Документ: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Дементьева А.М., Артыщенко С.В, страницы 26-30

I. ∫

A

dx = Aln

x − a

+ C .

x − a

(x − a)−k +1

II. ∫

A

dx =

A∫(x − a)−k dx = A

+ C =

A

+ C .

(x − a)

k

− k +1

k −1

(1 − k)(x − a)

Ax + B

x + B

A

2x

+ 2B

A

(2x + p)+

2B

− p

III. ∫

dx = A∫

A

dx =

∫

A

=

∫

A

dx =

x

2

x

2

+ px + q

2

x

2

+ px + q

x

2

+ px + q

2

A

(2x + p)+ 2AB − p

A

(2x + p)

Ap

dx

=

∫

dx =

∫

dx +

B −

∫

=

2

x

2

+ px + q

2

x

2

+ px + q

2

x

2

+ px + q

A

2

Ap

dx

A

2

=

ln

x

+ px + q

+ B

−

∫

= =

ln

x

+ px + q

+

2

p

2

p

2

x

+

q −

2

4

+

2

B − Ap

arctg

2x + p

+ C .

4q − p2

Теперь научимся интегрировать рациональные дроби IV типа:

∫

Ax + B

,

(k N,

k ≥ 2),

где корни квадратного трехчлена x2 + px + q

(x

2

+ px + q)

k

комплексные. При интегрировании такой дроби сначала делаются такие же преобразования, что и для дробей типа III: в числителе выделяется производная квадратного трехчлена, а затем дробь разбивается на сумму двух слагаемых:

Ax + B

(x2 + px + q)k

=A2

x + B

A

(2x + p)− p +

B

= A

A

=

A

=

(x2

+ px + q)k

2

(x2 + px + q)k

(2x + p)

B −

pA

+

2

.

(x2 + px + q)k

При интегрировании	первого	слагаемого	делаем замену t = x2 + px + q ,
dt = (2x + p)dx , а во	втором	слагаемом	выделяем полный квадрат в
квадратном трехчлене.

26

Тогда

Ax + B

A

dt

pA

dx

∫

=

∫

+ B −

∫

=

(x

2

+ px + q)

k

2

t

k

2

p 2

p2

k

x +

+ q −

2

4

p

A

t−k +1

pA

d x +

2

=

+ B −

∫

.

2

− k

+1

2

p

p2

k

2

x +

+ q

−

2

4

Для того чтобы найти последний интеграл, применяют рекуррентную формулу

dx

1

x

dx

Ik = ∫

=

+

(2k −3)∫

,

(1.13)

(x2 +h2 )k

2(k −1)h2

(x2 + h2 )k −1

(x2

+h2 )k −1

позволяющую

интеграл Ik

( k > 1)

выразить

через

Ik −1 = ∫

dx

.

(x2 + h2 )k −1

Применяют эту формулу столько раз, чтобы дойти до интеграла ∫ x2 dx+ h2 , являющегося табличным (формула 11').

Пример 1.29. Найти интеграл ∫(x2 dx+ 4)2 .

dx

по формуле (1.13)

1

x

dx

∫(x2 + 4)2 =

k = 2, h2 = 4

=

2(2 −1)

4

(x2 + 4)2−1 + (2

2 − 3)∫(x2 + 4)2−1

=

1

x

+ ∫

dx

=

1

x

+

1

arctg

x

+ C .

8

2

+ 4

x

2

8

2

+

4

2

x

+ 4

x

Пример 1.30. Найти интеграл ∫

(3x + 2)dx

.

2

(x + 2x + 2)

2

4

(3x + 2)dx

x +

3

(2x + 2)+

3

− 2

3

∫

=

3∫

dx =

∫

dx =

(x

2

(x

2

+

2x +

2

(x

2

+ 2x + 2)

2)

+ 2x + 2)

3

∫

(2x + 2)

dx +

3

2

dx

=

−

∫

=

(x

2

+ 2x + 2)

2

3

(x

+

2x + 2)

в первом слагаемом замена x2

+ 2x + 2 = t,

dt = (2x + 2)dx,

=

а во втором выделяем полный квадрат в квадратном

=

трехчлене x2

+ 2x + 2 = (x +1)2

+1

27

3 dt

dx

3 1

d (x +1)

= 2

∫t2 − ∫((x +1)2 +1)2 = −

t

−

∫

=

2

((x +1)2 +1)2

по формуле (1.13) запишем

dx

1

x

dx

1

x

=

+

=

+ arctg x

+ C

∫(x2 +1)2

2

∫ x2 +1

2

+1

x2 +1

x

2

=

и применим полученную формулу ко второму слагаемому,

взяв х +1 вместо х;

=

кроме того,

в первом слагаемом вернемся к переменной х

t

= x2

+ 2x + 2

3

1

x +1

= −

−

+ arctg(x +1)

+ C .

2(x

2

+ 2x +

2)

2

(x +1) +1

Окончательно

(3x + 2)dx

3

x +1

1

∫

= −

−

2 arctg(x +1)+ C =

(x2 + 2x + 2)2

2(x2

+ 2x + 2)

2(x2 + 2x + 2)

= −

x + 4

−

1 arctg(x +1)+ C .

2(x2 + 2x + 2)

2

1.7. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби

Можно доказать, что любая правильная рациональная дробь представляется в виде суммы простейших дробей. Из теории, называемой алгеброй многочленов, известно, что любой многочлен ненулевой степени можно разложить на множители, соответствующие корням этого многочлена. Корни у многочлена могут быть либо действительными, либо комплексными.

Например, у

многочлена f (x)= x3 +1

корни можно найти

из уравнения

=1 ±

= 1 ±

i .

x3 +1 = 0 или

(x +1)(x2

− x +1)= 0 , тогда

x

= −1, а

x

1 − 4

3

2,3

1

2

Один корень

x

= −1 – действительное число, а два других

x

= 1 ±

3

i –

2,3

1

2

пара комплексно сопряженных чисел. Многочлен

x3

+1 раскладывается на

три линейных

множителя x3 +1 = (x − x )(x − x

2

)(x − x

).

При

этом

1

3

произведение

скобок,

соответствующих

паре

комплексно-сопряженных

корней, (x − x2 )(x − x3 ) равно квадратному трехчлену x2 − x +1,

коэффициенты которого – действительные числа. Аналогичное разложение на множители справедливо для любого многочлена Pn (x) степени n (n ≠ 0).

Такой многочлен имеет ровно n корней, причем комплексные корни всегда присутствуют парами, а именно парами комплексно-сопряженных чисел. Этот многочлен раскладывается на n линейных множителей:

Pn (x)= a0 (x − x1 )(x − x2 ) (x − x3 ),

где a0 – коэффициент многочлена при старшей степени x, т.е. при xn . Если в

28

этом разложении перемножить пары скобок, соответствующие комплексносопряженным корням, и объединить одинаковые скобки, то разложение примет вид

Pn (x)= a0 (x −b1 )α1 (x −b)αk (x2

+ p1 x + q1 )β1 (x2 + ps x + qs )βs (1.14)

здесь b1, …, bk – различные действительные корни многочлена, а квадратные трехчлены соответствуют различным парам комплексно-сопряженных корней. Показатели степени скобок называются кратностями корней.

Например, у многочлена пятой степени P5 (x)= 3(x − 2)2 (x + 4)(x2 + 6) есть различные корни: b1 = 2, кратности 2, b2 = –4, кратности 1 и пара комплексно

-сопряженных корней x3,4 = ±	6	i кратности 1.	F(x)
Рассмотрим правильную рациональную дробь				, где	f (x) –
			f (x)

многочлен степени n. Пусть нам удалось разложить знаменатель f (x) на

множители по формуле (1.14). Тогда данная правильная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей, знаменателями которых являются множители, на которые разложен знаменатель исходной рациональной дроби. В этой сумме могут быть представлены все возможные простейшие дроби, общий знаменатель которых равен знаменателю исходной дроби. Так, если в знаменателе исходной дроби есть множитель

(x − b)3 , то в разл ожении этой дроби на простейшие могут присутствовать три простейшие дроби типа I и II вида:

A1	,	A2	,	A2	,
x − b		(x − b)2		(x − b)3

общий знаменатель которых (x − b)3 . Если в знам енателе исходной дроби

присутствует множитель (x2 + px + q)2 , то в разложении этой дроби на простейшие могут быть две простейшие дроби типа III и IV вида:

	B1 x + C1	и	B2 x + C2	,
	x2 + px + q	и	(x2 + px + q)2	,
общий знаменатель которых равен (x2			+ px + q)2 .

Теперь видно, что разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби выписать просто, если знаменатель разложен на множители в виде (1.14), при этом знаменатели этих простейших дробей нам известны, а о числителях нам известен лишь их вид (либо число, либо линейная функция). Например,

x2		A		B		Cx + D
	=		+		+		.
(x +1)(x − 2)(x2 + 3x +10)	=	x +1	+	x − 2	+	x2 + 3x +10	.

Здесь каждому множителю знаменателя соответствует одна простейшая

29

дробь, т.к. все корни знаменателя имеют кратность 1. В полученном разложении нам неизвестны коэффициенты A, B, C, D. Метод представления неизвестных коэффициентов буквами, с последующим определением их значений, называется методом неопределенных коэффициентов.

Итак, пусть правильная рациональная дробь представлена в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами в числителях. Для отыскания значений коэффициентов приведем записанную сумму дробей к общему знаменателю – получим рациональную дробь с таким же знаменателем, как у исходной дроби. Мы хотим, чтобы полученная дробь тождественно совпала с исходной, поэтому подберем неопределенные коэффициенты так, чтобы у полученной и исходной дробей тождественно совпали числители. Тождественное равенство числителей – это тождественное равенство двух многочленов. Справедливы два критерия тождественного равенства двух многочленов.

Теорема 1.2. Для того чтобы два многочлена тождественно совпадали, необходимо и достаточно, чтобы у них совпадали коэффициенты при одинаковых степенях переменной.

Теорема 1.3. Для того чтобы два многочлена степени не выше n тождественно совпадали, необходимо и достаточно, чтобы совпадали их значения при (n + 1) различных значениях переменной.

Вернемся к отысканию значений неопределенных коэффициентов. Покажем на примере, как для их отыскания используются теоремы 1.2 и 1.3.

Пример 1.31. Разложить на простейшие дроби правильную дробь

x2 + 3 . x3 + 5x2 +10x

Разложим сначала знаменатель на множители: x3 + 5x2 +10x = x(x2 + 5x +10).

Квадратный трехчлен x2		+ 5x +10 не имеет действительных корней, т.к. его
дискриминант D = 25 – 4 · 10 · 1 = – 15 < 0. Имеем
		x2 + 3		x2 + 3
			=		.
	x3	+ 5x2 +10x		x(x2 + 5x +10)

Эта дробь представляется в виде суммы двух простейших дробей:


		x2 + 3			=	A	+	Bx + C	.
		x(x2 + 5x +10)			=		+	x2 + 5x +10	.
		x(x2 + 5x +10)				x		x2 + 5x +10
Приводя правую часть равенства к общему знаменателю, получим
	x2 + 3		=	A(x2 + 5x +10) + (Bx + C)x						.	(1.15)
	x(x2 + 5x +10)				x(x2			+ 5x +10)
Уравняем числители этих дробей:
	x2 + 3 = A(x2 + 5x +10) + (Bx + C)x .
Для отыскания неизвестных			коэффициентов A, B, C								воспользуемся,

30

Материал: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Дементьева А.М., Артыщенко С.В

Смотрите также: