðîâàíèè íå-
ÿâíûìè ìåòîäàìè æåñòêèõ óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ, íàïðèìåð, ïëîõàÿ îáóñëîâëåí-
íîñòü ñèñòåì, çàòðóäíÿþò èõ ÷èñëåííóþ îáðàáîòêó. Òàêèì îáðàçîì, æåñòêîñòü
óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ ïîðîæäàåò ñóùåñòâåííûå âû÷èñëèòåëüíûå òðóäíîñòè èõ
èíòåãðèðîâàíèÿ.
Äàäèì, ñëåäóÿ Þ. Â. Ðàêèòñêîìó, ôîðìàëüíîå îïðåäåëåíèå æåñòêîé ñèñòåìû
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé:
&
( , ),
[ , ];
x f
=
Î
t x
t
T
0
x x
f
=
=
=
( ) [ ( )...
( )] ,
( , ) [ ( , )...
( , )]
t
x t
x t
t x
f t x
f t x
m
t
m
1
1
t
.
(*)
Ïðè ýòîì áóäåì èñõîäèòü èç òîãî, ÷òî äëÿ æåñòêèõ ñèñòåì çíà÷åíèÿ ïðîèç-
âîäíûõ ðåøåíèÿ, õàðàêòåðèçóþùèõ ñêîðîñòü åãî èçìåíåíèÿ, âíå ïîãðàíè÷íîãî
ñëîÿ
t
ïñ
<<
T
â
N
ðàç ìåíüøå (
N
>> 1), ÷åì âíóòðè íåãî.
Ëèíåàðèçèðóåì ïðàâóþ ÷àñòü ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ â îêðåñòíîñòè íà÷àëü-
íîé òî÷êè:
f x
f x
f
x
x x
( , )
( ,
)
(
) ... .
t
t
=
+
-
+
0
0
¶
¶
Ïðîèçâîäíûå êîìïîíåíò âåêòîðà
x
(
t
) ïðè
t
Î [
0,
t
ïñ
]
ìîãóò äîñòèãàòü çíà÷åíèé
L
max
|
x
k
(
t
)
|
, ãäå
L
— ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâó 0
<
£ ¶ ¶
L
f x
; çäåñü
¶ ¶
f x
— íîðìà ìàòðèöû ßêîáè
¶
f
/
¶
x
,
t
Î
[0,
T
].
Ñèñòåìó (*) íàçûâàþò æåñòêîé, åñëè ïðè ëþáîì âåêòîðå íà÷àëüíûõ óñëîâèé
íàéäóòñÿ òàêèå ÷èñëà
t
ïñ
<
T
, 0 <
L
£ ¶ ¶
f x
,
N
> 1, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ
íåðàâåíñòâî
| |
|
|
[ ]
&
,
, , ..., .
x
L
N
x t
k
m
k t
k
t
T
³
Î
£
=
t
ïñ
max
( )
0,
1 2
Îòìåòèì îäíó âàæíóþ îñîáåííîñòü äàííîãî îïðåäåëåíèÿ, çàêëþ÷àþùóþñÿ â
òîì, ÷òî ïîíÿòèå æåñòêîñòè ñâÿçûâàåòñÿ ñ èíòåðâàëîì íàáëþäåíèÿ ðåøåíèÿ
t
Î
[0,
T
]. Åñëè æåñòêóþ íà èíòåðâàëå
t
Î [0,
T
] ñèñòåìó ðàññìàòðèâàòü ëèøü íà
ïîäûíòåðâàëå
t
Î [0, t
ïñ
], òî åå íåëüçÿ óæå ñ÷èòàòü æåñòêîé, òàê êàê çäåñü óæå íå
Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì
79
íàáëþäàåòñÿ òîãî ðàçëè÷èÿ â õàðàêòåðå ïîâåäåíèÿ ðåøåíèÿ, êîòîðîå ïîëîæåíî
â îñíîâó ïîíÿòèÿ æåñòêîñòè. Çàìåòèì, ÷òî è èíòåãðèðîâàíèå ïîäîáíîé ñèñòåìû
íà èíòåðâàëå
t
Î
[0,
t
ïñ
] íå ñâÿçàíî ñ êàêèìè-ëèáî ñëîæíîñòÿìè äàæå ïðè èñ-
ïîëüçîâàíèè ÿâíûõ êëàññè÷åñêèõ ìåòîäîâ.
Åñëè äàííîå îïðåäåëåíèå æåñòêîñòè ïðèìåíèòü ê ëèíåéíîé ñèñòåìå äèôôå-
ðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
&
,
,
[ , ],
x Ax
x
=
Î
Î
R
t
T
m
0
òî ìîæíî ïðèéòè ê ñëåäóþùèì óñëîâèÿì äëÿ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé
l
j
,
j
=
1, 2, ...,
m,
ìàòðèöû
A
æåñòêîé ñèñòåìû:
| |
| |
l
l
l
l
l t
j
j
j
j
e
L
N
L
N
j
Re
,
Re
;
,
Re
,
ïñ
åñëè
åñëè
£
£
£
³
0
0
ãäå
L
=
max
j
|l
j
|
;
N
>>1;
t
ïñ
<<
T
.
Îöåíèì æåñòêîñòü ñèñòåìû óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ öåïè íà ðèñ. 9.37 ïðè óñëî-
âèè, ÷òî èíòåðâàë íàáëþäåíèÿ
t
Î
[0,
T
], ãäå
T
=
0,5 ñ, åñëè
l
1
=
–2
×
10
10
;
l
2
=
–10;
L
= |l
1
| =
2
×
10
10
.
Ñ÷èòàÿ
t
ïñ
=
5
t
min
=
5
|
1/
l
max
| =
2,5
×
10
–10
ñ;
N
=
100, ïîëó÷àåì, ÷òî äàííàÿ ñèñòåìà
æåñòêàÿ, ïîñêîëüêó äëÿ íåå âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà
| |
| |
l
l
l t
l t
1
10
5
10
2
2 10
2 10
1
100
10
e
e
L
N
e
e
j
j
Re
Re
;
ïñ
ïñ
= ×
£
= ×
×
=
-
-
×
-
£
= ×
2 5 10
8
9
2 10
,
.
L
N
 çàêëþ÷åíèå îñòàíîâèìñÿ íà ñâîéñòâå æåñòêèõ ñèñòåì, ïîÿñíÿþùåì ÿâ-
ëåíèå æåñòêîñòè è ïîçâîëÿþùåì ïî-íîâîìó ïîäîéòè ê ïðîáëåìå îáðàáîòêè ýòèõ
ñèñòåì. Äëÿ îáîñíîâàíèÿ ýòîãî ñâîéñòâà ñíîâà îáðàòèìñÿ ê ðåøåíèþ
i
L
=
C
1
e
t
l
1
+
+
C
2
e
t
l
2
,
t
Î
[0,
T
] æåñòêîé ñèñòåìû óðàâíåíèé öåïè (ñì. ðèñ. 9.37). Çàìåòèì, ÷òî
íà èíòåðâàëå ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ
t
Î
[0,
t
ïñ
], ãäå
t
ïñ
=
5/
|l
1
| =
2,5
×
10
–10
ñ, ýêñïîíåíòó
e
e
t
t
l
2
10
=
-
ìîæíî ñ áîëüøîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè ñ÷èòàòü ðàâíîé åäèíèöå. Òîãäà
ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå
i
i
C
C e
U
R
e
U
R
e
L
t
t
R
L
t
» =
+
=
-
»
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
-
1
2
1
0
0
1
1
1
1
l
l
(
)
.
80
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ðèñ. 9.39
Òàêîìó ðåøåíèþ (ðèñ. 9.39,
à
) ñîîòâåòñòâóåò óðàâíåíèå áîëåå ïðîñòîé öåïè
(ðèñ. 9.40,
à
), ñîäåðæàùåé òîëüêî îäèí íàêîïèòåëü ýíåðãèè. Íà èíòåðâàëå, ñëå-
äóþùåì çà ïîãðàíè÷íûì ñëîåì
t
Î
[
t
ïñ
,
T
], ñîñòàâëÿþùóþ ðåøåíèÿ
C
1
e
t
l
1
ìîæíî
ñ÷èòàòü ïðàêòè÷åñêè ðàâíîé íóëþ. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ íà ýòîì èíòåðâàëå ìîæåò
áûòü çàïèñàíî â âèäå
i
i
C e
U
R
e
U
R
e
t
T
L
t
t
RC
t
»
=
=
»
Î
2
2
0
0
1
2
2
l
l
t
,
[ , ].
ïñ
Ýòîìó âûðàæåíèþ (ðèñ. 9.39,
á
) òàêæå ñîîòâåòñòâóåò óðàâíåíèå áîëåå ïðî-
ñòîé öåïè (ðèñ. 9.40,
á
), èìåþùåé òîëüêî îäèí íàêîïèòåëü ýíåðãèè. Óðàâíåíèÿ
öåïåé, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. 9.40,
à
,
á
, îïèñûâàþùèå, ñîîòâåòñòâåííî, áûñòðûå è
ìåäëåííûå ïðîöåññû, íå ÿâëÿþòñÿ æåñòêèìè. Æåñòêîñòü æå èñõîäíîãî óðàâíå-
íèÿ îáóñëîâëåíà îáúåäèíåíèåì îïèñàíèÿ ñòîëü ðàçëè÷íûõ ïî õàðàêòåðó ïðîöåñ-
ñîâ. Òàêèì îáðàçîì, îäíèì èç ïåðñïåêòèâíûõ ïóòåé îáðàáîòêè æåñòêèõ ñèñòåìå
óðàâíåíèé ÿâëÿåòñÿ êîððåêòèðîâêà ñàìèõ ñèñòåì, ïîçâîëÿþùàÿ ðàçäåëèòü îïè-
ñàíèå áûñòðûõ è ìåäëåííûõ ïðîöåññîâ. Â ðàññìîòðåííîì ïðèìåðå òàêîå ðàç-
äåëüíîå îïèñàíèå ïðîöåññîâ ìîãëî áûòü âûïîëíåíî àïðèîðè, ïîñêîëüêó ôèçè÷å-
ñêàÿ êàðòèíà äîñòàòî÷íî ÿñíà.  òîì ñëó÷àå, êîãäà ðàññìàòðèâàþòñÿ æåñòêèå
óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ áîëåå ñëîæíûõ îáúåêòîâ, â êîòîðûõ ôèçèêà ïðîöåññîâ çà-
ðàíåå íå ÿñíà, óïðîùåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé íà ðàçíûõ èíòåðâàëàõ ìîæíî
äîñòè÷ü ëèøü ÷èñòî ìàòåìàòè÷åñêèìè ñðåäñòâàìè. Èñïîëüçîâàíèå ïðîöåäóðû
êîððåêòèðîâêè ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè, èñêëþ÷àþùåé åå æåñòêîñòü íà îòäåëü-
íûõ âðåìåííûõ èíòåðâàëàõ, ïîçâîëèëî áû ýôôåêòèâíî ïðèìåíÿòü ñàìûå ïðî-
ñòûå è ïîýòîìó íàèáîëåå íàäåæíûå ìåòîäû ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ, òàêèå,
íàïðèìåð, êàê ÿâíûé ìåòîä Ýéëåðà.
9.17. Ñèñòåìíûå ìåòîäû ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ
óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
 ïàññèâíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ ñ ðåçèñòîðàìè ïåðåõîäíûå ïðîöåññû, ñâÿçàí-
íûå ñ èçìåíåíèåì ýíåðãåòè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, ïîñòåïåííî
çàòóõàþò.  ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ ïðåõîäÿùèå ñîñòàâëÿþùèå òîêîâ è
íàïðÿæåíèé ïðåäñòàâëåíû ñóììîé ýêñïîíåíöèàëüíûõ ÷ëåíîâ, êîòîðûå îáû÷íî
óìåíüøàþòñÿ ñî âðåìåíåì. Ñêîðîñòü óìåíüøåíèÿ ýòèõ ñîñòàâëÿþùèõ îïðåäåëÿ-
åòñÿ îòðèöàòåëüíûìè âåùåñòâåííûìè ÷àñòÿìè ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ìàòðèöû
A
.
Äëÿ ïàññèâíûõ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ÷åì áîëüøå ïî ìîäóëþ âåùåñò-
âåííàÿ ÷àñòü ñîáñòâåííîãî ÷èñëà, òåì ñêîðåå óìåíüøàåòñÿ âëèÿíèå äàííîãî ÷ëå-
íà íà ïîñëåäóþùèé ïðîöåññ.
Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì
81
Ðèñ. 9.40
 æåñòêèõ ñèñòåìàõ ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû
A
ñãðóïïèðîâàíû òàêèì îá-
ðàçîì, ÷òî çíà÷åíèÿ èõ âåùåñòâåííûõ ÷àñòåé â îäíèõ ãðóïïàõ
a
1
, …,
a
i
ñóùåñò-
âåííî îòëè÷àþòñÿ îò çíà÷åíèé ýòèõ ÷àñòåé
a
i
+1
, …,
a
j
äðóãèõ ãðóïï, â òî âðåìÿ êàê
âíóòðè äàííîé ãðóïïû ýòè çíà÷åíèÿ ðàçëè÷àþòñÿ íåçíà÷èòåëüíî. Äëÿ èñêëþ-
÷åíèÿ íåîïðåäåëåííîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî òàêîå ïîëîæåíèå èìååò ìåñòî, åñëè
íàèáîëüøåå ïî ìîäóëþ çíà÷åíèå
a
i
+1
(
a
j
+1
) ïîñëåäóþùåé ãðóïïû ïðèìåðíî íà
ïîðÿäîê ìåíüøå íàèìåíüøåãî çíà÷åíèÿ
a
i
(
a
j
) ïðåäûäóùåé ãðóïïû.
Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ ìîæíî âûäåëèòü íåêîòîðûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè
t
ïñ
i
(
t
ïñ
j
), ïî èñòå÷åíèè êîòîðîãî âëèÿíèåì ýêñïîíåíò, ñîîòâåòñòâóþùèõ ýòèì ãðóï-
ïàì ñîáñòâåííûõ ÷èñåë, ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Ïîñëå ìîìåíòà âðåìåíè
t
ïñ
i
ìîæíî
ïðåíåáðå÷ü ÷ëåíàìè, ñîîòâåòñòâóþùèìè
a
1
, …,
a
i
, à ïîñëå ìîìåíòà âðåìåíè
t
ïñ
j
òàêæå è ÷ëåíàìè, ñîîòâåòñòâóþùèìè
a
i
+1
, …,
a
j
.
Ñ òî÷êè çðåíèÿ ðàöèîíàëüíîãî âûïîëíåíèÿ âû÷èñëåíèé öåëåñîîáðàçíî óâå-
ëè÷èâàòü øàã èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ìåðå çàòóõàíèÿ ýêñïîíåíò, ñîîòâåòñòâóþùèõ
áîëüøèì ñîáñòâåííûì ÷èñëàì, îïðåäåëÿþùèì ìàëûé øàã èíòåãðèðîâàíèÿ. Îä-
íàêî, êàê ïîêàçàíî â § 9.15, òàêîå óâåëè÷åíèå íå ìîæåò áûòü ïðîèçâåäåíî äëÿ
ñèñòåìû óðàâíåíèé èç-çà íàðóøåíèÿ óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè ðàçíîñòíîãî ìåòîäà.
Òàêîå ïîñëåäîâàòåëüíîå óâåëè÷åíèå øàãà èíòåãðèðîâàíèÿ ìîæåò áûòü ïðîèç-
âåäåíî íà îñíîâå ìåòîäà, íàçâàííîãî åãî àâòîðîì, ïðîôåññîðîì Ëåíèíãðàäñêîãî
ïîëèòåõíè÷åñêîãî èíñòèòóòà Þ. B. Ðàêèòñêèì
ñèñòåìíûì
. Ýòîò ìåòîä îñíîâàí
íà ïðåäëîæåííîì Þ. B. Ðàêèòñêèì ñëåäóþùåì ñïîñîáå âû÷èñëåíèÿ:
exp(
),
exp( )
,
A
A
b
H
d
H
t t
0
ò
ãäå
H
=
2
N
h
,
b
=
[
b
1
,
b
2
, …,
b
m
]
t
— âåêòîð;
A
— êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ðàçìåðíî-
ñòüþ
m
´
m
.
Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî
exp(
) (exp(
)) ,
exp( )
exp( )
A
A
A
A
2
2
1
2
0
2
1
n
n
h
h
h
d
d
n
+
=
=
+
ò
t t
t t
0
2
1
2
n
h
n
h
ò
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷ +
( exp(
)).
A
Åñëè
exp( )
,
exp( )
,
exp( )
,
A
A
Ô
A
b g
Ô b
h
d
d
h
h
=
=
=
=
ò
ò
jj
t t
t t
0
0
0
0
0
0
òî ïðèâåäåííûå âûðàæåíèÿ ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â âèäå ðåêóððåíòíûõ îò-
íîøåíèé
jj
jj
jj
k
k
k
k
k
k
k
+
+
+
+
=
=
+
=
1
2
1
1
1
1
;
(
),
.
Ô
Ô
g
Ô b
Åñëè
exp( )
!
( ) ;
A
1
A
t
k
t
k
k
= +
=
¥
å
1
1
exp( )
(
) !
(
) !
0
1
1
1
1
1
1
1
t
k k
k
d
t
k
t
t
k
ò
å
= × +
+
= × +
+
+
=
¥
-
A
1
A
1 A
t t
( ) ,
A
t
k
k
+
=
¥
å
1
1
82
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé