Документ: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Дементьева А.М., Артыщенко С.В, страницы 136-140

Для его вычисления разобьем L точками M 0 (A), M1, ,M n (B) на n

частей. Обозначим абсциссы точек Mi				через xi		, т.е. Mi (xi , g(xi )), рис. 3.55.
y			y = g(x)		Mi	B
y

				Mi-1		Mn
			M1	Pi		Mn-1
			M1	Pi
		A M0
		a=x0	x1	xi-1 ci	xi	xn-1
	0		x1			b=xn x
	0					b=xn x
			Рис. 3.55

Точки x0 , x1, , xn , принадлежащие отрезку [a,b], разбили [a,b] на n

частей. Теперь составим интегральную сумму, для чего нужно в каждом куске линии Mi−1Mi выбрать точку Pi (i = 1, … , n).

Рассмотрим произвольный кусок линии Mi−1Mi , являющийся графиком

функции	y = g(x) для x [xi−1, xi ].	Учитывая непрерывность функции g (x)
на [a,b],		y = g(x) на отрезке [xi−1, xi ]		′
	видим, что для функции			выполнены
условия	теоремы Лагранжа (функция непрерывна на		[xi−1, xi ] и имеет
производную g (x) в (xi−1, xi )). Это означает, что найдется точка				ci (xi−1, xi )
	′
такая, что справедливо равенство ∆yi = g(xi )− g(xi−1 )= g′(ci )(xi − xi−1 ), т.е.
	∆yi = g′(ci )∆xi .			(3.78)
Выберем на куске Mi−1Mi кривой точку Pi (ζ i,ni )			такую,	что ζi = ci ,

ηi = g(ci ), и составим интегральную сумму Sn по формуле

Sn = ∑n (R(Pi )∆xi + Q(Pi )∆yi )= ∑n (R(ci ; g(ci ))∆xi + Q(ci ; g(ci ))∆yi ).

i=1			i=1
Учитывая равенство (3.78), имеем
n			))∆xi +Q(ci ; g(ci ))g′(ci )∆xi )
Sn = ∑(R(ci ; g(ci			))∆xi +Q(ci ; g(ci ))g′(ci )∆xi )
i=1
или
n	(R(ci	; g(ci ))+Q(ci ; g(ci ))g′(ci ))∆xi .
Sn = ∑	(R(ci	; g(ci ))+Q(ci ; g(ci ))g′(ci ))∆xi .		(3.79)
i=1
Если проводить
Если проводить	неограниченное измельчение разбиения дуги AB
( n → ∞, max ∆xi ,∆yi → 0 ),		то	одновременно будет	неограниченно
1≤i≤n

136

измельчаться разбиение отрезка [a,b]. Видно, что сумма (3.79) является интегральной суммой для функции F(x) на отрезке [a,b], где

F(x)= R(x, g(x))+ Q(x, g(x))g (x).	(3.80)
′
Учитывая предположения о функциях R(x, y) и Q(x, y) и функциях	g(x) и

g′(x), делаем вывод о непрерывности функции F(x) на [a,b]. Известно, что непрерывная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке, поэтому

существует ∫b F(x)dx . По определению определенного интеграла при

a

неограниченном измельчении разбиения отрезка [a,b] интегральные суммы

∑n F(ci )∆xi

стремятся к ∫b F(x)dx .

Для

нашей

F(x)

(формула

(3.80)) эти

i=1

a

Sn

(формула (3.79)), поэтому их предел

интегральные суммы совпадают с

b

′

С

другой

стороны,

Sn

стремятся к

равен ∫(R(x, g(x))+ Q(x, g(x))g

(x))dx .

a

∫R(x, y)dx + Q(x, y)dy . Получаем формулу

криволинейному интегралу II рода

AB

b

′

(3.81)

∫R(x, y)dx + Q(x, y)dy = ∫(R(x, g(x))+ Q(x, g(x))g (x))dx .

a

AB

Пример 3.20. Вычислить

∫xydx

− 2x2dy , где

AB

- дуга параболы

y = 3x2 −3, А(0;-3), В(1;0).

AB

где

g(x)= 3x

−

3,

g (x)= 6x ,

a = 0, b =1,

Применим

формулу

(3.81),

2

′

R(x, y)= xy ,

Q(x, y)= −2x2 .

Функции

R(x, g(x))

и Q(x, g(x)) получим,

подставив вместо y

в функции

R(x, y)

и Q(x, y)

функцию

g(x)= 3x2 − 3.

Получим R(x, g(x))= x (3x2 −3),

Q(x, g(x))= −2x2 .

По формуле (3.81)

∫xydx − 2x2dy = ∫1 (x(3x2 −1)− 2x2 6x)dx = ∫1 (3x3 − 3x −12x3 )dx =

0

AB

1

x

4

x

2

1

9

3

= ∫(− 9x

3

4

2

− 3x)dx = − 9

4

−3

2

0

= −

4

(1

− 0

)−

2

(1

− 0

)=

0

= −

9

−

3 = −

15

= −3,75.

4

2

4

137

Если линия L ( AB ) является графиком непрерывно дифференцируемой на [с,d] функции x = h(y), где c и d ординаты точек A и B соответственно,

то для непрерывных на L функций R(x, y) и Q(x, y)

∫R(x, y)dx + Q(x, y)dy

d

′

(3.82)

= ∫(R(h(y), y)h (y)+ Q(h(y), y))dy .

L

c

Пример

3.21.

∫(1 − x)dy ,

Вычислить

где AB

– график

функции

AB

2

π

y = arcsin x ,

,

A(0,0), B

2

4

.

В

данном

случае

можно

считать графиком функции y = arcsin x ,

AB

π

2

x

0,

,

а

можно

считать

графиком

функции

x = sin y ,

y 0,

.

2

4

Поэтому можно для вычисления криволинейного интеграла использовать и формулу (3.82), в которой g(x)= arcsin x , и формулу (3.78), в которой

h(y)= sin y . В да нном криволинейном интеграле R(x, y)= 0 , а Q(x, y)=1 − x . По формуле (3.81)

					2																				2									2												2
				2													′							2						dx			2						dx				1		2				− 2xdx
∫(1 − x)dy = ∫						(1 − x)(arcsin x) dx =																		∫ (1 − x)								=	∫									+	2	∫							=

																													1 − x2									1 − x2												1 − x2
				0																				0					1 − x2				0					1 − x2							0					1 − x2
AB
											2	d(1 − x						)= arcsin																			2
				2							2					2																					2		(1 − x2 )−				1		(1 − x2 )=
				2				1		∫2																	2						1			∫2
				2
= arcsin x				2		+																						− arcsin0 +															2 d
								2																			2						2
														1 − x2
				0						0				1 − x2																					0
																					1

				2					π													+1																									2
													−1						t		−2	+1											π					1									2
																																															2


		arcsin					= 4 ,					∫t 2 dt														+ C = 2				t + C											1 − x2
=				2											=																=		4		+				2 2											=
=				2											=					1											=		4		+				2 2											=
			arcsin 0 = 0,															−		2		+1																									0
																				2

										2
	π							2															π				1		, т.е. ∫(1 − x)dy =											π					1
																			2
=			+ 1	−								− 1			− 0				2		=			+				−1														+						−1.

	4							2															4				2														4				2
	4							2															4				2														4				2
																															AB
По формуле 3.82, (c = 0, d =																							π			, h(y)= sin y ) имеем
																							4

138

	π	π		π			π			π		1
	π
	4
	4	4
∫(1	− x)dy = ∫(1 −sin y)dy = (y + cos y)		=	4	− 0	+ cos	4	− cos0	=	4	+		−1.

												2
	0	0										2
AB		0

Ответы, конечно, совпали, но, очевидно, применение формулы (3.82) в этом интеграле предпочтительнее.

Очевидно, криволинейный интеграл II рода можно рассматривать как сумму двух криволинейных интегралов:

∫R(x, y)dx + Q(x, y)dy = ∫R(x, y)dx + ∫Q(x, y)dx .

L L L

Каждый из этих двух интегралов можно вычислять по любой из формул для вычисления криволинейного интеграла независимо друг от друга.

Замечание. Если внимательно посмотреть на формулы (3.81) и (3.82), то видно, что переход от криволинейного интеграла к определенному происходит подстановкой в подынтегральное выражение вместо y функции

g(x) в формуле (3.81) и вместо x функции h(y) в формуле (3.82). При этом

если y = g(x), то dy = g′(x)dx,	а если x = h(y), то dx = h′(y)dy . В первом случае
переменная интегрирования	– это	x , поэтому пределы интегрирования
xA = a и xB = b , а во втором случае		переменная интегрирования – это y ,

поэтому пределы интегрирования yA = c и yB = d .

При выборе формулы для вычисления криволинейного интеграла II рода учтите последнее замечание, т.е. проанализируйте, какими функциями

y = g(x) и x = h(y) можно описать	кривую	L ,	и подставьте	в
подынтегральное выражение вместо y	функцию	g(x),	а затем вместо	x

функцию h(y). Посмотрите на полученные подынтегральные выражения с

точки зрения последующего интегрирования и выберите из них более простое.

Пример 3.22. Вычислить

ln x dx +

1

∫

dy , где

AB – часть кривой

y +1

y

y = ln x , A(e;1), B(e2 ;2).

AB

Видно,

что

y = ln x

или x = ey .

AB является куском графика функции

Если под интеграл вместо у подставить функцию

y = ln x ,

то первое

слагаемое явно

упрощается:

ln x

dx =

ln x

dx = dx ,

но

второе

слагаемое

y

ln x

1

′

1

усложняется:

dy =

(ln x) dx =

x dx .

Наоборот,

если под

y +1

ln x +1

интеграл подставить вместо х функцию

x = ey ,

то первое слагаемое примет

139

вид	lney	(ey )′dy =	y	ey dy = ey dy , а второе останется без изменения (т.к. не

	y		y

содержит x ). Наш выбор таков: разбить интеграл на сумму двух интегралов

и в первом считать, что AB - график функции y = ln x , где x [e,e2 ], а во

втором считать, что AB - график функции x = ey , где y [1,2]. С учетом проведенных рассуждений, получаем

ln x

1

ln x

1

e2

2

dy

∫

dx +

dy =

∫

dx +

∫

dy = ∫dx + ∫

=

y

y +1

y

y +1

AB

e

1

= x

e2

y +1

2

= e2

− e + ln3 − ln 2.

+ ln

e

1

Пусть теперь линия L задана параметрически:

x = x(t),

где t [t1,t2 ].

y = y(t),

Пусть функции

x(t),

y(t)

непрерывно дифференцируемы на

[t1,t2 ] и не

обращаются

на

[t1,t2 ] в

нуль

одновременно. Тогда для

непрерывных в области, содержащей L функций R(x, y) и Q(x, y), справедлива формула

	t2	′	′	(3.83)

∫R(x, y)dx + Q(x, y)dy = ∫(R(x(t), y(t))x (t)+Q(x(t), y(t))y (t))dt .
L	t1

В формуле (3.83) предполагается, что криволинейный интеграл по L вычисляется в таком направлении, что начальной и конечной точкам L соответствуют значения параметра, равные t1 и t2 соответственно.

Пример 3.23.

∫(x − y)dx ,

Вычислить

где

AB – дуга

эллипса

x2

y2

AB

+

=1, A(0;1), B(3;0), рис. 3.56.

y

9

1

Если выразить из уравнения

A

1

эллипса y или x , то для вычисления

B

криволинейного интеграла можно

0

x

3

использовать формулы (3.81) и (3.82). Но

Рис. 3.56

x2

при этом либо y =

1 −

, либо

x = 3 1 − y2 , а интегрировать выражения,

9

содержащие такие радикалы, непросто. Зададим эллипс параметрически. Т.к.

140

Материал: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Дементьева А.М., Артыщенко С.В

Смотрите также: