Материал: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Дементьева А.М., Артыщенко С.В

x

6−x

2

4

2

∫∫(x +1)ds = ∫∫(x +1)ds + ∫∫(x +1)ds = ∫

∫(x +1)dy dx + ∫

∫(x +1)dy dx . (3.13)

D

D1

D2

1

1

2

2

x

(x +1)dy = (x +1)x dy = (x +1) y

x

= (x +1)(x −1)= x2 −1;

∫

∫

1

1

1

6−x

6−x

2

2

6

− x

x

3x

∫(x +1)dy = (x +1) y

1 2 = (x +1)

−1

= −

+

+

2 .

2

2

2

1

2

2

4

x2

3x

x3

2

2

x3

4

3x2

4

4

∫∫(x +1)ds = ∫(x

−

+

+ 2

− x

−

+

+ 2x

=

−1)dx + ∫

2

2

dx =

3

1

1

6

2

4

2

2

D

1

2

двойному интегралу формулу (3.13), в которойc = 1, d = 2,

h1(y) = y, h2(y) = 6 – 2y.

Имеем

2 6−2 y

(x +1)ds =

Вычислим внутренний

2 x2

6 − 2 y

(x +1)dx

dy =

=

+ x

dy =

∫∫

∫

∫

∫

интеграл (y = const)

2

y

D

1

y

1

2

2

y

2

2

36

− 24y + 4y

2

y

2

(6 − 2y)

= ∫

2

+ (6 − 2y)−

2

+ y

dy

= ∫

2

+ 6 −

2

− 3y

dy =

1

1

2

2

y2

2

3

2

3 y3

15y2

2

=

∫

=

∫

y

−15y + 24 dy =

−

=

18 −12 y + 2 y + 6 −

− 3y dy

2

3

2

+ 24 y

1

1

2

1

2

3.1.6. Замена переменных в двойном интеграле

Рассмотрим

∫∫ f (x, y)ds .

Пусть f (x, y)

непрерывна в области

D . Введем

D

новые переменные u ,

v , связанные с

переменными x , y

равенствами

x = X (u,v),

y =Y (u,v), причем для всех (x, y) D из системы

x = X (u, v),

(3.14)

y = Y (u, v)

можно однозначно выразить u и v через x , y :

u =U (x, y),

(3.15)

v =V (x, y).

∂X

,

∂X

,

∂Y

,

∂Y

непрерывны в D , то справедливо равенство

∂u

∂v

∂u

∂v

1

∫∫ f (x, y)ds = ∫∫ f (X (u,v),Y (u,v)) J (u,v)

dudv ,

(3.16)

где

D

D1

∂X

∂X

J (u,v)=

∂u

∂v

(3.17)

∂Y

∂Y

∂u

∂v

Пример 3.4.

Вычислить ∫∫(x + 2 y)dxdy ,

где D

– параллелограмм,

D

ограниченный прямыми x + y =1,

x + y = 3 , 3x + y = 0 , 3x − y = 3, (рис. 3.14).

Видно, что для вычисления двойного интеграла придется разбить

область D на три части. Сделаем замену

y

переменнных так, чтобы область D1 в

плоскости

новых

переменных

была

3x

– y = 0

3

«лучше», чем D xOy . Введем замену

B

3x – y = 3

по формулам

u = x + y,

C

D

1 A

v = 3x − y.

Тогда из этой системы (складывая

1D

x

O

3

x

+ y = 3

уравнения,

находим x , а y выражаем

x + y = 1

Рис. 3.14

O1

1

y = 0

3

u

X (u,v)=

u + v

и Y (u,v)=

3u − v

Рис.

3.15

4

4

∂Y 3

∂Y

∂Х 1

1

найдем

,

∂Х 1

,

,

. По формуле (3.17) якобиан J (u,v)

= 4

= 4

= 4

= −

∂u

∂v

∂u

∂v

4

1

1

1

3

1 .

4

4

= −

−

= −

16

16

3

1

4

4

− 4

Найдем

абсолютную

величину

якобиана

J (x, y)

=

− 1

=

1

. По формуле

4

4

u + v

(3.16), подставляя в подынтегральную функцию вместо x и y

функции

и 3u − v

4

, соответственно имеем

4

u + v

3u − v

1

1

∫∫(x + 2 y)dxdy = ∫∫

+ 2

dudv =

∫∫(7u − v)dudv .

4

4

16

D

D

4

D

1

1

1≤ u ≤ 3 и

Перейдем в последнем двойном интеграле к повторному.

Т.к.

0 ≤ v ≤ 3, то

∫∫

1

3

3

1

3

2

3

∫

∫

∫

(x + 2 y)dxdy =

(7u

− v)dv du

=

7uv − v

du

=

0

D

16

1 0

16

1

2

1

3

32

02

1 3

9

1

21u2

9u

3

=

7u 3 − 7u 0 −

−

∫

21u −

du =

−

=

16

∫

2

2

du =

16

2

16

2

2

1

1

1

=

1

21(9

−1)−

9 (3 −1)

=

1

(84 − 9)=

1

75 = 4

11 .

16

16

16

2

2

16

Ответ.

∫∫(x + 2 y)dxdy = 4

11 .

D

16

x = ρcosϕ,

(3.18)

y = ρsinϕ,

y

y

M

ρ

1

φ

O 1

x

x

чему равен якобиан при

замене (3.18).

Здесь X (ϕ, ρ)= ρ cosϕ ,

Y (ϕ, ρ)= ρsinϕ, поэтому

∂X

= ρ(− sinϕ),

∂X

= cosϕ ,

∂Y

= ρcosϕ ,

∂ϕ

∂ρ

∂ϕ

J (ϕ, ρ)=

− ρsinϕ

cosϕ

= −ρsin2 ϕ − ρcos2 ϕ

ρcosϕ

sinϕ

или J (ϕ, ρ)= −ρ . Отсюда с учетом того, что ρ ≥ 0, получаем

J (ϕ, ρ)

= ρ .

(3.19)

∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (ρ cosϕ;ρ sinϕ)ρdϕdρ .

(3.20)

D

D1

a ≤ ϕ ≤ b,

или

c ≤ ρ ≤ d,

g

(ϕ)≤ ρ ≤ g

2

(ϕ)

h

(ρ)≤ ϕ ≤ h (ρ).

1

1

2

Так как ϕ и ρ связаны с x

и y

как настоящие полярные координаты,

то

видно, что при переходе к

ϕ , ρ

область

D1

будет описываться первой

системой

неравенств,

если

y

D

область

является

частью

φ = b

сектора,

заключенного

между

двумя лучами, выходящими из

φ = a

начала координат под углами a

D

ρ = g2(φ)

и b к оси Ox

(рис. 3.17).

Действительно, уравнение

луча,

выходящего

из

начала

ρ = g1(φ)

координат под углом a к оси Ox

O

x

в

полярной

системе

координат

Рис. 3.17

D

имеет вид ϕ = a . Криволинейные

в полярной

участки границы области

ρ

системе координат – это графики двух

ρ = g2(φ)

функций, в которых полярный радиус