Материал: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Дементьева А.М., Артыщенко С.В

существует), то ∫b f (x)dx тоже является несобственным интегралом II рода и

a

по определению представляется в виде

Такой интеграл является сходящимся, если сходятся оба интеграла в правой части формулы (2.40). В противном случае ∫b f (x)dx расходится. Аналогично,

интегралов, если в (a,b) есть несколько точек разрыва II рода функции f (x). В виде суммы двух несобственных интегралов II рода записывается

Заметим, что обозначение несобственного интеграла II рода такое же, как и определенного. Чтобы отличить их друг от друга, нужно изучить подынтегральную функцию f (x) на отрезке интегрирования [a,b]. Если f (x)

непрерывна на [a,b] или имеет на [a,b] конечное число точек разрыва I рода,

то интеграл определенный. В противном случае – интеграл несобственный и его нужно вычислять, используя одну из формул, приведенных выше.

и равна 4 кв. ед.

Замечание. Для несобственных интегралов II рода тоже существуют теоремы сравнения, аналогичные признакам сравнения для несобственных интегралов I рода.

81

ГЛАВА 3. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3.1.Двойные интегралы

3.1.1.Задача об объеме цилиндрического тела

Рассмотрим в пространстве xOyz тело T , ограниченное снизу областью D , лежащей в плоскости xOy , сверху – поверхностью, являющейся графиком функции z = f (x, y) ( f (x, y)≥ 0 в области D ), а «по

бокам» – цилиндрической поверхностью, «параллельной» оси Oz и проходящей через границу области D (рис. 3.1)

Найдем объем этого тела. Если бы верхняя «крышка» тела T была плоской и параллельной плоскости xOy , то объем

вычислялся бы по формуле объема цилиндра V = Sоснh . Вычислим объем тела T , разбив его

на части, каждая из которых «почти» цилиндр. Рис. 3.1 Для этого разобьем область D произвольными

линиями на n частей. Пронумеруем эти части D1, , Dn и обозначим их площади ∆S1, ,∆Sn соответственно. Проведем через линии разбиения

цилиндрические поверхности, параллельные Oz . Тело Т разобьется на n кусков T1, ,Tn (рис. 3.2)

82

Обозначим через di наибольшее расстояние между точками кусочка Di (i =1, ,n ), di называют диаметром кусочка Di . Будем измельчать разбиение

области D , т.е. увеличивать n и уменьшать диаметры кусочков. При этом для каждого разбиения будем выбирать снова точки М1, ,Мn и вычислять

приближенное значение объема тела T по формуле (3.1). Назовем процесс измельчения разбиения неограниченным, если n →∞ и все di стремятся при

этом к нулю, т.е. max di → 0 . Если при неограниченном измельчении разбиения существует предел

nlim ∑n f (Mi )∆Si , max→d∞i →0 i=1

1≤i≤n

не зависящий от способов разбиения и выбора точек Mi (i =1, ,n ), то этот предел считают равным искомому объему, т. е.

3.1.2. Задача о массе неоднородной пластинки

Пусть D – плоская однородная материальная пластинка, т.е. ее толщина настолько мала, что ее массу можно определить формулой:

m = ρ s , где s – площадь, а ρ – плотность. Если пластинка неоднородна, то

понятие плотности определяется в каждой точке как предел средней плотности в окрестности радиуса R этой точки, когда R

координатной плоскости xOy . Тогда, очевидно, в каждой точке M (x, y) D плотность ρ(М) зависит от координат точки M , т.е. является функцией двух переменных: ρ(М)= ρ(x, y). Пусть плотность ρ(x, y) известна. Найдем массу

пластинки. Находить массу однородной пластинки мы умеем, поэтому пластинку D разобьем на мелкие куски и каждый кусок будем приближенно считать однородным – это позволит найти приближенное значение массы m пластинки. Разобьем область D xOy , занимаемую пластинкой, произвольными

линиями на n частей, перенумеруем их D1, , Dn и обозначим их площади

83

соответственно ∆S1, , ∆Sп . Выберем в куске Di произвольную точку Mi(i =1, ,n ) и вычислим плотность в этих точках: ρ(M1 ), , ρ(M n ) (рис. 3.5).

Тогда для массы m всей пластинки справедливо приближенное равенство:

Чем мельче разбиение, тем точнее равенство (3.3). Проведем неограниченное измельчение разбиения области D , вычисляя для каждого разбиения приближенное значение массы по формуле (3.3). Если при неограниченном

измельчении разбиения области D сумма ∑n ρ(Mi )∆Si стремится к

i=1

конечному пределу, не зависящему от способов разбиения и выбора точек Mi , то этот предел считают равным массе m пластинки D :

При сравнении формул (3.2) и (3.4), видно, что объем тела и масса пластинки вычисляются по «похожим» формулам. Эти формулы приводят к новому математическому понятию, называемому двойным интегралом.

84

3.1.3. Определение двойного интеграла

Пусть в области D плоскости xOy задана функция двух переменных z = f (x, y). Разобьем область D произвольными линиями на части D1, , Dn , выберем в каждой Di произвольную точку Mi (i =1, ,n ) и составим сумму

измельчения разбиения области D , вычисляя для каждого разбиения сумму Sn .

Определение. Если при неограниченном измельчении разбиения области D интегральная сумма (3.5) стремится к конечному пределу, не зависящему от способов разбиения и выбора точек Mi , то этот предел

Замечание. Из определения следует, что двойной интеграл не обязательно существует, поэтому естественно возникает вопрос, для каких функций f (x, y) и областей D предел (3.6) существует.

Теорема. Если z = f (x, y) непрерывна на замкнутой области D , то ∫∫ f (x, y)dxdy существует.

D

Если сравнить (3.6) с (3.2) и (3.4), то становится очевидным геометрический и механический смысл двойного интеграла от неотрицательной функции.

Если f (x, y)≥ 0 и непрерывна в D, то

где V – объем тела T , найденный по формуле (3.2), то есть равенство (3.7) говорит о геометрическом смысле двойного интеграла.

Если f (x, y)≥ 0 и непрерывна в D , то эту функцию можно считать

где m – масса пластинки D . В этом состоит механический смысл двойного интеграла.

85