Документ: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Дементьева А.М., Артыщенко С.В, страницы 116-120

2	2−x			3x	2		3y	2
	∫	2	+ 2x −	3x		− 4y +	3y
= ∫	∫	2	+ 2x −	2		− 4y +	2	dy dx =
0	0			2			2

		2−x				3x	2				3y	2							3x	2					2				y		3		2−x
		2−x					2					2								2											3		2−x
			∫		+ 2x −			− 4y +													y − 2y						+							=

				2		2					2		dy =	2y + 2xy −					2										2
			0			2					2								2			(2 − x)3							2					0
													3x2									(2 − x)3
=					= 2(2 − x)+ 2x(2 − x)− 2 (2 − x)− 2(2 − x)2 + 2																								=						=
					= 4 − 2x + 4x − 2x2 − 3x2 +										3x3	−8	+ 8x − 2x2 −						(x − 2)3							=
					= 4 − 2x + 4x − 2x2 − 3x2 +									2		−8	+ 8x − 2x2 −								2					=
														2		3x3		(x − 2)3							2
								= −4 +10x − 7x2 +								3x3	−	(x − 2)3
								= −4 +10x − 7x2 +								2	−
																2			2
2						2		3x3		(x −			2)3						2		7x3			3 4								1		(x −	2)4	2
2						2		3x3		(x −			2)3						2		7x3			3 4								1		(x −	2)4	2
	−		4 +10x − 7x +						−							− 4x + 5x −						+				x		−									=
= ∫	−		4 +10x − 7x +					2	−		2		dx =			− 4x + 5x −					3	+		8		x		−				2		4		0	=
0								2			2										3			8								2		4		0
								= −8 + 20 − 56						+ 6 − 1 (0 −16)=							4 .
													3			8					3
			Пример 3.14. Найти центр масс однородного конуса с образующей,
равной l , и радиусом основания, равным R .
			У конуса есть ось симметрии – ось конуса, его центр масс лежит на
этой			оси.		Расположим				конус				в системе				xOyz так,					чтобы								его				вершина

совпадала с началом координат, а ось – с положительной полуосью Oz (рис. 3.39).

z

L

C

Tl

0	D R	y
R		y
R

x

Рис. 3.39

Координаты центра масс С: xc = 0 , yc = 0 , а zc находим по формуле (3.47):

∫∫∫zdv

zc =	T		, где T	– данный конус, а V – его объем. Объем конуса, как
		V

116

известно, определяется по формуле V = 13πR2 h , где h – высота конуса.

Очевидно, h = l2 − R2 , поэтому V = 13πR2 l2 − R2 .

Чтобы найти	тройной	интеграл	∫∫∫zdv , рассмотрим	поверхности,
			T
ограничивающие	конус.	Сверху – это	плоскость z = h , т.е.	z =	l2 − R2	.

Снизу конус ограничен конической поверхностью, полученной вращением прямой OL вокруг оси Oz . Составим уравнение прямой OL в плоскости yOz , воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две данные

точки O(0;0) и L(R;

). Получим уравнение

z − 0

y − 0

,

l2 − R2

=

l

2

− R2

− 0

R − 0

т.е. уравнение прямой OL имеет вид z =

l2

− R

2

y .

R

Чтобы составить уравнение поверхности вращения, полученной

вращением OL вокруг оси Oz , в уравнении OL переменную z

не меняют, а

вместо второй переменной, т.е. y, пишут квадратный корень из суммы квадратов оставшихся переменных со знаком (±), т.е. вместо у пишем

±

x2 + y2

.

Получим

уравнение

конической

поверхности

l2 − R2

z =

(±

x2 + y2

) . Так как нас интересует верхняя часть конической

R

l2 − R2

поверхности, т.е. z ≥ 0, то окончательно имеем z =

x2 + y2

.

R

Конус проектируется на xOy в область D , являющуюся кругом x2 + y2 = R2 ,

т.е.	для	точек (x, y) D справедливы неравенства − R ≤ x ≤ R ,
−	R2 − x2	≤ y ≤	R2 − x2	. Вычислим ∫∫∫zdv по формуле (3.48), где a = −R ,
				T

g1(x)= −

,

g2 (x)=

,

b = R ,

R2 − x2

f2 (x, y)=

l2 − R2

x2 + y2

. Итак,

R

l2 −R2

x2 +y2

2

R

−x

R

−x

2

R

z

∫∫∫zdv = ∫

∫

zdz dy dx =

∫

T

−R

0

−R

2

−x

2

−

2

−x

2

−

R

l2 −R2

R

0

f1(x, y)= 0 ,


x	2	+y	2
x		+y
				dy dx =

R

(l

)(x2

(l

)

R

R2 −x2

2

− R2

2

R2 −x2

(x2

= ∫

∫

− R2

+ y2 )dy dx =

∫

+ y2 )dy dx .

2R

2

−x

2

−x

2

−R −

R

−R −

R

117

Искомый тройной интеграл выразился через повторный интеграл, который по существу является двойным интегралом ∫∫(x2 + y2 )dxdy . Т.к. область D –

D

это круг с центром O , то такой интеграл удобнее вычислять, переходя к полярным координатам. Для любой точки (ϕ, ρ) D справедливы

неравенства 0 ≤ϕ ≤ 2π , 0 ≤ ρ ≤ R .

По формуле

(3.21), где

α = 0, β = 2π ,

g1(ϕ)= 0, g2 (ϕ)= R и x2 + y2 = ρ2 , имеем

2π

R

2π

ρ

4

R

4

2π

2

∫∫(x

+ y )dxdy = ∫

∫ρ

ρdρ

dϕ =

∫

4

dϕ =

4

∫dϕ =

D

0

=

R4

ϕ

2π

=

R4

2π =

πR4

.

4

0

4

2

Подставим найденное значение в искомый тройной интеграл:

∫∫∫zdv =

(l2 − R2

2 )

πR4

= 1πR2

(l2 − R2 ).

T

2R

2

4

(l2

− R2 )

Подставляя в формулу (3.47) для zc

найденные числитель 1

πR2

и

4

знаменатель 1

zc = 3

3 h .

, находим zc :

l2 − R2

=

πR2

(l2 − R2 )

3

4

Так как zc – это расстояние от вершины конуса до центра масс, то можем

сформулировать следующий факт: центр масс однородного конуса находится на оси конуса на расстоянии, равном 3/4 высоты от вершины конуса.

3.3.Криволинейные интегралы по дуге (I рода)

3.3.1.Определение криволинейного интеграла I рода

Вкачестве задачи, приводящей к понятию криволинейного интеграла по дуге, приведем задачу о массе неоднородной линии. Пусть на плоскости

	y				xOy		рассматривается
	y				материальная линия L(AB), рис.
				3.40.		Будем	считать	линию
y		M	L	B		Будем	считать	линию
y		M1	L		спрямляемой. Линия однородна,
		M1			спрямляемой. Линия однородна,
		A			если отношение массы любого ее
					куска	к его	длине	постоянно:
					m = ρ . Это отношение ρ называют
					l
		x			l
0		x			x
0					x
		Рис. 3.40
				118

линейной плотностью материальной линии. Если же для разных кусков линии одинаковой длины отношения массы к длине разные, то линию называют неоднородной.

Возьмем на L точки M (x, y) и M1			и рассмотрим кусок линии MM1 .
Обозначим	его массу mMM1 ,	а длину	-	lMM1 .	Отношение	ρMM1 =	mMM1
							lMM1
					MM1 . Если
называют	средней линейной	плотностью		куска		существует

предел ρMM1 при стремлении точки M1 по линии L к точке M (lMM1 → 0), то

его называют линейной плотностью линии L в точке	M и обозначают
ρ(M )= ρ(x, y). Если в каждой точке M L существует	ρ(M ), то имеем

функцию двух переменных ρ(x, y), определенную в каждой точке (x, y) L ( ρ(x, y) – линейная плотность линии L ).

Формулируется задача: найти массу линии L, имеющей плотность ρ(x, y). Если бы линия была однородной, т.е. ρ(x, y)= ρ = const , то масса m

линии, очевидно, определялась бы по формуле
m = ρ l ,	(3.49)
где l – длина линии L . Если же ρ(x, y)≠ const ,	то задача усложняется.

Используем идею приближенного определения массы, заменив исходную

задачу

такой близкой задачей,

в которой можно было бы использовать

формулу (3.49). Разобьем L на

n

«мелких» кусков и будем приближенно

y

считать каждый из этих кусков

однородным.

B

Проделаем

эту

P2

M2

Pn

процедуру следующим образом.

Mn-1

Mn

На

линии

L

возьмем

P1

M1

последовательные

точки:

М0

A

M0

( А), М1, ,Мn ( B ), рис. 3.41.

На каждом куске Мi−1Mi

0

x

линии

L

выберем

Рис. 3.41

произвольную

точку

Pi

(i =1, ,n ) и вычислим в точках

P1, , Pn

плотность ρ(P1 ), , ρ(Pn ). Будем приближенно считать,

что каждый

из кусков однороден, причем плотность куска M 0M1 равна ρ(P1 ), плотность

куска M1M 2

равна

ρ(P2 ) и т.д. Такая ситуация «близка» к исходной, если

куски маленькие и

ρ(x, y) непрерывна на

L . Поэтому можно считать,

что

масса mi куска Мi−1Mi

приближенно вычисляется по формуле (3.49),

т.е.

mi ≈ ρ(Pi )∆li , где ∆li –

длина i -го куска кривой (i =1, ,n ). Так как масса

119

1≤i≤n

всей линии L складывается из масс кусков, то
m ≈ ∑n ρ(Pi )∆li .	(3.50)
i=1

Последнее приближенное равенство тем точнее, чем мельче разбиение линии L . Назовем неограниченным измельчением разбиения линии L на куски процедуру, в которой количество кусков n неограниченно растет ( n → ∞), причем длины всех кусков стремятся к нулю (max ∆li → 0 ). Будем проводить

неограниченное измельчение разбиения линии L, вычисляя для каждого разбиения приближенное значение массы по формуле (3.50). Если при этом найденные приближенные значения массы стремятся к некоторому пределу, то этот предел считают равным массе линии L , т.е.

m = lim	∑n	ρ(Pi )∆li .	(3.51)
n→∞
max ∆l →0 i=1
i
1≤i≤n

Рассмотренная задача приводит к понятию криволинейного интеграла по дуге (I рода).

Определение. Пусть на плоскости xOy дана спрямляемая линия L = AB и на ней задана функция z = f (x, y). Разобьем L на n произвольных частей точками M 0 (точка A), M1, ,M n (точка B ). Выберем в каждой части Мi−1Mi произвольную точку Pi и вычислим в этой точке значение функции f (Pi ) (i =1, ,n ). Составим сумму

n	)∆li ,
Sn = ∑ f (Pi	)∆li ,	(3.52)

i=1

где ∆li – длина i -го куска ( Мi−1Mi ). Эту сумму называют интегральной для функции f (x, y) на кривой L . Будем проводить неограниченное измельчение разбиения кривой, вычисляя для каждого разбиения сумму Sn по формуле (3.52). Если при этом Sn стремится к конечному пределу, не зависящему от способов разбиения L и выбора точек Pi (i =1, ,n ), то этот предел называют криволинейным интегралом I рода (по дуге) от функции f (x, y) по кривой L и обозначают ∫ f (x, y)dl . Иными словами,

L

∫ f (x, y)dl =

L

n

limn ∑ f (Pi )∆li . (3.53)

→∞ i=1 max ∆li →0

1≤i≤n

Сравнив формулы (3.51) и (3.53), можно (3.51) переписать в виде
m = ∫ρ(x, y)dl .	(3.51)
L

120

Материал: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Дементьева А.М., Артыщенко С.В

Смотрите также: