Материал: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.2.2003

äóêòèâíîñòè, è åìêîñòè ìîæåì ïðåäñòàâèòü ýêâèâàëåíòíûå ñõåìû èëè â âèäå

ðèñ. 22.6, èëè â âèäå ðèñ. 22.7. Îáå ñõåìû ïðèáëèæåííûå, òàê êàê â äåéñòâèòåëü-

íîñòè è èíäóêòèâíîñòü, è åìêîñòü ÿâëÿþòñÿ ðàñïðåäåëåííûìè. Ñîñòàâëÿÿ äëÿ

ñõåì ðèñ. 22.6 è 22.7 óðàâíåíèÿ è ðåøàÿ èõ äëÿ ìàëîãî îòêëîíåíèÿ

h

îò ñîñòîÿ-

íèÿ ðàâíîâåñèÿ, ïîëó÷èì òàêæå ðàçëè÷íûå îòâåòû â îòíîøåíèè òî÷åê óñòîé÷è-

âîãî ðàâíîâåñèÿ.

Òàê, íàïðèìåð, äëÿ ñõåìû ðèñ. 22.6 èìååì óðàâíåíèÿ:

i

i

i u

ri

L di

dt

u

C

i dt u

L di

dt

u.

t

1

0

1

0

1

0

=

+

=

+

+

+

=

+

ò

C

C

C

;

;

( )

Èñêëþ÷èâ èç íèõ

i

C

è

i

1

, ïîëó÷èì

u

rCL d i

dt

L di

dt

ri rC du

dt

u

0

2

2

=

+

+ +

+

.

Ïðèíèìàÿ

i

=

i

p

+

h

, èìååì

u u du

di

d u

di

i i

i i

= æ

è

ç

ö
ø

÷

+

æ
è

çç

ö
ø

÷÷

+

=

=

p

p

p

h

h

1

2

2

2

2

K

è, îãðàíè÷è-

âàÿñü ïåðâûìè äâóìÿ ÷ëåíàìè, íàõîäèì

u

=

u

ð

+

r

ä

h

. Òîãäà äëÿ ìàëîãî îòêëîíå-

íèÿ

h

òîêà îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ïîëó÷àåì óðàâíåíèå

0

2

2

=

+

+

+

+

rCL d

dt

L d

dt

r

rr C d

dt

r

h

h

h

h

h

ä

ä

(*)

èëè

d

dt

d

dt

2

2

0

2

2

h

d h w h = 0

+

+

, ãäå 2

1

d =

+

rC

r

L

ä

è

w

0

2

=

+

r r

rCL

ä

.

Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî óðàâíåíèå (*) ïåðåõîäèò â óðàâíåíèå, ðàññìîòðåííîå

â § 22.2 ïðè

Ñ

=

0, è â óðàâíåíèå, ðàññìîòðåííîå â § 22.3 ïðè

L

=

0.

Êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ðàâíû

a

= -d

d - w

1 2

2

0

2

,

.

±

Åñëè

w

0

2

0

=

+

<

r r

rCL

ä

, ò. å.

r

+

r

ä

< 0, òî îáà êîðíÿ âåùåñòâåííû è îäèí êîðåíü

ïîëîæèòåëüíûé; ñëåäîâàòåëüíî, ðàç âîçíèêøåå îòêëîíåíèå

h

íàðàñòàåò ñî âðå-

ìåíåì è ñîñòîÿíèå

íåóñòîé÷èâîå.

Óñëîâèþ

r

+

r

ä

< 0 îòâå÷àåò òî÷êà

À.

Ãëàâà 22. Ýëåìåíòû òåîðèè êîëåáàíèé è ìåòîäû ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ

443

Ðèñ. 22.5

Ðèñ. 22.6

Ðèñ. 22.7

Åñëè

w

0

2

0

>

, ò. å.

r

+

r

ä

> 0, òî ñîñòîÿíèå õàðàêòåðèçóåòñÿ òî÷êîé

Â.

Ïðè ýòîì

êîðíè

a

1

è

a

2

ìîãóò áûòü âåùåñòâåííûìè èëè êîìïëåêñíûìè. Ïðè óñëîâèè

d

> 0

âåùåñòâåííûå ÷àñòè îáîèõ êîðíåé îòðèöàòåëüíû, ðàç âîçíèêøåå îòêëîíåíèå

h

çàòóõàåò âî âðåìåíè è ñîñòîÿíèå

óñòîé÷èâîå.

Ïðè

d

< 0 ñîñòîÿíèå

íåóñòîé÷èâîå.

Ñîñòàâëÿÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì óðàâíåíèÿ äëÿ ñõåìû íà ðèñ. 22.7 è ðåøàÿ

èõ äëÿ ìàëîãî îòêëîíåíèÿ

h

îò ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ, ïîëó÷èì óðàâíåíèå

d

dt

d

dt

2

2

0

2

2

h

d h w h = 0

+

+

, ãäå 2

1

d =

+

r C

r

L

ä

è

w

0

2

=

+

r r

r CL

ä

ä

.

Òåïåðü

w

0

2

< 0 ïðè

r

+

r

ä

> 0, è, ñëåäîâàòåëüíî,

íåóñòîé÷èâîé

áóäåò òî÷êà

B

.

 ñëó÷àå

w

0

2

> 0 òî÷êà

À

áóäåò

óñòîé÷èâîé

ïðè

d

> 0 è

íåóñòîé÷èâîé

ïðè

d

< 0.

Èòàê, â çàâèñèìîñòè îò âûáîðà ýêâèâàëåíòíîé ñõåìû îòâåò ïîëó÷àåòñÿ ðàç-

ëè÷íûì.

Ñîïîñòàâëÿÿ ðåçóëüòàò, ïîëó÷åííûé â § 22.3 ïðè

L

=

0

,

êîãäà óñòîé÷èâîé áûëà

òî÷êà

À,

ñ ðåçóëüòàòîì ïî ñõåìå ðèñ. 22.6 ïðè

L

¹

0, êîãäà òî÷êà

À

îêàçàëàñü íå-

óñòîé÷èâîé ïðè ëþáîì ñêîëü óãîäíî ìàëîì, íî êîíå÷íîì çíà÷åíèè

L

, âèäèì, ÷òî

÷ðåçâû÷àéíî âàæíî ó÷èòûâàòü äàæå ìàëûå ïàðàìåòðû. Ñîïîñòàâëåíèå æå ðåçóëü-

òàòîâ ïî ðèñ. 22.6 è 22.7 ïîêàçûâàåò, ÷òî ñòîëü æå âàæíî ïðàâèëüíî îòðàçèòü

â ýêâèâàëåíòíîé ñõåìå âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïàðàìåòðîâ

L

è

Ñ.

Ýòî çàâèñèò îò

õàðàêòåðà ñàìîãî íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà. Åñëè îí èìååò ïðåèìóùåñòâåííî èí-

äóêòèâíûé õàðàêòåð, ò. å. â íåì ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïðåîáëàäàåò íàä ýíåð-

ãèåé ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, ÷òî, íàïðèìåð, íàáëþäàåòñÿ ïðè ýëåêòðè÷åñêîé äóãå,

ñóùåñòâóþùåé ïðè áîëüøèõ òîêàõ è ìàëûõ íàïðÿæåíèÿõ, òî ñëåäóåò èçáðàòü ñõå-

ìó ðèñ. 22.6. Åñëè íåëèíåéíûé ýëåìåíò èìååò ïðåèìóùåñòâåííî åìêîñòíûé õà-

ðàêòåð, ò. å. â íåì ýíåðãèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ïðåîáëàäàåò íàä ýíåðãèåé ìàã-

íèòíîãî ïîëÿ, ÷òî íàáëþäàåòñÿ, íàïðèìåð, â íåîíîâîé ëàìïå, ðàáîòàþùåé ïðè

ñðàâíèòåëüíî áîëüøèõ íàïðÿæåíèÿõ è íè÷òîæíûõ òîêàõ, òî ñëåäóåò èçáðàòü ñõå-

ìó íà ðèñ. 22.7.

22.5. Îáùèå ñîîáðàæåíèÿ îá óñòîé÷èâîñòè ðåæèìà

â ñëîæíûõ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ,

ïèòàåìûõ îò èñòî÷íèêîâ ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ

 îáùåì ñëó÷àå äëÿ ñëîæíîé öåïè, âêëþ÷åííîé ïîä äåéñòâèå ïîñòîÿííîãî íà-

ïðÿæåíèÿ è ñîäåðæàùåé íåëèíåéíûå ñîïðîòèâëåíèÿ ñ ïàäàþùèìè ó÷àñòêàìè

õàðàêòåðèñòèê, à òàêæå ñîäåðæàùåé â îòäåëüíûõ âåòâÿõ èíäóêòèâíûå êàòóøêè,

êîíäåíñàòîðû è ðåçèñòîðû ñ ïîñòîÿííûìè ïàðàìåòðàìè, äëÿ àíàëèçà óñòîé÷èâî-

ñòè çíà÷åíèé ïîñòîÿííûõ òîêîâ, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè ðåøåíèÿìè óðàâ-

íåíèé, îïèñûâàþùèõ ñèñòåìó, íåîáõîäèìî ïîëüçîâàòüñÿ òåì æå ìåòîäîì, êîòî-

ðûé áûë ïðèìåíåí ïðè ðàññìîòðåíèè ïðèâåäåííûõ â ïðåäûäóùèõ ïàðàãðàôàõ

ïðèìåðîâ.

Ñîñòàâèâ ïî çàêîíàì Êèðõãîôà ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé

íåëèíåéíîé öåïè è ðåøèâ åå, íàïðèìåð, ñ ïîìîùüþ ìåòîäîâ, èçëîæåííûõ â ãëà-

âå 20, íàõîäèì çíà÷åíèÿ ïîñòîÿííûõ òîêîâ â öåïè, îòâå÷àþùèå ñîñòîÿíèþ ðàâ-

íîâåñèÿ, è äèíàìè÷åñêèå ñîïðîòèâëåíèÿ íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ ïðè ýòèõ çíà÷å-

íèÿõ òîêîâ. Åñëè âñå ýòè ñîïðîòèâëåíèÿ ïîëîæèòåëüíû, òî ñîîòâåòñòâóþùåå

444

×àñòü 3. Òåîðèÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé

ðàâíîâåñèå óñòîé÷èâî. Åñëè æå õîòÿ áû îäíî äèíàìè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå îò-

ðèöàòåëüíî, òî íàäëåæèò èññëåäîâàòü âîïðîñ îá óñòîé÷èâîñòè ñîîòâåòñòâóþùå-

ãî ñîñòîÿíèÿ.

Äàâàÿ ìàëîå ïðèðàùåíèå

h

òîêó â îäíîì èç íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ, íàõîäèì,

ïîëüçóÿñü ñèñòåìîé óðàâíåíèé öåïè è íàéäåííûìè çíà÷åíèÿìè äèíàìè÷åñêèõ

ñîïðîòèâëåíèé, ïðèðàùåíèÿ âñåõ äðóãèõ òîêîâ è íàïðÿæåíèé. Ïðè ýòîì ñ÷èòà-

åì, ÷òî äèíàìè÷åñêèå ñîïðîòèâëåíèÿ íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ îñòàþòñÿ ïîñòîÿí-

íûìè ïðè ìàëûõ îòêëîíåíèÿõ îò ðàññìàòðèâàåìîãî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Ýòî

ñîîòâåòñòâóåò òîìó ïåðâîìó ïðèáëèæåíèþ, êîòîðîå áûëî ñäåëàíî â ïðèâåäåí-

íûõ ðàíåå ïðèìåðàõ ïðè îòáðàñûâàíèè ÷ëåíîâ ñ

h

â ñòåïåíÿõ, áîëüøèõ, ÷åì ïåð-

âàÿ. Ïî ñóòè äåëà, ïðèìåíÿÿ òàêîé ìåòîä, ìû ëèíåàðèçóåì õàðàêòåðèñòèêè íå-

ëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ âáëèçè òî÷åê ðàâíîâåñèÿ. Òàêîé ìåòîä, ñîîòâåòñòâåííî,

èíîãäà íàçûâàþò ìåòîäîì ë è í å à ð è ç à ö è è â ì à ë î ì.

Èìåÿ ñèñòåìó óðàâíåíèé ñ ïîëó÷èâøèìè ïðèðàùåíèÿ òîêàìè è ñèñòåìó óðàâ-

íåíèé ïðè ðàâíîâåñèè è âû÷èòàÿ âòîðóþ èç ïåðâîé, ïîëó÷àåì ñèñòåìó

ëèíåéíûõ

óðàâíåíèé äëÿ ïðèðàùåíèé òîêîâ èëè íàïðÿæåíèé ïðè óêàçàííîì ïåðâîì ïðè-

áëèæåíèè. Ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó îòíîñèòåëüíî ïðèðàùåíèé

h

îòäåëüíûõ òîêîâ, ïî-

ëó÷èì, âîîáùå ãîâîðÿ, ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ

n

-ãî ïîðÿäêà.

Àíàëèç ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ âáëèçè òî÷åê ðàâíîâåñèÿ äëÿ ìàëûõ îòêëîíå-

íèé ìîæíî ïðîèçâåñòè âñåìè ìåòîäàìè òåîðèè ëèíåéíûõ öåïåé. Äëÿ ýòîãî äîñ-

òàòî÷íî â èñõîäíîé öåïè, ñîäåðæàùåé â îáùåì ñëó÷àå èíäóêòèâíûå êàòóøêè,

êîíäåíñàòîðû è ðåçèñòîðû ñ íåëèíåéíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè, çàìåíèòü ýòè íå-

ëèíåéíûå ýëåìåíòû ëèíåéíûìè, ïàðàìåòðû êîòîðûõ ðàâíû äèôôåðåíöèàëüíûì

ïàðàìåòðàì

L

ä

,

C

ä

,

r

ä

. Åñëè â èñõîäíîé öåïè èìåþòñÿ ýëåìåíòû ñ ëèíåéíûìè õà-

ðàêòåðèñòèêàìè, òî îíè âíîñÿòñÿ â ðàñ÷åòíóþ ñõåìó áåç èçìåíåíèé, òàê êàê äëÿ

íèõ äèôôåðåíöèàëüíûå è ñòàòè÷åñêèå ïàðàìåòðû òîæäåñòâåííû.

Ïðè òàêîì ïîäõîäå ïîëó÷àåì âîçìîæíîñòü íåïîñðåäñòâåííî äëÿ ïðèðàùåíèé

ôîðìèðîâàòü ñèñòåìó óðàâíåíèé. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ, ñîîòâåòñò-

âóþùèå èì, èìåþò

ï

êîðíåé

a

k

, è ðåøåíèÿ ïðè îòñóòñòâèè êðàòíûõ êîðíåé èìå-

þò âèä

h

h

a

=

=

=

å

0

1

k

t

k

k n

e

k

.

Êîðíè

a

k

ìîãóò áûòü âñå âåùåñòâåííû èëè ìîãóò èìåòü â ñâîåì ñîñòàâå òàêæå

ïàðû ñîïðÿæåííûõ êîìïëåêñíûõ êîðíåé. Â ïîñëåäíåì ñëó÷àå ïðîèñõîäÿò êîëå-

áàòåëüíûå ïðîöåññû.

Ñ èíòåðåñóþùåé íàñ òî÷êè çðåíèÿ âàæíî ñëåäóþùåå:

åñëè âåùåñòâåííûå ÷àñ-

òè âñåõ êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ óðàâíåíèé îòðèöàòåëüíû, òî

h ®

0 ïðè

t

® ¥

, ïðîöåññ îêàçûâàåòñÿ çàòóõàþùèì è ðàññìàòðèâàåìîå

ñîñòîÿíèå ðàâíîâå-

ñèÿ óñòîé÷èâîå.

Åñëè õîòü îäèí êîðåíü èìååò ïîëîæèòåëüíóþ âåùåñòâåííóþ ÷àñòü, òî

h

íà-

ðàñòàåò ñ óâåëè÷åíèåì

t

è

ñîñòîÿíèå ðàâíîâåñèÿ íåóñòîé÷èâîå.

Åñëè ñèñòåìà óðàâíåíèé ñôîðìèðîâàíà îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ ñîñòîÿ-

íèÿ, òî àíàëèç óñòîé÷èâîñòè ìîæåò áûòü ïðîèçâåäåí è áåç îòûñêàíèÿ êîðíåé õà-

ðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ.

Ãëàâà 22. Ýëåìåíòû òåîðèè êîëåáàíèé è ìåòîäû ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ

445

Ïóñòü îòíîñèòåëüíî ïðèðàùåíèé òîêîâ â èíäóêòèâíûõ êàòóøêàõ è íàïðÿæå-

íèé íà çàæèìàõ êîíäåíñàòîðîâ (ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ) ïîëó÷åíà ñèñòåìà óðàâ-

íåíèé â âèäå

d

dt

C

L

C

L

C

L t

C

L

u

i

A

u

i

u

i

u

i

=

=

=

ïðè

0

0

0

( )

( )

,

ãäå

A

— ìàòðèöà, ñîñòàâëåííàÿ èç äèôôåðåíöèàëüíûõ ïàðàìåòðîâ ýëåìåíòîâ

öåïè ñîãëàñíî òîïîëîãè÷åñêèì îñîáåííîñòÿì öåïè. Çàìåòèì, ÷òî ïåðåõîäíûé

ïðîöåññ äëÿ ìàëûõ ïðèðàùåíèé ïðîèñõîäèò òîëüêî çà ñ÷åò ýíåðãèè ìàãíèòíûõ

ïîëåé èíäóêòèâíûõ êàòóøåê è ýíåðãèè ýëåêòðè÷åñêèõ ïîëåé êîíäåíñàòîðîâ, è

ïîýòîìó â îáîáùåííûõ âåòâÿõ îñòàþòñÿ òîëüêî ïàññèâíûå ýëåìåíòû. Äëÿ êîýô-

ôèöèåíòîâ õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ

a p

a p

a p

a p a

n

n

n

n

n

0

1

1

2

2

1

0

+

+

+ +

+

=

-

-

-

K

èìååì

a

k

=

(–1)

k

S

—

ãëàâíûå ìèíîðû

k

-ãî ïîðÿäêà.

Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå êðèòåðèé Ðàóñà—Ãóðâèöà (ñì. § 14.8), äëÿ âûÿñíåíèÿ

óñòîé÷èâîñòè ïðîöåññà äîñòàòî÷íî èññëåäîâàòü óñëîâèÿ

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

0

1

1

0

3

2

1

0

3

2

1

5

4

3

0

0

0

0

0

>

>

>

>

;

;

;

è ò. ä.

 êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì öåïü, ïðåäñòàâëåííóþ íà ðèñ. 22.8,

à

, ñîñòîÿ-

ùóþ â îáùåì ñëó÷àå òîëüêî èç íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ. Ýêâèâàëåíòíàÿ ñõåìà

ýòîé öåïè äëÿ ìàëûõ ïðèðàùåíèé ïðè óñëîâèè

U

0

=

const ïðåäñòàâëåíà íà

ðèñ. 22.8,

á

, à ãðàô ñõåìû — íà ðèñ. 22.8,

â.

Èç ãðàôà äëÿ ñå÷åíèÿ ïî âåòâè

2

äåðå-

âà èìååì

i

2

=

i

3

=

i

; äëÿ êîíòóðà, îáðàçîâàííîãî ñâÿçüþ

4

, èìååì

u

1

=

u

4

=

u

.

Äëÿ òîêîâ, îïðåäåëÿåìûõ ñå÷åíèåì

1

, è íàïðÿæåíèé, îïðåäåëÿåìûõ êîíòó-

ðîì, îáðàçîâàííûì ñâÿçüþ

3

, èìååì ñèñòåìó óðàâíåíèé:

C du

dt

u

r

i

du

dt

r C

u

C

i

ä

ä

ä

ä

ä

èëè

1

1

3

1

1

= -

+

= -

+

4

4

;

L di

dt

u

r i

di

dt

L

u

r
L

i

ä

ä

ä

ä

ä

èëè

3

1

3

1

= - -

= -

-

2

2

.

446

×àñòü 3. Òåîðèÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé

Ðèñ. 22.8

 ìàòðè÷íîé ôîðìå

d

dt

u

i

r C

C

L

r
L

u

i

u

i

=

-

-

-

=

1

1

1

ä

ä

ä

ä

ä

ä

4

2

A

.

Ãëàâíûé ìèíîð ïîðÿäêà 0 ðàâåí åäèíèöå. Ãëàâíûé ìèíîð ïåðâîãî ïîðÿäêà ðà-

âåí ñóììå äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ ñ îáðàòíûì çíàêîì. Ãëàâíûé ìèíîð âòîðîãî

ïîðÿäêà â äàííîì ñëó÷àå åñòü îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû

À

. Òàêèì îáðàçîì, èìååì

a

a

r

r

r

r

a

0

1

1

4

4

2

1

1

1

1

=

= -

-

-

æ
è

çç

ö
ø

÷÷ =

+

;

( )

;

ä

ä

ä

ä

ä

ä

C

L

C

L

ä

2

ä2

=

+

r

r

ä

ä

ä

ä

ä

ä

2

4

1

L C

L C

.

Óñëîâèÿìè óñòîé÷èâîñòè òî÷êè ðàâíîâåñèÿ áóäóò

1

0

1

1

0

4

4

r

r

r

r

ä

ä

ä

ä

ä

ä

ä

ä

è

C

L

L C

+

æ
è

çç

ö
ø

÷÷>

+

æ
è

çç

ö
ø

÷÷>

2

2

.

Ïðèâåäåííàÿ ðàíåå ìåòîäèêà èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè òî÷êè ðàâíîâå-

ñèÿ äëÿ ñëîæíûõ öåïåé òðåáóåò áîëüøîãî îáúåìà âû÷èñëåíèé. Òàê, íàïðèìåð,

÷èñëî ãëàâíûõ ìèíîðîâ

k

-ãî ïîðÿäêà äëÿ ìàòðèöû

À

ïîðÿäêà (

ï

´

ï

) ðàâíî

C

n

k

=

n

!/

k

!(

ï

–

k

)!

.

Ñóììàðíîå ÷èñëî îïåðàöèé äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîýôôèöèåí-

òîâ

à

k

õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ìàòðèö âûñîêîãî ïîðÿäêà ìîæåò îêàçàòü-

ñÿ ñëèøêîì áîëüøèì äàæå äëÿ ñîâðåìåííûõ ÝÂÌ. Ïîýòîìó äàííóþ ìåòîäèêó

öåëåñîîáðàçíî ïðèìåíÿòü äëÿ îòíîñèòåëüíî ïðîñòûõ öåïåé.

À. Ì. Ëÿïóíîâ äîêàçàë, ÷òî óêàçàííîå âûøå ïåðâîå ïðèáëèæåíèå, ïðèâîäÿ-

ùåå ê

ëèíåéíîñòè

óðàâíåíèé äëÿ ìàëûõ îòêëîíåíèé îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ,

âïîëíå äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ïî îòìå÷åííûì êðèòåðèÿì ñóäèòü îá óñòîé÷èâîñòè ñî-

ñòîÿíèÿ. Îñîáûì ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àé ïðè íóëåâûõ çíà÷åíèÿõ âåùåñòâåííîé ÷àñòè

êîðíåé, êîãäà íàäî ó÷èòûâàòü ÷ëåíû ñ

h

â áîëåå âûñîêîé ñòåïåíè, ÷åì ïåðâàÿ.

Åñëè áû ñèñòåìà óðàâíåíèé îñòàâàëàñü ëèíåéíîé ïðè ëþáûõ ñêîëü óãîäíî

áîëüøèõ

h

, òî â ñëó÷àå íåóñòîé÷èâîãî ñîñòîÿíèÿ ðàç âîçíèêøåå îòêëîíåíèå

h

âîçðàñòàëî áû äî áåñêîíå÷íîñòè. Â äåéñòâèòåëüíîñòè çàìåíà ó÷àñòêîâ õàðàê-

òåðèñòèê íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ âáëèçè òî÷åê ðàâíîâåñèÿ îòðåçêàìè ïðÿìûõ

äîïóñòèìà òîëüêî ïðè ìàëûõ îòêëîíåíèÿõ

h

îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ.

Ïðè

áîëüøèõ

h

íàäî ó÷èòûâàòü íåëèíåéíîñòü õàðàêòåðèñòèê.

Ýòî ìîæåò ïðèâåñòè

ê îãðàíè÷åíèþ ïîëó÷àþùèõñÿ îòêëîíåíèé, ò. å. ê ïåðåõîäó ñèñòåìû â íîâûå

óñòîé÷èâûå ñîñòîÿíèÿ. Òàê, â ðàññìîòðåííîì â § 22.2 ïðèìåðå ïîëîæèòåëüíîå

îòêëîíåíèå òîêà îò òî÷êè

À

íåóñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ ïåðåâîäèò ñèñòåìó â òî÷-

êó

Â

óñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ, ïðè÷åì ýòî ñâÿçàíî èìåííî ñ íåëèíåéíîñòüþ õà-

ðàêòåðèñòèêè

u

=

F

(

i

).

Îñîáûé èíòåðåñ òàêèå ñîîáðàæåíèÿ èìåþò â îòíîøåíèè êîëåáàòåëüíûõ ñèñ-

òåì. Çäåñü âûõîä ñèñòåìû èç ñîñòîÿíèÿ íåóñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ ïðèâîäèò

ê âîçíèêíîâåíèþ êîëåáàíèé ñ íàðàñòàþùåé àìïëèòóäîé. Îäíàêî âñëåäñòâèå íå-

ëèíåéíîñòè õàðàêòåðèñòèê ýëåìåíòîâ öåïè íàðàñòàíèå àìïëèòóäû êîëåáàíèé

ìîæåò îêàçàòüñÿ îãðàíè÷åííûì, è íàñòóïàåò

óñòîé÷èâûé ïåðèîäè÷åñêèé ïðîöåññ.

Ãëàâà 22. Ýëåìåíòû òåîðèè êîëåáàíèé è ìåòîäû ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ

447