Документ: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Дементьева А.М., Артыщенко С.В, страницы 111-115

данных материальных точек (рис. 3.34).
Тогда если A1(x, y), то A2 (x,−y). Поэтому для	этих		точек
M y = m y + m (− y)= 0 и, следовательно, по формуле (3.34)	yc =	M y	= 0, т.е.
M y = m y + m (− y)= 0 и, следовательно, по формуле (3.34)	yc =	2m	= 0, т.е.
		2m

C (центр масс) расположен на оси Ox (оси симметрии).

Распространение этого факта на случай более сложной плоской фигуры приводит нас к следующему выводу: если однородная фигура имеет ось симметрии, то центр масс фигуры расположен на этой оси.

Вернемся к нашему примеру. Очевидно, однородный сектор имеет ось

симметрии – биссектрису угла α ,

следовательно, центр масс лежит на

y

этой биссектрисе. Расположим сектор

в системе

xOy

так,

чтобы

биссектриса легла на ось Ox, а

вершина сектора совпала с началом

D

координат

(рис. 3.35).

0

R

x

При

таком

расположении

Рис. 3.35

сектора центр масс C

имеет

координаты (xc ;0), т.е. по формулам (3.42) нужно будет вычислять лишь xc (yc = 0). В этих формулах участвует площадь фигуры. Как известно, площадь S

сектора круга равна

1 R2α . Для отыскания xc остается найти ∫∫xds .

2

D

Область D – сектор, поэтому перейдем к полярным координатам. Для

каждой точки (ϕ, ρ) области D выполняются неравенства

− α

≤ϕ ≤ α

,

0 ≤ ρ ≤ R ,

2

поэтому, учитывая, что x = ρcosϕ , по формуле (3.21) имеем

α

2 R

2

R

2

R

2

ρ

3

R

3

∫∫xds = ∫

∫ρ

dρ =

=

∫ρ cosϕ ρdρ dϕ = ∫cosϕ

dρ dϕ =

3

0

3

D

−

α

0

−

α

0

2

αα

R3 2

R3

2

R3

α

2R3

α

.

=

∫cosϕdϕ =

sinϕ

=

sin

−sin

−

=

sin

3

2

3

2

−

α

−

α

2

Теперь по формуле (3.42) найденный интеграл разделим на S = 12 R2α и

		2R3 sin	α	2		4	Rsin	α
найдём xc :	xc =		2		=			2	.
		3R2α				3	α

Фактически xc – это расстояние от вершины сектора до центра масс, поэтому можно сформулировать следующее правило: центр масс однородного

111

сектора

круга

радиуса

R ,

опирающегося на

угол

α ,

расположен

на

α

биссектрисе этого угла

на

расстоянии,

равном

4

sin 2

R

от вершины

сектора.

3

α

α ≈

α ,

Например, если угол α

близок к нулю, то можно считать sin

2

поэтому

центр

масс сектора

расположен

на расстоянии

4 α

R =

2 R

от

3 2α

3

вершины.

3.2.Тройные интегралы

Вданном пособии мы коснемся вопросов, связанных с тройными интегралами не самым подробным образом. Обсудим лишь определение тройного интеграла и простейшие приложения. Определения двойного и тройного интегралов похожи (как, впрочем, и определение определенного интеграла).

3.2.1.Определение тройного интеграла

Рассмотрим в пространстве xOyz тело, занимающее пространственную область T . Пусть во всех точках (x, y, z) T определена функция трех

переменных u = f (x, y, z). Разобьем тело T		произвольными поверхностями
на n частей T1, ,Tn ,	обозначим их объемы через ∆V1, ,∆Vn . Выберем в
каждой части Ti произвольную точку Pi (xi , yi , zi ), i =1, ,n (рис. 3.36).
	z
		T
	Pi
	0	y

x

Рис. 3.36

Вычислим значение функции f (x, y, z) в точках Pi (i =1, ,n ) и составим сумму

112

Sn = ∑n f (Pi )∆Vi .			(3.43)
i=1			f (x, y, z) на
Сумма Sn называется интегральной	суммой для	функции	f (x, y, z) на
пространственной области T . Процесс составления разбиений тела T , в
котором n →∞ и di →0 , где di –	диаметр Ti	(i =1, ,n ),	называется
неограниченным измельчением разбиения тела T . Если проводится
неограниченное измельчение разбиения тела T и для каждого разбиения
составляется сумма Sn , то при этом	Sn меняется. Если Sn ,		изменяясь,

стремится к конечному пределу, который не зависит от способов разбиения тела T и выбора точек P1, , Pn , то этот предел называют тройным интегралом

от функции	f (x, y, z)
∫∫∫ f (x, y, z)dV	или ∫∫∫ f (x,
T	T
	∫∫∫
	T

по пространственной области T y, z)dxdydz . Иными словами

n

f (x, y, z)dxdydz = lim ∑ f (xi , yi , zi )∆Vi .

n→∞ i=1 max di →0

и обозначают

(3.44)

Сравните определения двойного и тройного интегралов – они одинаковы с точностью до размерности (там фигура – здесь тело, там функция двух переменных – здесь трех).

Если u = f (x, y, z) является непрерывной на T , то тройной интеграл

существует.

С помощью тройного интеграла можно вычислить объем тела T .

Действительно,	если в качестве	функции	f (x, y, z) взять	f (x, y, z)≡1, то
				n
интегральная сумма (3.43) для любого разбиения постоянна: Sn = ∑∆Vi =V ,
				i=1
где V – объем тела T . Предел постоянной равен этой постоянной, т.е. равен
V . Получаем формулу
	V = ∫∫∫dxdydz .			(3.45)
		T
Если тело T материально и его плотность в каждой точке				(x, y, z) задана
функцией трех	переменных	ρ(x, y, z),	то с помощью	рассуждений

аналогичных тем, которые были проведены при отыскании массы плоской пластинки (формула (3.8)), можно получить формулу для нахождения массы тела T :

m = ∫∫∫ρ(x, y, z)dxdydz .	(3.46)
T

Аналогично (сравните с формулами (3.41)) можно вычислить координаты центра масс тела T :

113

∫∫∫xρ(x, y, z)dv

∫∫∫yρ(x, y, z)dv

∫∫∫xρ(x, y, z)dv

x

=

T

,

y

=

T

,

z

=

T

. (3.47)

c

∫∫∫ρ(x, y, z)dv

c

∫∫∫ρ(x, y, z)dv

c

∫∫∫ρ

(x, y, z)dv

T

Если тело T однородно, то центр масс

С не зависит от плотности и его

координаты (сравните с (3.42)) равны:

∫∫∫xdv

∫∫∫ydv

∫∫∫xdv

xc

=

T

, yc =

T

,

zc =

T

.

(3.48)

V

Пусть тело T

имеет такой же вид,

как на рис. 3.21, причем область

D xOy , в которую проектируется тело, имеет, например, такой вид, как на

рис. 3.6, т.е. для (x, y) D	a ≤ x ≤ b ,	g1(x)≤ y ≤ g2 (x). Пусть		f (x, y, z)
непрерывна на T . Тогда справедлива формула
	b g2 (x) f2	(x,y)
∫∫∫ f (x, y, z)dv = ∫ ∫		∫ f (x, y, z) dy	dx .	(3.49)
T	a g1(x) f1(x,y)

Правая часть формулы (3.49) – повторный интеграл, являющийся интегралом

от повторного		интеграла. Вычисление	происходит	так:	сначала считают
f2	(x,y)
интеграл	∫ f	(x, y, z)dz , являющийся определенным интегралом, в котором
f1(x,y)
переменной	интегрирования является		переменная	z ( x	и y считаются

константами). Результат вычисления является функцией от x и y . Проинтегрируем эту функцию по переменной y(x − const) в пределах от g1(x) до g2 (x). В результате получим функцию, зависящую от x ; проинтегрировав ее в пределах от a до b, получим число, равное искомому тройному интегралу.

Пример 3.13. Вычислить ∫∫∫(2x − y + z)dxdydz , где T – пирамида, ограниченная плоскостями x = 0, yT= 0, z = 0 и x + y + z = 2 .

Изобразим тело Т . Плоскости x = 0, y = 0, z = 0 - это координатные плоскости. Плоскость x + y + z = 2 отсекает на координатных осях отрезки, равные 2 (рис. 3.37).

114

Очевидно, тело Т проектируется на плоскость xOy в треугольник

(рис. 3.38).

		z	=	2		x = 0
				2

						x + y + z = 2

y = 0



							2
		0
								y


	2
	2				z = 0
					z = 0

x

y

2

y = 2 – x

= 0

D

x

0

x

2

y = 0

Рис. 3.37 Рис. 3.38

Область D (треугольник) ограничена осями Ox(y = 0), Oy(x = 0) и прямой, являющейся линией пересечения плоскости x + y + z = 2 с плоскостью z = 0

( xOy ). Уравнение	этой	прямой	получится из	уравнения	плоскости
x + y + z = 2 подстановкой в него z = 0 , т.е. имеем				x + y = 2. Из рис. 3.38.
видно, что любая точка		(x, y) D	удовлетворяет	неравенствам	0 ≤ x ≤ 2,
0 ≤ y ≤ 2 − x . Кроме	того	(рис. 3.38), видно, что тело ограничено сверху

графиком функции z = 2 − x − y , а снизу - плоскостью z = 0 . Значит, тело T такого типа, для которого при вычислении тройного интеграла справедлива формула (3.48). Применим эту формулу:

2 2−x 2−x−y

∫

∫∫∫(2x − y + z)dxdydz = ∫

∫(2x − y + z)dz dy dx =

T

0

2−x−y

z

2

2−x−y

= 2x(2 − x − y)−

2x z − y z

+

∫ (2x − y + z)dz =

2

0

=

− y(2 − x − y)+

(2 − x − y)2

= 4x − 2x2 − xy − 2y + y2 + 2 − 2x −

=

x2

2

y2

3x

2

3y2

− 2y +

+ xy +

= 2

+ 2x −

4y +

−

2

115

Материал: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Дементьева А.М., Артыщенко С.В

Смотрите также: