Материал: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Дементьева А.М., Артыщенко С.В

По условию плотность ρ(x, y)= y. Найдем массу фигуры по формуле (3.8):

m = ∫∫ydxdy , где D - параболический сегмент.

D

Область D такого же вида, как в формуле (3.12), перехода от двойного

интеграла к повторному ( a = −1, b =1, g1(x)= 0 , g2 (x)=1 − x2 ). По формуле (3.12) имеем

3.1.9.2. Вычисление моментов и координат центра масс плоской фигуры

Следующие приложения относятся к механическим характеристикам материальных объектов, которые называются моментами этих объектов.

Дадим сначала некоторые определения.

Рассмотрим на плоскости хОу точечную массу m , лежащую в точке

A (x, y), рис. 3.31. y

соответственно, называют произведения массы точки на квадрат плеча, т.е.

материальных точек), массы которых равны mi , расположенные в точках Ai (xi , yi ) соответственно (i =1, ,n ), (рис. 3.32).

106

y

y1 A1

Рис. 3.32

Как известно из физики, центр масс C(xc , yc ) имеет координаты

Обозначим m1 + + mn = m ( m – масса всей системы материальных точек) и перепишем формулы (3.31) в виде

Сумма моментов точек системы является моментом всей системы (это относится к любому из моментов M x , M y , Ix , I y ), то есть для данной

системы точек

Получаем формулы, выражающие координаты центра масс системы материальных точек через статические моменты системы и ее массу:

Замечание. Если найти моменты инерции каждой точки системы относительно оси Ох Iix = mi yi2 , и сложить их, то получим момент инерции

107

n

можно найти можно найти: I y = ∑mi xi2 . Таким образом ,

Рассмотрим фигуру, занимающую на плоскости xOy область D . Пусть плотность в каждой точке (x, y) D задается функцией ρ(x, y). Разобьем D

произвольными линиями на n частей, выберем в каждой части произвольную точку (точку Pi (xi , yi ) в i-й части, i =1, ,n ). Так же, как в

задаче о массе неоднородной пластинки, считаем приближенно, что каждый кусок однороден и его плотность во всех точках такая же, как в выбранной точке (для i-го куска плотность равна ρ(Pi )= ρ(xi , yi )). Тогда приближенная

масса mi i-го куска вычисляется по формуле

где ∆Si – площадь i-го куска (i =1, ,n ). Разбиение пластинки считаем столь мелким, что каждый кусок – это приближенно материальная точка массы mi , расположенная в точке Pi (xi , yi ). По формуле (3.33) и (3.35), с учетом (3.36),

можно найти моменты получившейся системы n материальных точек, которые можно считать приближенными значениями моментов данной плоской фигуры:

Равенства (3.37) и (3.38) тем точнее, чем мельче разбиение области D. Если неограниченно измельчать разбиение области D, вычисляя для каждого разбиения приближенные значения моментов по формулам (3.37) и (3.38), то эти значения будут стремиться к числам, которые и примем за моменты плоской фигуры. Суммы, стоящие в правых частях формул (3.37) и (3.38), –

это интегральные суммы для функций yρ(x, y), xρ(x, y), y2 ρ(x, y) и

108

x2 ρ(x, y) в области D соответственно. Пределы таких сумм при

неограниченном измельчении разбиения области D (если они существуют) равны двойным интегралам от перечисленных функций, т.е.

Если пластинка однородна, т.е. ρ(x, y)= ρ0 , то формулы (3.41) с учетом (3.23) упрощаются:

где S – площадь фигуры.

Замечание. В теоретической механике, в курсе сопротивления материалов, в строительной механике рассматриваются пластинки разной формы (треугольники, секторы и сегменты круга и т.д.). По формулам (3.39), (3.40) и (3.42) для однородных фигур разной формы найдены значения моментов и центры масс. Найденные значения сведены в таблицы, которые можно найти в соответствующих справочных приложениях и которыми читатель может воспользоваться при изучении вышеупомянутых дисциплин.

Пример 3.11. Найти момент инерции однородного прямоугольного

109